Логарифмическое неравенство способы решения логарифмических неравенств

Логарифмическое неравенство: решение на примерах

Логарифмическое неравенство может встретиться вам в 13 задании ЕГЭ по математике. При решении логарифмического неравенства важно правильно определить область допустимых значений (ОДЗ). Как же решить логарифмическое неравенство? Давайте разберем основные правила.

Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства

Простейшее логарифмическое неравенство можно записать в виде:знак можно заменить на 1, то знак неравенства не меняется.

Если у логарифма в неравенстве 0 0

Решаем это простейшее неравенство и получаем х > -2.

Таким образом область допустимых значений данного неравенства х > -2.

Далее решаем непосредственно логарифмическое неравенство. Так как основание логарифмов (основание = 2) в неравенстве больше единицы, знак неравенства сохраняется:Так как логарифмы в неравенстве имеют одинаковое основание, то мы их можем просто отбросить и решить неравенство вида

Теперь вспоминаем про нашу ОДЗ и определяем окончательный ответ.Отметим полученные значения на числовой оси:

Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1

Теперь разберем то же самое неравенство, только основание логарифма будет равно ½. Таким образом, получим:

Определяем ОДЗ, как и в прошлом примере, х > -2.

Далее смотрим на основание логарифма. В данном случае основание равно ½, т.е. находится в области от 0 1 или 0 , -4½

Источник

Логарифмические неравенства и системы

п.1. Методы решения логарифмических неравенств

При решении логарифмических неравенств используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического неравенства к равносильному неравенству между \(f(x)=g(x)\) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение неравенств вида \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\)

Если \(a\gt 1\), логарифмическое неравенство \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\) равносильно системе: \begin \log_a f(x)\lt\log_a g(x) \Leftrightarrow \begin f(x)\gt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \end Знак неравенства между \(f(x)\) и \(g(x)\) сохраняется.

Если \(0\lt a\lt 1\), логарифмическое неравенство \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\) равносильно системе: \begin \log_a f(x)\lt\log_a g(x) \Leftrightarrow \begin f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \end Знак неравенства между \(f(x)\) и \(g(x)\) меняется на противоположный.

Неравенства \( \begin f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Например:
Решим неравенство \(\log_2(3x-1)\gt\log_2(2-5x)\)
\begin \log_2(3x-1)\gt\log_2(2-5x)\Leftrightarrow \begin 3x-1\gt 2-5x\\ 3x-1\gt 0\\ 2-5x=\gt 0 \end \\ \begin 8x\gt 3\\ 3x\gt 1\\ 5x\lt 2 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac38\\ x\gt\frac13\\ x\lt\frac25 \end \Rightarrow\frac38\lt x\lt \frac25 \end Ответ: \(x\in\left(\frac38;\frac25\right)\)

Система \( \begin f(x)\gt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow \begin f(x)\gt g(x)\\ g(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow f(x)\gt g(x)\gt 0 \)
т.е., можно опустить второе неравенство.
Система \( \begin f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow \begin f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow 0\lt f(x)\lt g(x) \)
т.е., можно опустить третье неравенство.
Научитесь отбрасывать лишнее неравенство: при решении сложных систем этот навык очень пригодится.

п.3. Решение неравенств вида \(\log_ f(x)\gt \log_ g(x)\)

Например:
Решим неравенство \(\log_<2x-3>x\gt 1\)
\(\log_<2x-3>x\gt\log_<2x-3>(2x-3)\Leftrightarrow \left[ \begin \begin 2x-3\gt 1\\ x\gt 2x-3\gt 0 \end \\ \begin 0\lt 2x-3\lt 1\\ -\lt x\lt 2x-3 \end \end \right. \) $$ \left[ \begin \begin 2x\gt 4\\ 2x\gt 3\\ x\gt 2x-3 \end \\ \begin 3\lt 2x\lt 4\\ 0\lt x\\ x\lt 2x-3 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt 2\\ x\gt 1,5\\ x\lt 3 \end \\ \begin 1,5\lt x\lt 2\\ x\gt 0\\ x\gt 3 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 2\lt x\lt 3\\ \varnothing \end \right. \Rightarrow 2\lt x\lt 3 $$ Ответ: \(x\in(2;3)\)

