Логические задачи арифметическим способом

Как решать логические и математические задачи

Решение задач на логику — отличная гимнастика для ума детей и взрослых на каждый день. На ЛогикЛайк более 3500 заданий с ответами и пояснениями, полноценный учебный комплекс для развития логики и способностей к математике.

Решаем логические задачи

Чтобы научиться решать типовые логические задачи, простые и нестандартные математические задачи, важно знать основные приемы и методы их решения. Ведь решить одну и ту же задачу и прийти к правильному ответу во многих случаях можно разными способами.

Знание и понимание различных методов решения поможет определить, какой способ подойдет лучше в каждом конкретном случае, чтобы выбрать наиболее быстрый и простой путь получения ответа.

К «классическим» логическим задачам относятся текстовые задачи, цель решения которых состоит в распознавании объектов или расположении их в определенном порядке в соответствии с заданными условиями.

Более сложными и увлекательными типами заданий являются задачи, в которых отдельные утверждения являются истинными, а другие ложными. Задачи на перемещение, перекладывание, взвешивание, переливание — самые яркие примеры широкого ряда нестандартных задач на логику.

Основные методы решения логических задач

• метод рассуждений;
• с помощью таблиц истинности;
• метод блок-схем;
• средствами алгебры логики (алгебры высказываний);
• графический (в том числе, «дерево логических условий», метод кругов Эйлера);
• метод математического бильярда.

Давайте рассмотрим подробнее с примерами три популярных способа решения логических задач, которые мы рекомендуем использовать в начальной школе (детям 6-12 лет):

• метод последовательных рассуждений;
• разновидность метода рассуждений — «с конца»;
• табличный способ.

Метод последовательных рассуждений

Самый простой способ решения несложных задач заключается в последовательных рассуждениях с использованием всех известных условий. Выводы из утверждений, являющихся условиями задачи, постепенно приводят к ответу на поставленный вопрос.

На столе лежат Голубой , Зеленый , Коричневый и Оранжевый карандаши.

Третьим лежит карандаш, в имени которого больше всего букв. Голубой карандаш лежит между Коричневым и Оранжевым .

Разложи карандаши в описанном порядке.

Рассуждаем. Последовательно используем условия задачи для формулирования выводов о позиции, на которой должен лежать каждый следующий карандаш.

• Больше всего букв в слове «коричневый», значит, он лежит третьим.
• Известно, что голубой карандаш лежит между коричневым и оранжевым. Справа от коричневого есть только одна позиция, значит, расположить голубой между коричневым и другим карандашом возможно только слева от коричневого.
• Следующий вывод на основе предыдущего: голубой карандаш лежит на второй позиции, а оранжевый — на первой.
• Для зеленого карандаша осталась последняя позиция — он лежит четвертым.

Метод «с конца»

Такой способ решения является разновидностью метода рассуждений и отлично подходит для задач, в которых нам известен результат совершения определенных действий, а вопрос состоит в восстановлении первоначальной картины.

Бабушка испекла для троих внуков рогалики и оставила их на столе. Коля забежал перекусить первым. Сосчитал все рогалики, взял свою долю и убежал.
Аня зашла в дом позже. Она не знала, что Коля уже взял рогалики, сосчитала их и, разделив на троих, взяла свою долю.
Третьим пришел Гена, который тоже разделил остаток выпечки на троих и взял свою долю.
На столе осталось 8 рогаликов.

Сколько рогаликов из восьми оставшихся должен съесть каждый, чтобы в результате все съели поровну?

Начинаем рассуждение «с конца».
Гена оставил для Ани и Коли 8 рогаликов (каждому по 4). Получается, и сам он съел 4 рогалика: 8 + 4 = 12.
Аня оставила для братьев 12 рогаликов (каждому по 6). Значит, и сама она съела 6 штук: 12 + 6 = 18.
Коля оставил ребятам 18 рогаликов. Значит, сам съел 9: 18 + 9 = 27.

Бабушка положила на стол 27 рогаликов, рассчитывая, что каждому достанется по 9 штук. Поскольку Коля уже съел свою долю, Аня должна съесть 3, а Гена — 5 рогаликов.

Решение логических задач с помощью таблиц истинности

Суть метода состоит в фиксации условий задачи и полученных результатов рассуждений в специально составленных под задачу таблицах. В зависимости от того, является высказывание истинным или ложным, соответствующие ячейки таблицы заполняются знаками «+» и «-» либо «1» и «0».

Три спортсмена ( красный , синий и зеленый ) играли в баскетбол.
Когда мяч оказался в корзине, красный воскликнул: «Мяч забросил синий».
Синий возразил: «Мяч забросил зеленый».
Зеленый сказал: «Я не забрасывал».

Кто забросил мяч, если только один из троих сказал неправду?

Сначала таблицу составляют: слева записывают все утверждения, которые содержатся в условии, а сверху — возможные варианты ответа.

Затем таблицу последовательно заполняют: верные утверждения отмечают знаком «+», а ложные утверждения — знаком «-«.

Рассмотрим первый вариант ответа («мяч забросил красный «), проанализируем утверждения, записанные слева, и заполним первый столбик.
Исходя из нашего предположения («мяч забросил красный «), утверждение «мяч забросил синий» — ложь. Ставим в ячейке «-«.
Утверждение «мяч забросил зеленый» также ложь. Заполняем ячейку знаком «-«.
Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке «+».

Рассмотрим второй вариант ответа (предположим, что мяч забросил зеленый ) и заполним второй столбик.
Утверждение «мяч забросил Синий» — ложь. Ставим в ячейке «-«.
Утверждение «мяч забросил зеленый « — истина. Заполняем ячейку знаком «+».
Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – ложь. Ставим в ячейке «-«.

И, наконец, третий вариант: предположим, что «мяч забросил синий «.
Тогда утверждение «мяч забросил синий « — истина. Ставим в ячейке «+».
Утверждение «мяч забросил зеленый» — ложь. Заполняем ячейку знаком «-«. Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке «+».

Так как по условию лишь один из троих ребят сказал неправду, в заполненной таблице выбираем такой вариант ответа, где будет только одно ложное утверждение (в столбце один знак «-«). Подходит третий столбец.

Значит, правильный ответ – мяч забросил синий.

Метод блок-схем

Метод блок-схем считается оптимальным вариантом для решения задач на взвешивание и на переливание жидкостей. Альтернативный способ решения этого типа задач — метод перебора вариантов — не всегда является оптимальным, да и назвать его системным довольно сложно.

• графически (блок-схемой) описываем последовательность выполнения операций;
• определяем порядок их выполнения;
• в таблице фиксируем текущие состояния.

Подробнее об этом и других способах решения логических задач с примерами и описанием хода решения мы рассказываем в полном Курсе ЛогикЛайк по развитию логического мышления.

Отгадывайте самые интересные загадки на логику, собранные специально для постоянных читателей нашего блога и учеников LogicLike, решайте логические задачи онлайн вместе с тысячами детей и взрослых!

Учим детей 5-12 лет решать любые логические и математические задачи. Более 3500 занимательных заданий с ответами и пояснениями.

Источник

Сборник арифметических задач для развития логического мышления учащихся (с методическими рекомендациями).

Сборник арифметических задач для развития логического мышления учащихся (с методическими рекомендациями).

Для активного формирования логических приемов мышления у младших школьников подобраны специализированные арифметические задачи. При этом в зависимости от задач конкретного урока и хода обучения в целом, используются следующие способы работы над задачами:

1. Работа над решенной задачей. Многие учащиеся только после повторного анализа осознают план решения задачи.

2. Решение задач различными способами. Привычка нахождения другого способа решения сыграет большую роль в будущем, при изучении математики в основной школе.

3. Правильно организованный способ анализа задачи — от вопроса к данным или от данных к вопросу.

4. Представление ситуации, описанной в задаче (нарисовать «картинку»). Мысленное участие в ситуации, изложенной в текстовой задаче. Разбиение текста задачи на смысловые части. Моделирование ситуации с помощью чертежа, рисунка.

5. Самостоятельное составление задач учащимися. Составить задачу: 1) используя слова: больше на, столько, сколько, меньше в, на столько больше, на столько меньше; 2) решаемую в 1, 2, 3 действия; 3) по данному ее плану решения, действиям и ответу; 4) по выражению и т.д.

6. Решение задач с недостающими или лишними данными.

7. Изменение вопроса задачи после решения первоначального варианта.

8. Составление различных выражений по данным задачам и объяснение, что обозначает то или иное выражение. Выбрать те выражения, которые являются ответом на вопрос задачи.

9. Объяснение готового решения задачи.

10. Использование приема сравнения задач и их решений.

11. Запись двух решений на доске — одного верного и другого неверного.

12. Изменение условия задачи так, чтобы задача решалась другим действием.

13. Закончить решение задачи.

14. Какой вопрос и какое действие лишние в решении задачи (или, наоборот, восстановить пропущенный вопрос и действие в задаче).

15. Составление аналогичной задачи с измененными данными.

16. Решение обратных задач.

Рекомендуется соблюдение следующих условий развития логических приемов мышления младших школьников :

целенаправленность развития логических приемов мышления. Целенаправленность заключается в том, что работа с детьми носит не спонтанный характер, при составлении системы игр и упражнений отбирались те, которые рекомендованы специалистами преимущественно для развития логических приемов мышления;

поэтапное развитие каждого приема. Занятия с детьми проводятся в определенной последовательности: по этапам и с усложнением, начиная с практического этапа (самого простого для детей) и заканчивая мысленным (наиболее сложным для испытуемых).

последовательность выполнения заданий — от простого к сложному. Сложность предлагаемых к выполнению заданий возрастает постепенно на каждом этапе ;

систематичность работы по развитию каждого логического приема в отдельности. Одним из главных показателей систематичности является в данном случае непрерывность работы по развитию логических приемов мышления;

ознакомление с алгоритмом каждого логического приема.

При разработке системы занятий с детьми учитывается необходимость совершенствования всех логических приемов мышления, а именно: анализа, синтеза, сравнения, обобщения, классификации.

Задания, направленные на развитие анализа и синтеза

В самом начале обучения вводятся дидактические игры, направленные на практический прием анализа и синтеза. Затем даются задания на составление целой картинки из отдельных частей . Эти игры просты по содержанию. Усложнением в играх является увеличение количества частей картинок, а также усложнение их содержания, сюжета. Далее вво дятся игры на составление плоскостных изображений предметов: животных, домов, кораблей из специальных наборов геометрических фигур. Наборы фигур при этом подбираются не произвольно, а представляют собой части разрезанной определенным образом фигуры: квадрата, прямоугольника, круга или овала. Это игры типа «танграм».