п.4. Сравнение логарифмов с разными основаниями от одного аргумента

Для \(\log_a x\) и \(\log_bx\) с разными основаниями и одним аргументом справедливы следующие соотношения:

\(a\gt b\gt 1\)	\(1\gt a\gt b\gt 0\)
\begin \log_bx\gt\log_ax,\ \ x\in(1;+\infty)\\ \log_bx\lt\log_ax,\ \ x\in(0;1) \end	\begin \log_bx\gt\log_ax,\ \ x\in(1;+\infty)\\ \log_bx\lt\log_ax,\ \ x\in(0;1) \end

п.5. Примеры

Пример 1. Сравните числа:
a) \( a=\log_5\frac78,\ b=\log_6\frac78 \)
Аналитический метод:
\begin a=\frac<\lg\frac78><\lg 5>=\frac<\lg 7-\lg 8><\lg 5>\lt 0,\ \ b=\frac<\lg\frac78><\lg 6>=\frac<\lg 7-\lg 8><\lg 6>\lt 0\\ a-b=\frac<\lg 7-\lg 8><\lg 5>-\frac<\lg 7\lg 8><\lg 6>=(\lg 7-\lg 8)\left(\frac<1><\lg 5>-\frac<1><\lg 6>\right)\\ a-b=\frac<\overbrace<(\lg 7-\lg8)>^<\lt 0>\overbrace<(\lg 6-\lg 5)>^<\gt 0>><\underbrace<\lg 5\cdot\lg 6>_<\gt 0>>\lt 0\\ a\lt b \end Графический метод:
\(0\lt\frac78\lt 1\)

При \(0\lt x\lt 1\) кривая \(\log_6x\gt\log_5x\)
Значит, \(b\gt a\)

б) \( a=\log_5 11,\ b=\log_6 11 \)
Аналитический метод:
\begin a=\frac<\lg 11><\lg 5>,\ \ b=\frac<\lg 11><\lg 6>\\ a-b=\lg 11\left(\frac<1><\lg 5>-\frac<1><\lg 6>\right)= \frac<\overbrace<\lg 11>^<\gt 0>\overbrace<(\lg 6-\lg 5)>^<\gt 0>><\underbrace<\lg 5\cdot\lg 6>_<\gt 0>>\gt 0\\ a\gt b \end Графический метод:
\(11\gt 1\)

При \(x\gt 1\) кривая \(\log_5x\gt\log_6x\)
Значит, \(a\gt b\)

д*) \( a=\log_2 3,\ b=\log_5 8 \)
Преобразуем и решим графически: $$ a=\log_2 3=\log_4 9\gt\log_4 8\gt\log_5 8=b $$ $$ a\gt b $$

Пример 2*. Решите неравенство:
a) \( \log_<0,5>(x^2-7x)\geq\log_<0,5>(3x+11) \) \begin \begin x^2-7x\leq 3x+11\\ x^2-7x\gt 0\\ 3x+11\gt 0 \end \Rightarrow 0\lt x^2-7x\leq 3x+11 \Rightarrow \begin x^2-7x\leq 3x+11\\ x^2-7x\gt \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin x^2-10x-11\leq 0\\ x(x-7)\gt 0 \end \Rightarrow \begin (x+1)(x-11)\leq 0\\ x(x-7)\gt 0 \end \end
\(-1\leq x\leq 0\cup 7\lt x\leq 11\)
Ответ: \(x\in\left.\left[-1;0\right.\right)\cup\left.\left(7;11\right.\right]\)

б) \( \log_3x+\log_3(x-8)\geq 2 \) \begin \log_3\left(x(x-8)\right)\geq \log_39\\ \begin x(x-8)\geq 9\\ x\gt 0\\ x-8\gt 0 \end \Rightarrow \begin x^2-8x-9\geq 0\\ x\gt 0\\ x\gt 8 \end \Rightarrow \begin (x+1)(x-9)\geq 0\\ x\gt 8 \end \end
\(8\lt x\leq 9\)
Ответ: \(x\in\left.\left(8;9\right.\right]\)