Игры «Сложи узор» и «Сложи квадрат» развивают способность к комбинированию. Впоследствии предлагались детям игры типа «конструктор», в ходе которых дети могли самостоятельно из геометрических форм составлять сложные фигуры.

Анализ связан с выделением элементов данного объекта, его признаков или с войств.

Анализ прямоугольника учащиеся выполняли по следующему алгоритму:

Характеристика прямоугольника в целом.

Что это? Из чего сделан? Для чего может использоваться?

Выделение частей предмета и их признаков.

Выдели признаки прямоугольника (цвет, форма, размер, материал, количество).

В процессе работы использовались следующие типы упражнений:

Соединение элементов в единое целое: Вырежи из Приложения нужные фигуры и составь из них домик, кораблик, рыбку.

Поиск различных признаков предмета: Сколько углов, сторон и вершин у пятиугольника?

Узнавание или составление объекта по заданным признакам:

1) Какое число идёт при счёте перед числом 6? Какое число следует за числом 6? За числом 7?

2) Составь по краткой записи задачу и реши её.

Рассмотрение данного объекта с точки зрения различных понятий: Составь по рисунку разные задачи и реши их.

Постановка различных заданий к данному математическому объекту:

1) К концу учебного года у Лиды осталось 2 чистых листа в тетради по русскому языку и 5 чистых листов в тетради по математике. Поставь к этому условию сначала такой вопрос, чтобы задача решалась сложением, а потом такой вопрос, чтобы задача решалась вычитанием.

2) В коробке было 10 карандашей. Когда из коробки взяли несколько карандашей, в ней осталось 6 карандашей. Сколько карандашей взяли? Рассмотри краткую запись и схематический чертёж к задаче. Объясни, как этот схематический чертёж составлен. Реши задачу.

Было – 10 к. и 6 к. ?

Осталось – 6 к. 10 к.

Задания, направленные на развитие умения сравнивать

В состав приема сравнения входят следующие основные операци и:

— выделение сходных и различных признаков предметов;

— расчленение признаков на существенные и несущественные;

— выделение признаков, являющихся основанием сравнения;

— формулировка вывода из проведенного сравнения.

В дидактических играх практически сравнивались предметы по цвету, величине, длине, ширине, высоте; по массе, объему, качеству предметов, по их количеству. Далее предлагались творческие задания с усложнением и вариантами . Например, игра «Собери букет» (с вариантами) углубляет навыки подбирать сочетание цветов (сначала только по цвету, затем по цвету и форме).

Перед ребенком набор геометрических фигур разного цвета: круг, треугольник, квадрат, прямоугольник, овал. Ребенку предлагалось показать и назвать фигуры, которые он знает.

Чем овал отличается от круга?

Чем круг отличается от квадрата?

Чем квадрат отличается от треугольника?

Начертите треугольник, рядом четырехугольник. Сравните эти фигуры. Вычислите сумму длин сторон каждой фигуры.

Измерь стороны четырехугольников. Что ты заметил? Можно ли эти четырехугольники назвать прямоугольниками? Если нет, то почему? Какой из них прямоугольник?

Сравни выражения в каждой паре. Чем они похожи? Чем отличаются? Чем похожи все первые выражения в каждой паре? Чем похожи все вторые выражения в каждой паре?

7 2 – 9 – 3 + 6 4 8 — 6 + 7 + 8 2 7 – 3 + 2 – 6

7 2 : 9 ∙ 3 : 6 4 8 : 6 ∙ 7 : 8 2 7 : 3 ∙ 2 : 6

Чем похожи и чем отличаются данные выражени я:

(36 5 + 28 ) + 107 36 5 + ( 2 8 + 107)

Сравните выражения. Вычислите их значения. Сравните полученные результаты. Какой вывод можно сделать из этих наблюдений? Составьте пары подобных выражений, и проверьте, верен ли ваш вывод для них».

Первый рабочий делал 200 деталей в день, а второй — 400. На сколько деталей меньше первый рабочий делал за день, чем второй?

Первый рабочий делал 200 деталей в день, а второй — 400. Во сколько раз меньше первый рабочий делал деталей за день, чем второй?

Одним из эффективных приемов поиска плана решения задачи, позволяющих организовать продуктивную мыслительную деятельность учащихся, является использование аналогии. Этот способ предполагает следующую цепочку рассуждений:

Выявление полного или частичного сходства между значениями величин и условий ранее решенной и вновь предложенной задачи

Выдвижение предположения о решении новой задачи с полным или частичным использованием плана ранее решенной, похожей задачи.

В основе аналогии лежит сравнение. Поэтому для использования этого приема необходимо сначала восстановить способ решения предшествующей задачи. Затем предлагается новая (аналогичная) задача. Учащиеся выявляют сходство отношений в них и делают заключение о степени совпадения планов решения. Затем они составляют план решения новой задачи.

В заключение проводится проверка решения и делается вывод о том, что предположение было верным.

Задача 1. Два мальчика побежали одновременно навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 100 метров. Они встретились через 10 секунд. Первый мальчик бежал со скоростью 4 м/с. С какой скоростью бежал второй мальчик?