в) \( \frac<2x+3><\log_7 x>\gt 0 \)
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют один знак.
Получаем совокупность: \begin \left[ \begin \begin 2x+3\gt 0\\ \log_7 x\gt 0 \end \\ \begin 2x+3\lt 0\\ \log_7x\lt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt-1,5\\ x\gt 1\\ x\gt 0 \end \\ \begin x\lt -1,5\\ x\lt 1\\ x\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\gt 1\\ \varnothing \end \right. \Rightarrow x\gt 1 \end Ответ: \(x\in(1;+\infty)\)

г) \( 4^<\log_4(4-9x)>\lt 16 \)
Преобразуем: \(4^<\log_4(4-9x)>=4-9x\)
Подставляем в исходное неравенство, дописываем ОДЗ: \begin \begin 4-9x\lt 16\\ 4-9x\gt 0 \end \Rightarrow \begin -9x\lt 12\\ -9x\gt -4 \end \Rightarrow \begin x\gt -\frac43\\ x\lt\frac49 \end \Rightarrow -\frac43\lt x\lt \frac49 \end Ответ: \(x\in(-\frac43;\frac49)\)

д) \( \lg^2x+\lg x\gt 2 \)
ОДЗ: \(x\lt 0\)
Замена: \(t=\lg x\)
\(t^2+t-2\gt 0\Rightarrow (t+2)(t-1)\gt 0\)

\(t\lt -2\cup t\gt 1\)
Возвращаемся к исходной переменной: \begin \lg x\lt -2\cup\lg x\gt 1\Rightarrow \begin x\lt 10^<-2>\cup x\gt 10\\ x\gt 0 \end \Rightarrow 0\lt x\lt 0,01\cup x\gt 10 \end Ответ: \(x\in(0;0,01)\cup(10;+\infty)\)

e) \( 4-x\lt\log_2(6+2^x) \)
Перейдем к показательному неравенству: \(2^<4-x>\lt 2^<\log_2(6+2^x)>\)
Получаем:\( \begin 2^<4-x>\lt 6+2^x\\ 6+2^x\gt 0 \end \)
Требование ОДЗ \(6+2^x\gt 0\) выполняется при любом \(x\in\mathbb\)
Решаем основное неравенство: \(\frac<2^4><2^x>\lt 6+2^x\)
Замена: \(t=2^x\gt 0\) \begin \begin \frac<16>-6-t\lt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow \begin \frac<16-6t-t^2>\lt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow \begin \frac\gt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin t^2+6t-16\gt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow \begin (t+8)(t-2)\gt 0\\ t\gt 0 \end \end
\(t\gt 2\)
Возвращаемся к исходной переменной: \(2^x\gt 2\Rightarrow x\gt 1\)
Ответ: \(x\in(1;+\infty)\)

ж) \( \log_<0,5>(3-x^2)+1\lt\log_<0,5>(0,5x+0,5) \)
\begin \log_<0,5>(3-x^2)+1\lt\log_<0,5>0,5(x+1)\\ \log_<0,5>(3-x^2)+1\lt\underbrace<\log_<0,5>0,5>_<=1>+\log_<0,5>(x+1)\\ \log_<0,5>(3-x^2)\lt\log_<0,5>(x+1)\\ \begin 3-x^2\gt x+1\\ 3-x^2\gt 0\\ x+1\gt 0 \end \Rightarrow 3-x^2\gt x+1\gt 0\Rightarrow \begin 3-x^2\gt x+1\\ x+1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x^2+x-2\lt 0\\ x\gt -1 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin (x+2)(x-1)\lt 0\\ x\gt -1 \end \end
\(-1\lt x\lt 1\)
Ответ: \(x\in(-1;1)\)