Найти путь, который пробежал первый мальчик до встречи:

Найти путь, который пробежал второй мальчик до встречи:

Найти скорость второго мальчика:

Задача 2. Из города к зимовке, расстояние между которыми 150 км, выехали аэросани со скоростью 60 км/ч. В это же время навстречу им из зимовки вышел лыжник и встретил аэросани через 2 часа. Найти скорость лыжника.

Сравним эти задачи. В обеих говориться об одновременном встречном движении. И в той и в другой известны расстояния между пунктами, скорость одного объекта и время от начала движения до встречи, а найти надо скорость второго объекта. Ставим вопрос: «Какое мнение возникает относительно плана решения этих задач?» (План решения этих задач должен быть одинаков.) Следовательно, вторую задачу будем решать так:

150 – 120 = 30 (км)

Проводится проверка, которая показывает, что задача решена верно. При использовании аналогии это необходимо, так как возможна и ложная гипотеза.

Аналогия может быть использована и в тех случаях, когда задачи в некоторой степени различаются и с точки зрения отношений между величинами. Здесь она помогает выбрать некоторые действия, входящие в процесс решения предложенной задачи. Остальные необходимые операции определяются в соответствии отличающейся частью решаемой задачи.

Задача 1. Из одного поселка вышли одновременно два пешехода и идут в противоположных направлениях. Скорость одного пешехода 5 км/ч, другого – 4 км/ч. На каком расстоянии будут пешеходы друг от друга через 3 часа?

Задача 2. От пристани одновременно в противоположных направлениях вышли 2 катера: один со скоростью 20 км/ч, другой – 15 км/ч. Через какое время расстояние между ними будет 105 км?

Эти задачи сходны своими условиями и различаются вопросами. Поэтому первое действие в них одинаковое: находим скорости удаления:

4 + 5 = 9 (км/ч) 1) 20 + 15 = 35 (км/ч)

А второе действие различается:

9 ∙ 3 = 27 (км) 2) 105 : 35 = 3 (ч)

Задания, направленные на развитие умения обобщать

В математике обобщение — это мысленное выделение общих и существенных признаков математических объектов или способов действий с н ими.

При работе над логическим приемом обобщения по существенному признаку на начальном этапе использовались упражнения и игры типа «четвертый лишний». В процессе игры детям задавались вопросы: Что лишнее? Почему? Чем различаются предметы? Как одним словом охарактеризовать оставшиеся предметы? Далее вводились задачи:

Разгадай правило, по которому записан каждый ряд чисел, и продолжи их.

а) 123 , 2 46, 492, 984 .

б ) 15 , 7 5 , 3 75, 1875 ,. ..

в) 3020, 3220, 3420 , 3 620 ,. ..

г) 7602, 7632, 7662, 7692 ,. ..

Применялся и способ выделения обобщенного способа действия.

Сначала предлагаем решить задачу известным способом:

Найди периметр прямоугольника со сторонами 3см и 5 см.

Р = а + а + в + в Следовательно Р = 5 + 5 + 3 + 3

Кто догадался, как по-другому можно найти периметр прямоугольника?

На доске фиксировались разные варианты решения.

— Мы должны из этих решений выбрать правильное и сформулировать правило нахождения периметра прямоугольника.

Разные способы решения фиксировались в виде формул:

Р = (а + в) ∙ 2 = а ∙ 2 + в ∙ 2

Следовательно, решение задачи:

I способ: 5 + 5 + 3 + 3 = 16 см

II способ: (5 + 3) ∙ 2 = 5 ∙ 2 + 3 ∙ 2 = 16 см

Задания, направленные на формирование умения классифицировать

Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие является основой операции классификации.

При разбиении множества на классы мы выполняли следующие условия:

классификацию выполняли по одному основанию;

сумма объемов членов классификации должна равняться объему классифицируемого понятия;

члены классификации должны взаимно исключать друг друга (их объемы не должны пересекаться);

деление на подклассы должно быть непрерывным, то есть члены классификации должны быть видами одного порядка по отношению к делимому п онятию.

Перед детьми, расположенные в ряд геометрические фигуры разного размера и цвета.

Назови фигуры, которые ты знаешь?

Покажи все четырехугольники.

Почему треугольник называют треугольником?

Выбери фигуры красного цвета

Покажи все многоугольники.

Как разделить квадрат на 2 треугольника

Разделите выражения на две группы: 35 + 6, 3 + 6, 4 + 7, 20 – 8, 9 – 3, 47 – 5.

по какому признаку можно разбить выражения на три группы:

8 1 – 29 + 27 400 + 200 + 30 0-1 00

400 + 200 + 3 0-1 00 7 2 : 9 ∙ 3 4 8:6*7:8

27 : 3 ∙ 2 : 6 * 9 84 – 9 ∙ 854 + 6 ∙ 3 – 72 : 8

По какому признаку можно разбить выражения на две группы

Разделите выражения на две группы: 35 + 6, 3 + 6 , 4 + 7 , 2 0 – 8, 9 – 3 , 4 7 – 5.

Распределите выражения в два столбика: 43 ∙ 9, 86 – 7, 54 + 8, 62 ∙ 4, 78 ∙ 3 , 35 – 6. По какому признаку вы их распределяли?

Продолжите цепочку рассуждений:

31 2 ∙ 3 = (300 + 10 + 2) ∙ 3 = 300 ∙ 3 + . + . = .

При каких значениях х значение выражения 126 ∙ х не превышает число 630?

Сравните значения выражений, не выполняя вычислений:

98 ∙ 3… 98 ∙ 6 456 ∙ 5…228 ∙ 5

Во сколько раз значение одного выражения больше значения другого?

Соедините линиями выражения с их значениями:

267 ∙ 3 867 193 ∙ 5

Упражнение содержит ловушку и лишний ответ для того, чтобы дети не подходили формально к выполнению данного упражнения.

Верны или нет равенства? Используй разные способы проверки.

Поставь знаки больше, меньше или равно, не вычисляя значений выражений:

30876 ∙ 6 . 6 ∙ 30876

297 ∙ (5 ∙ 3 ) . (297 ∙ 5) ∙ 3

635 ∙ (5 + 9 ). .. 635 ∙ 5 + 635 ∙ 9

8078 ∙ 6 . 8078 ∙ 4

По какому признаку можно разбить выражения на три группы:

81 – 29 + 27 400 + 200 + 30 0- 100

400 + 200 + 3 0 – 100 7 2: 9 ∙ 3 4 8:6 ∙ 7:8

2 7: 3∙2:6∙9 8 4- 9∙8 54 + 6 ∙ 3 – 7 2 : 8

Соедини текст задачи и соответствующее решение:

На клумбе росли 75 астр и 25 лилий. Сколько всего цветов росло на клумбе.

На клумбе росли 75 астр и 25 лилий. На сколько астр больше, чем лилий?

На клумбе росли 75 астр и 25 лилий. Во сколько раз лилий меньше, чем астр?

Все предложенные задания, безусловно, направлены на формирование нескольких операций мышления, но ввиду преобладания какого-либо из них упражнения были разбиты на предложенные группы. Но существуют и упражнения с ярко выраженной комплексной направленностью. Рассмотрим их далее. Сразу отметим, что использование нестандартных, забавных, сюжетных задач, а также задач-фокусов позволяет вызвать большой интерес к математике у всех учеников класса и простимулировать развитие логического мышления за счет существенного увеличения познавательного интереса.

1. Гном Путалка идёт к клетке с тигром. Каждый раз, когда он делает два шага вперёд, тигр рычит, и гном отступает на шаг назад. За какое время он дойдёт до клетки, если до неё 5 шагов, а 1 шаг Путалка делает за 1 секунду?

2. Гном Забывалка учился писать цифры заострённой палочкой на песке. Только он успел написать 5 цифр: 12345

как увидел большую собаку, испугался и убежал. Вскоре в это место пришёл другой гном Путалка. Он тоже взял палочку и начертил вот что: 12345 = 60

Вставь между цифрами плюсы таким образом, что получившийся пример был решён правильно.

3. Какую отметку впервые в жизни получил по математике Фома, если известно, что она является числом не простым, а составным?

4. Сколько лет сиднем просидел на печи Илья Муромец? Известно, что если бы он просидел ещё 2 раза по столько, то его возраст составил бы наибольшее двузначное число.

5. Барон Мюнхгаузен пересчитал число волшебных волос в бороде старика Хоттабыча. Оно оказалось равным сумме наименьшего трёхзначного числа и наибольшего двузначного. Что это за число?

6. Раздели самое маленькое четырёхзначное число на наименьшее простое и узнаешь, сколько лет не умывалась и не чистила зубы злая волшебница Гингема из повести-сказки А. Волкова «Волшебник Изумрудного города».

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 807 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Специфика преподавания предмета «Родной (русский) язык» с учетом реализации ФГОС НОО

• Сейчас обучается 318 человек из 58 регионов

Курс повышения квалификации

Скоростное чтение

• Сейчас обучается 621 человек из 79 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Сборник арифметических задач для развития логического мышления учащихся (с методическими рекомендациями).

Для активного формирования логических приемов мышления у младших школьников подобраны специализированные арифметические задачи. При этом в зависимости от задач конкретного урока и хода обучения в целом, используются следующие способы работы над задачами:

1. Работа над решенной задачей. Многие учащиеся только после повторного анализа осознают план решения задачи.

2. Решение задач различными способами. Привычка нахождения другого способа решения сыграет большую роль в будущем, при изучении математики в основной школе.

3. Правильно организованный способ анализа задачи — от вопроса к данным или от данных к вопросу.

4. Представление ситуации, описанной в задаче (нарисовать «картинку»). Мысленное участие в ситуации, изложенной в текстовой задаче. Разбиение текста задачи на смысловые части. Моделирование ситуации с помощью чертежа, рисунка.

5. Самостоятельное составление задач учащимися. Составить задачу: 1) используя слова: больше на, столько, сколько, меньше в, на столько больше, на столько меньше; 2) решаемую в 1, 2, 3 действия; 3) по данному ее плану решения, действиям и ответу; 4) по выражению и т.д.

6. Решение задач с недостающими или лишними данными.

7. Изменение вопроса задачи после решения первоначального варианта.

8. Составление различных выражений по данным задачам и объяснение, что обозначает то или иное выражение. Выбрать те выражения, которые являются ответом на вопрос задачи.

9. Объяснение готового решения задачи.

10. Использование приема сравнения задач и их решений.

11. Запись двух решений на доске — одного верного и другого неверного.

12. Изменение условия задачи так, чтобы задача решалась другим действием.

13. Закончить решение задачи.