Пример 3*. Решите неравенство:
a) \( \log_<\frac1x>7\gt\log_<\frac<1><2x-1>>7 \)
Если оба логарифма одного знака и 7>1, основание справа должно быть больше: \begin \begin \frac<1><2x-1>\gt\frac1x\\ x\gt 0,\ x\ne 1\\ 2x-1\gt 0,2x-1\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 2x-1\gt 0\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 2x-1\\ 2x\gt 1\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ x\gt\frac12\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \frac12\lt x\lt 1 \end Если логарифмы разных знаков, то: \begin \begin \log_<\frac17>\gt 0\\ \log_<\frac<1><2x-1>>7\lt 0 \end \Rightarrow \begin \log_7\frac1x\gt 0\\ x\ne 1\\ \log_7\frac<1><2x-1>\lt 0\\ 2x-1\ne 1 \end \Rightarrow \begin \frac1x\gt 1\\ 0\lt\frac<1><2x-1>\lt 1 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ 2x-1\gt 1 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ x\gt 1 \end \Rightarrow \varnothing \end Существует только решение для одинаковых знаков.
Ответ: \(x\in\left(\frac12; 1\right)\)

б) \( \frac<1><\log_2x>\leq\frac<1><\log_2\sqrt> \)
Если оба логарифма одного знака и 2>1, основание слева должно быть больше: \begin \begin x\leq\sqrt\\ x\gt 0,\ x\ne 1\\ \sqrt\gt 0,\ \sqrt\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x^2\geq x+2\\ x\ne 1\\ x\gt-2,\ x\ne -1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x^2-x-2\geq 0\\ x\ne 1 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin x\gt 0\\ (x-2)(x+1)\geq 0\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\leq -1\cup x\geq 2\\ x\ne 1 \end \Rightarrow x\geq 2 \end Еще одно множество решений, если логарифм слева отрицательный, а справа – положительный. \begin \begin \log_x2\leq 0\\ \log_\geq 0 \end \Rightarrow \begin \log_2x\leq 0\\ \log_2\sqrt\geq 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin 0\lt x\leq 1,\ x\ne 1\\ \sqrt\geq 1,\ \sqrt\ne 1 \end \Rightarrow \begin 0\lt x\lt 1\\ x+2\gt 1 \end \Rightarrow \begin 0\lt x\lt 1\\ x\gt -1 \end \Rightarrow 0\lt x\lt 1 \end Объединяем полученные множества: \(0\lt x\lt 1\cup x\geq 2\)
Ответ: \(x\in(0;1)\cup\left.\left[2;+\infty\right.\right)\)

в) \( \log_<2x+1>0,8\lt\log_<4x-1>0,8 \)
Если оба логарифма одного знака и 0,8>1, основание справа должно быть больше: \begin \begin 4x-1\gt 2x+1\\ 4x-1\gt 0,4x-1\ne 1\\ 2x+1\gt 0,2x+1\ne 1 \end \Rightarrow \begin 4x-1\gt 2x+1\gt 0\\ x\ne\left\ <0;\frac12\right\>\end \Rightarrow \begin 2x\gt 2\\ 2x\gt -1\\ x\ne\left\ <0;\frac12\right\>\end \Rightarrow \begin x\gt 1\\ x\gt -\frac12\\ x\ne\left\ <0;\frac12\right\>\end \Rightarrow\\ \Rightarrow x\gt 1 \end Если логарифмы разных знаков: \begin \begin \log_<2x+1>0,8\lt 0\\ \log_<4x_1>0,8\gt 0 \end \Rightarrow \begin \log_<0,8>(2x+1)\lt 0\\ \log_<0,8>(4x-1)\gt 0 \end \Rightarrow \begin 2x+1\gt 1\\ 0\lt 4x-1\lt 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ 1\lt 4x\lt 2 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin x\gt 0\\ \frac14\lt x\lt\frac12 \end \Rightarrow \frac14\lt x\lt\frac12 \end Объединяем полученные множества: \(\frac14\lt x\lt\frac12\cup x\gt 1\)
Ответ: \(x\in\left(\frac14;\frac12\right)\cup(1;+\infty)\)

Пример 4*. Решите неравенство:
a) \( \log_<0,5>\log_4\frac<2x-1>\lt 1 \) \begin \log_<0,5>\log_4\frac<2x-1>\lt \log_<0,5>0,5\\ \begin \log_4\frac<2x-1>\gt 0,5\\ \log_4\frac<2x-1>\gt 0 \end \Rightarrow \log_4\frac<2x-1>\gt 0,5 \Rightarrow \log_4\frac<2x-1>\gt\log_4 2 \Rightarrow \begin \frac<2x-1>\gt 2\\ \frac<2x-1>\gt 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \frac<2x-1>\gt 2 \Rightarrow \frac<2x-1>-2\gt 0 \Rightarrow \frac<2x-1-2x-2>\gt 0\Rightarrow \\ \Rightarrow -\frac<3>\gt 0\Rightarrow x+1\lt 0\Rightarrow x\lt -1 \end Ответ: \(x\in(-\infty;-1)\)

б) \( \log_(3x+4)\gt 1 \)
\(\log_(3x+4)\gt \log_x^2\) \begin \left[ \begin \begin x^2\gt 1\\ 3x+4\gt x^2\gt 0 \end \\ \begin 0\lt x^2\lt 1\\ 0\lt 3x+4\lt x^2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin (x-1)(x+1)\gt 0\\ x^2-3x-4\lt 0\\ x^2\gt 0 \end \\ \begin x^2\gt 0\\ (x-1)(x+1)\lt 0\\ 3x+4\gt 0\\ x^2-3x-4\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt -1\cup x\gt 1\\ (x+1)(x-4)\lt 0\\ x\ne 0 \end \\ \begin x\ne 0\\ -1\lt x\lt 1\\ x\gt -\frac43\\ (x+1)(x-4)\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt -1\cup x\gt 1\\ -1\lt x\lt 4\\ x\ne 0 \end \\ \begin x\ne 0\\ -1\lt x\lt 1\\ x\gt -\frac43\\ x\lt -1\cup x\gt 4 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 1\lt x\lt 4\\ \varnothing \end \right. \Rightarrow 1\lt x\lt 4 \end Ответ: \(x\in(1;4)\)

в) \( \frac<1+\log_(x-3)><\log_2>\log_2(2x-3) \)
Найдем сразу ОДЗ: \( \begin x+1\gt 0,\ x+1\ne 1\\ x-3\gt 0\\ 2x-3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt -1,\ x\ne 0\\ x\gt 3\\ x\gt 1,5 \end \Rightarrow x\gt 3 \)
Приведем выражение слева к логарифму с основанием 2: \begin \frac<1+\log_(x-3)><\log_2>= \frac<1+\frac<\log_2(x-3)><\log_2(x+1)>><\frac<1><\log_2(x+1)>>= \log_2(x+1)+\log_2(x-3)=\\ =\log_2\left((x+1)(x-3)\right) \end Подставляем: \(\log_2\left((x+1)(x-3)\right)\geq \log_2(2x-3)\)
ОДЗ мы уже нашли. Решаем основное неравенство:
\((x+1)(x-3)\geq 2x-3\)
\(x^2-2x-3\geq 2x-3\)
\(x^2-4x\geq 0\)
\(x(x-4)\geq 0\)
С учетом ОДЗ: \( \begin x(x-4)\geq 0\\ x\gt 3 \end \)

\(x\geq 4\)
Ответ: \(x\in\left.\left[4;+\infty\right.\right)\)

г) \( \log_2x\cdot \log_3 2x+\log_3x\cdot\log_2 3x\geq 0 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)

Преобразуем: $$ \log_3 x\cdot\log_2 3x=\frac<\lg x><\lg 3>\cdot\frac<\lg 3x><\lg 2>=\frac<\lg x><\lg 2>\cdot \frac<\lg 3x><\lg 3>=\log_2 x\cdot \log_3 3x $$ Подставляем: \begin \log_2x\cdot\log_3 2x+\log_2x\cdot\log_33x\geq 0\\ \log_2x\cdot(\log_32x+\log_3 3x)\geq 0 \end Получаем совокупность: \begin \left[ \begin \begin \log_2x\geq 0\\ \log_3 2x+\log_3 3x\geq 0 \end \\ \begin \log_2 x\leq 0\\ \log_3 2x+\log_3 3x\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin \log_2 x\geq \log_2 1\\ \log_3 2x\geq -\log_3 3x \end \\ \begin \log_2x\leq \log_2 1\\ \log_32x\leq-\log_3 3x \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ 2x\geq \frac<1> <3x>\end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ 2x\leq \frac<1> <3x>\end \end \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ \frac<6x^2-1><3x>\geq 0 \end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ \frac<6x^2-1><3x>\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ 6x^2-1\geq 0 \end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ 6x^2-1\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ x\leq-\frac<1><\sqrt<6>>\cup x\geq \frac<1><\sqrt<6>> \end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ -\frac<1><\sqrt<6>>\leq x\leq\frac<1><\sqrt<6>> \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\geq 1\\ 0\lt x\leq\frac<1><\sqrt<6>> \end \right. \end Ответ: \(x\in\left.\left(0;\frac<1><\sqrt<6>>\right.\right]\cup\left.\left[1;+\infty\right.\right)\)