14. Какой вопрос и какое действие лишние в решении задачи (или, наоборот, восстановить пропущенный вопрос и действие в задаче).

15. Составление аналогичной задачи с измененными данными.

16. Решение обратных задач.

Рекомендуется соблюдение следующих условий развития логических приемов мышления младших школьников :

• целенаправленность развития логических приемов мышления. Целенаправленность заключается в том, что работа с детьми носит не спонтанный характер, при составлении системы игр и упражнений отбирались те, которые рекомендованы специалистами преимущественно для развития логических приемов мышления;

• поэтапное развитие каждого приема. Занятия с детьми проводятся в определенной последовательности: по этапам и с усложнением, начиная с практического этапа (самого простого для детей) и заканчивая мысленным (наиболее сложным для испытуемых).

• последовательность выполнения заданий — от простого к сложному. Сложность предлагаемых к выполнению заданий возрастает постепенно на каждом этапе ;

• систематичность работы по развитию каждого логического приема в отдельности. Одним из главных показателей систематичности является в данном случае непрерывность работы по развитию логических приемов мышления;

• ознакомление с алгоритмом каждого логического приема.

При разработке системы занятий с детьми учитывается необходимость совершенствования всех логических приемов мышления, а именно: анализа, синтеза, сравнения, обобщения, классификации.

Задания, направленные на развитие анализа и синтеза

В самом начале обучения вводятся дидактические игры, направленные на практический прием анализа и синтеза. Затем даются задания на составление целой картинки из отдельных частей . Эти игры просты по содержанию. Усложнением в играх является увеличение количества частей картинок, а также усложнение их содержания, сюжета. Далее вво дятся игры на составление плоскостных изображений предметов: животных, домов, кораблей из специальных наборов геометрических фигур. Наборы фигур при этом подбираются не произвольно, а представляют собой части разрезанной определенным образом фигуры: квадрата, прямоугольника, круга или овала. Это игры типа «танграм».

Игры «Сложи узор» и «Сложи квадрат» развивают способность к комбинированию. Впоследствии предлагались детям игры типа «конструктор», в ходе которых дети могли самостоятельно из геометрических форм составлять сложные фигуры.

Анализ связан с выделением элементов данного объекта, его признаков или с войств.

Анализ прямоугольника учащиеся выполняли по следующему алгоритму:

— Характеристика прямоугольника в целом.

Что это? Из чего сделан? Для чего может использоваться?

— Выделение частей предмета и их признаков.

Выдели признаки прямоугольника (цвет, форма, размер, материал, количество).

В процессе работы использовались следующие типы упражнений:

· Соединение элементов в единое целое: Вырежи из Приложения нужные фигуры и составь из них домик, кораблик, рыбку.

· Поиск различных признаков предмета: Сколько углов, сторон и вершин у пятиугольника?

· Узнавание или составление объекта по заданным признакам:

1) Какое число идёт при счёте перед числом 6? Какое число следует за числом 6? За числом 7?

2) Составь по краткой записи задачу и реши её.

· Рассмотрение данного объекта с точки зрения различных понятий: Составь по рисунку разные задачи и реши их.

· Постановка различных заданий к данному математическому объекту:

1) К концу учебного года у Лиды осталось 2 чистых листа в тетради по русскому языку и 5 чистых листов в тетради по математике. Поставь к этому условию сначала такой вопрос, чтобы задача решалась сложением, а потом такой вопрос, чтобы задача решалась вычитанием.

2) В коробке было 10 карандашей. Когда из коробки взяли несколько карандашей, в ней осталось 6 карандашей. Сколько карандашей взяли? Рассмотри краткую запись и схематический чертёж к задаче. Объясни, как этот схематический чертёж составлен. Реши задачу.

Было – 10 к. и 6 к. ?

Осталось – 6 к. 10 к.

Задания, направленные на развитие умения сравнивать

В состав приема сравнения входят следующие основные операци и:

— выделение сходных и различных признаков предметов;

— расчленение признаков на существенные и несущественные;

— выделение признаков, являющихся основанием сравнения;

— формулировка вывода из проведенного сравнения.

В дидактических играх практически сравнивались предметы по цвету, величине, длине, ширине, высоте; по массе, объему, качеству предметов, по их количеству. Далее предлагались творческие задания с усложнением и вариантами . Например, игра «Собери букет» (с вариантами) углубляет навыки подбирать сочетание цветов (сначала только по цвету, затем по цвету и форме).

Перед ребенком набор геометрических фигур разного цвета: круг, треугольник, квадрат, прямоугольник, овал. Ребенку предлагалось показать и назвать фигуры, которые он знает.

— Чем овал отличается от круга?

— Чем круг отличается от квадрата?

Чем квадрат отличается от треугольника?

Начертите треугольник, рядом четырехугольник. Сравните эти фигуры. Вычислите сумму длин сторон каждой фигуры.

Измерь стороны четырехугольников. Что ты заметил? Можно ли эти четырехугольники назвать прямоугольниками? Если нет, то почему? Какой из них прямоугольник?

Сравни выражения в каждой паре. Чем они похожи? Чем отличаются? Чем похожи все первые выражения в каждой паре? Чем похожи все вторые выражения в каждой паре?