Пример 5. Решите систему:
a) \( \begin \log_3(x+21)-\log_3(x-4)\geq 1\\ 9^\lt 3^ <4x+2>\end \) \begin \begin \log_3\frac\geq\log_3 3\\ x+21\gt 0\\ x-4\gt 0\\ 9^\lt 3^ <2(2x+1)>\end \Rightarrow \begin \frac\geq 3\\ x\gt -21\\ x\gt 4\\ 9^\lt 9^ <2x+1>\end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin \frac\geq 0\\ x\gt 4\\ x+1\lt 2x+1 \end \Rightarrow \begin \frac<-2x+33>\geq 0\\ x\gt 4\\ x\gt 0 \end \Rightarrow \begin -2x+33\geq 0\\ x\gt 4 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin x\leq 16,5\\ x\gt 4 \end \Rightarrow 4\lt x\leq 16,5 \end Ответ: \(x\in\left.\left(4;16,5\right.\right]\)

б) \( \begin \log_<\frac13>(12+x)+\log_3(3-x)\lt\log_9\frac14\\ 0,7^<-x>\leq 0,7^<\sqrt> \end \)
\( \log_<\frac13>(12+x)=\log_<3^<-1>>(12+x)=-\log_3(12+x),\ \ \log_9\frac14=\log_3\frac12 \) $$ \begin -\log_3(12+x)+\log_3(3-x)\lt \log_3\frac12\\ -x\geq\sqrt \end $$ Решаем логарифмическое неравенство c ОДЗ условия: \begin \begin \log_3\frac<3-x><12+x>\lt\log_3\frac12\\ 12+x\gt 0\\ 3-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin \frac<3-x><12+x>\lt\frac12\\ x\gt -12\\ x\lt 3 \end \Rightarrow \begin \frac<2(3-x)-(12+x)><12+x>\lt 0\\ x\gt -12\\ x\lt 3 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin \frac<-3x-6>\lt 0\\ -12\lt x\lt 3 \end \Rightarrow \begin -3x-6\lt 0\\ -12\lt x\lt 3 \end \Rightarrow \begin x\gt -2\\ -12\lt x\lt 3 \end \Rightarrow -2\lt x\lt 3 \end Решаем иррациональное неравенство: \begin \sqrt\leq -x\Rightarrow \begin -x\geq 0\\ x+2\geq 0\\ x+2\leq(-x)^2 \end \Rightarrow \begin x\leq 0\\ x\geq -2\\ x^2-x-2\geq 0 \end \Rightarrow \begin -2\leq x\leq 0\\ (x-2)(x+1)\geq 0 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin -2\leq x\leq 0\\ x\leq -1\cup x\geq 2 \end \Rightarrow -2\leq x\leq -1 \end Получаем систему решений: \begin \begin -2\lt x\lt 3\\ -2\leq x\leq -1 \end \Rightarrow -2\leq x\leq -1 \end Ответ: \(x\in\left.\left(-2;-1\right.\right]\)