7 2 – 9 – 3 + 6 4 8 — 6 + 7 + 8 2 7 – 3 + 2 – 6

7 2 : 9 ∙ 3 : 6 4 8 : 6 ∙ 7 : 8 2 7 : 3 ∙ 2 : 6

Чем похожи и чем отличаются данные выражени я:

(36 5 + 28 ) + 107 36 5 + ( 2 8 + 107)

Сравните выражения. Вычислите их значения. Сравните полученные результаты. Какой вывод можно сделать из этих наблюдений? Составьте пары подобных выражений, и проверьте, верен ли ваш вывод для них».

Первый рабочий делал 200 деталей в день, а второй — 400. На сколько деталей меньше первый рабочий делал за день, чем второй?

Первый рабочий делал 200 деталей в день, а второй — 400. Во сколько раз меньше первый рабочий делал деталей за день, чем второй?

Одним из эффективных приемов поиска плана решения задачи, позволяющих организовать продуктивную мыслительную деятельность учащихся, является использование аналогии. Этот способ предполагает следующую цепочку рассуждений:

1) Выявление полного или частичного сходства между значениями величин и условий ранее решенной и вновь предложенной задачи

2) Выдвижение предположения о решении новой задачи с полным или частичным использованием плана ранее решенной, похожей задачи.

В основе аналогии лежит сравнение. Поэтому для использования этого приема необходимо сначала восстановить способ решения предшествующей задачи. Затем предлагается новая (аналогичная) задача. Учащиеся выявляют сходство отношений в них и делают заключение о степени совпадения планов решения. Затем они составляют план решения новой задачи.

В заключение проводится проверка решения и делается вывод о том, что предположение было верным.

Задача 1. Два мальчика побежали одновременно навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 100 метров. Они встретились через 10 секунд. Первый мальчик бежал со скоростью 4 м/с. С какой скоростью бежал второй мальчик?

1) Найти путь, который пробежал первый мальчик до встречи:

2) Найти путь, который пробежал второй мальчик до встречи:

3) Найти скорость второго мальчика:

Задача 2. Из города к зимовке, расстояние между которыми 150 км, выехали аэросани со скоростью 60 км/ч. В это же время навстречу им из зимовки вышел лыжник и встретил аэросани через 2 часа. Найти скорость лыжника.

Сравним эти задачи. В обеих говориться об одновременном встречном движении. И в той и в другой известны расстояния между пунктами, скорость одного объекта и время от начала движения до встречи, а найти надо скорость второго объекта. Ставим вопрос: «Какое мнение возникает относительно плана решения этих задач?» (План решения этих задач должен быть одинаков.) Следовательно, вторую задачу будем решать так:

1) 60 ∙ 2 = 120 (км)

2) 150 – 120 = 30 (км)

3) 30 : 2 = 15 (км/ч)

Проводится проверка, которая показывает, что задача решена верно. При использовании аналогии это необходимо, так как возможна и ложная гипотеза.

Аналогия может быть использована и в тех случаях, когда задачи в некоторой степени различаются и с точки зрения отношений между величинами. Здесь она помогает выбрать некоторые действия, входящие в процесс решения предложенной задачи. Остальные необходимые операции определяются в соответствии отличающейся частью решаемой задачи.

Задача 1. Из одного поселка вышли одновременно два пешехода и идут в противоположных направлениях. Скорость одного пешехода 5 км/ч, другого – 4 км/ч. На каком расстоянии будут пешеходы друг от друга через 3 часа?

Задача 2. От пристани одновременно в противоположных направлениях вышли 2 катера: один со скоростью 20 км/ч, другой – 15 км/ч. Через какое время расстояние между ними будет 105 км?

Эти задачи сходны своими условиями и различаются вопросами. Поэтому первое действие в них одинаковое: находим скорости удаления:

1) 4 + 5 = 9 (км/ч) 1) 20 + 15 = 35 (км/ч)

А второе действие различается:

2) 9 ∙ 3 = 27 (км) 2) 105 : 35 = 3 (ч)

Задания, направленные на развитие умения обобщать

В математике обобщение — это мысленное выделение общих и существенных признаков математических объектов или способов действий с н ими.

При работе над логическим приемом обобщения по существенному признаку на начальном этапе использовались упражнения и игры типа «четвертый лишний». В процессе игры детям задавались вопросы: Что лишнее? Почему? Чем различаются предметы? Как одним словом охарактеризовать оставшиеся предметы? Далее вводились задачи:

Разгадай правило, по которому записан каждый ряд чисел, и продолжи их.

а) 123 , 2 46, 492, 984 .

б ) 15 , 7 5 , 3 75, 1875 ,. ..

в) 3020, 3220, 3420 , 3 620 ,. ..

г) 7602, 7632, 7662, 7692 ,. ..

Применялся и способ выделения обобщенного способа действия.

Сначала предлагаем решить задачу известным способом:

Найди периметр прямоугольника со сторонами 3см и 5 см.

Р = а + а + в + в Следовательно Р = 5 + 5 + 3 + 3

Кто догадался, как по-другому можно найти периметр прямоугольника?

На доске фиксировались разные варианты решения.

— Мы должны из этих решений выбрать правильное и сформулировать правило нахождения периметра прямоугольника.

Разные способы решения фиксировались в виде формул:

Р = (а + в) ∙ 2 = а ∙ 2 + в ∙ 2

Следовательно, решение задачи:

I способ: 5 + 5 + 3 + 3 = 16 см

II способ: (5 + 3) ∙ 2 = 5 ∙ 2 + 3 ∙ 2 = 16 см

Задания, направленные на формирование умения классифицировать

Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие является основой операции классификации.