в) \( \begin \log_<\sqrt<5>>\sqrt\leq 0\\ \left(\frac12\right)^<1-4x>\gt 32 \end \)
Здесь важно не потерять модуль: \(\sqrt=\sqrt<(x-3)^2>=|x-3|\)
ОДЗ: \(|x-3|\gt 0\Rightarrow x\ne 3\) \begin \begin \log_<\sqrt<5>>|x-3|\leq 0\\ 2^<-1(1-4x)>\gt 2^5 \end \Rightarrow \begin |x-3|\leq 1\\ 4x\gt 6\\ x\ne 3 \end \Rightarrow \begin -1\leq x-3\leq 1\\ x\gt 1,5\\ x\ne 3 \end \Rightarrow \begin 2\leq x\leq 4\\ x\gt 1,5\\ x\ne 3 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow 2\leq x\lt 3\cup 3\lt x\leq 4 \endОтвет: \(x\in\left.\left[2;3\right.\right)\cup \left.\left(3;4\right.\right]\)

г*) \( \begin 11^<\sqrt<2x^2+x-6>>\gt \sqrt<11>^<2x>\\ \log_<3x-1>27 \lt 2 \end \)
Решаем показательное неравенство:
\( \sqrt<11>^<2x>=11^x \)
\(11^<\sqrt<2x^2+x-6>>\gt 11^x\) \begin \sqrt<2x^2+x-6>\gt x\Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt 0\\ 2x^2+x-6\geq 0 \end \\ \begin x\geq 0\\ 2x^2+x-6\gt x^2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt 0\\ (2x-3)(x+2)\geq 0 \end \\ \begin x\geq 0\\ x^2+x-6\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt 0\\ x\leq -2\cup x\geq 1,5 \end \\ \begin x\geq 0\\ (x+3)(x-2)\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\leq -2 \\ \begin x\geq 0\\ x\lt -3\cup x\gt 2 \end \end \right. \Rightarrow x\leq -2\cup x\gt 2 \end Решаем логарифмическое неравенство: \begin \log_<3x-1>27\lt 2\Rightarrow \log_<3x-1>27\lt\log_<3x-1>(3x-1)^2\\ \left[ \begin \begin 3x-1\gt 1\\ 27\lt(3x-1)^2 \end \\ \begin 0\lt 3x-1\lt 1\\ 27\gt(3x-1)^2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin 3x\gt 2\\ 27\lt 9x^2-6x+1 \end \\ \begin 1\lt 3x\lt 2\\ 27\gt 9x^2-6x+1 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt\frac23\\ 9x^2-6x-26\gt 0 \end \\ \begin \frac13\lt x\lt \frac23\\ 9x^2-6x-26\lt 0 \end \end \right. \end Исследуем параболу \(f(x)=9x^2-6x-26\)
\(D=(-6)^2-4\cdot 9\cdot (-26)=36(1+26)=36\cdot 27\)
\(\sqrt=6\cdot 3\sqrt<3>=18\sqrt<3>\)
\(x_<1,2>=\frac<6\pm 18\sqrt<3>><18>=\frac13\pm\sqrt<3>\)
\(f(x)\gt 0\) при \(x\lt x_1\cup x\gt x_2\)
\(f(x)\lt 0\) при \(x_1\lt x\lt x_2\)
Подставляем в совокупность: \begin \left[ \begin \begin x\gt \frac23\\ x\lt\frac13-\sqrt<3>\cup x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \\ \begin \frac13\lt x\frac23\\ \frac13-\sqrt<3>\lt x\lt\frac13+\sqrt <3>\end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\gt\frac13+\sqrt<3>\\ \frac13\lt x\lt\frac23 \end \right. \Rightarrow \frac13\lt x\lt\frac23\cup x\gt\frac13+\sqrt <3>\end Получаем систему решений: \begin \begin x\leq -2\cup x\gt 2\\ \frac13\lt x\lt\frac23\cup x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \Rightarrow \begin x\gt 2\\ x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \end Сравним 2 и \(\frac13+\sqrt<3>\)
\(2-\frac13\ ?\ \sqrt<3>\)
\(\frac53\ ?\ \sqrt<3>\)
\(\frac<25><9>\lt 3\Rightarrow 2\lt\frac13+\sqrt<3>\)
Значит, из \( \begin x\gt 2\\ x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \Rightarrow x\gt\frac13+\sqrt <3>\)
Ответ: \(x\in\left(\frac13+\sqrt<3>;+\infty\right)\)

Источник