При разбиении множества на классы мы выполняли следующие условия:

— классификацию выполняли по одному основанию;

— сумма объемов членов классификации должна равняться объему классифицируемого понятия;

— члены классификации должны взаимно исключать друг друга (их объемы не должны пересекаться);

— деление на подклассы должно быть непрерывным, то есть члены классификации должны быть видами одного порядка по отношению к делимому п онятию.

Перед детьми, расположенные в ряд геометрические фигуры разного размера и цвета.

— Назови фигуры, которые ты знаешь?

— Покажи все четырехугольники.

— Почему треугольник называют треугольником?

— Выбери фигуры красного цвета

— Покажи все многоугольники.

Как разделить квадрат на 2 треугольника

Разделите выражения на две группы: 35 + 6, 3 + 6, 4 + 7, 20 – 8, 9 – 3, 47 – 5.

по какому признаку можно разбить выражения на три группы:

8 1 – 29 + 27 400 + 200 + 30 0-1 00

400 + 200 + 3 0-1 00 7 2 : 9 ∙ 3 4 8:6*7:8

27 : 3 ∙ 2 : 6 * 9 84 – 9 ∙ 854 + 6 ∙ 3 – 72 : 8

По какому признаку можно разбить выражения на две группы

Разделите выражения на две группы: 35 + 6, 3 + 6 , 4 + 7 , 2 0 – 8, 9 – 3 , 4 7 – 5.

Распределите выражения в два столбика: 43 ∙ 9, 86 – 7, 54 + 8, 62 ∙ 4, 78 ∙ 3 , 35 – 6. По какому признаку вы их распределяли?

Продолжите цепочку рассуждений:

31 2 ∙ 3 = (300 + 10 + 2) ∙ 3 = 300 ∙ 3 + . + . = .

При каких значениях х значение выражения 126 ∙ х не превышает число 630?

Сравните значения выражений, не выполняя вычислений:

98 ∙ 3… 98 ∙ 6 456 ∙ 5…228 ∙ 5

Во сколько раз значение одного выражения больше значения другого?

Соедините линиями выражения с их значениями:

267 ∙ 3 867 193 ∙ 5

Упражнение содержит ловушку и лишний ответ для того, чтобы дети не подходили формально к выполнению данного упражнения.

Верны или нет равенства? Используй разные способы проверки.

Поставь знаки больше, меньше или равно, не вычисляя значений выражений:

30876 ∙ 6 . 6 ∙ 30876

297 ∙ (5 ∙ 3 ) . (297 ∙ 5) ∙ 3

635 ∙ (5 + 9 ). .. 635 ∙ 5 + 635 ∙ 9

8078 ∙ 6 . 8078 ∙ 4

По какому признаку можно разбить выражения на три группы:

81 – 29 + 27 400 + 200 + 30 0- 100

400 + 200 + 3 0 – 100 7 2: 9 ∙ 3 4 8:6 ∙ 7:8

2 7: 3∙2:6∙9 8 4- 9∙8 54 + 6 ∙ 3 – 7 2 : 8

Соедини текст задачи и соответствующее решение:

На клумбе росли 75 астр и 25 лилий. Сколько всего цветов росло на клумбе.

На клумбе росли 75 астр и 25 лилий. На сколько астр больше, чем лилий?

На клумбе росли 75 астр и 25 лилий. Во сколько раз лилий меньше, чем астр?

Все предложенные задания, безусловно, направлены на формирование нескольких операций мышления, но ввиду преобладания какого-либо из них упражнения были разбиты на предложенные группы. Но существуют и упражнения с ярко выраженной комплексной направленностью. Рассмотрим их далее. Сразу отметим, что использование нестандартных, забавных, сюжетных задач, а также задач-фокусов позволяет вызвать большой интерес к математике у всех учеников класса и простимулировать развитие логического мышления за счет существенного увеличения познавательного интереса.

1. Гном Путалка идёт к клетке с тигром. Каждый раз, когда он делает два шага вперёд, тигр рычит, и гном отступает на шаг назад. За какое время он дойдёт до клетки, если до неё 5 шагов, а 1 шаг Путалка делает за 1 секунду?

2. Гном Забывалка учился писать цифры заострённой палочкой на песке. Только он успел написать 5 цифр: 12345

как увидел большую собаку, испугался и убежал. Вскоре в это место пришёл другой гном Путалка. Он тоже взял палочку и начертил вот что: 12345 = 60

Вставь между цифрами плюсы таким образом, что получившийся пример был решён правильно.

3. Какую отметку впервые в жизни получил по математике Фома, если известно, что она является числом не простым, а составным?

4. Сколько лет сиднем просидел на печи Илья Муромец? Известно, что если бы он просидел ещё 2 раза по столько, то его возраст составил бы наибольшее двузначное число.

5. Барон Мюнхгаузен пересчитал число волшебных волос в бороде старика Хоттабыча. Оно оказалось равным сумме наименьшего трёхзначного числа и наибольшего двузначного. Что это за число?

6. Раздели самое маленькое четырёхзначное число на наименьшее простое и узнаешь, сколько лет не умывалась и не чистила зубы злая волшебница Гингема из повести-сказки А. Волкова «Волшебник Изумрудного города».

Источник