Логарифмические неравенства способ решения

Логарифмические неравенства и системы

п.1. Методы решения логарифмических неравенств

При решении логарифмических неравенств используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического неравенства к равносильному неравенству между \(f(x)=g(x)\) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение неравенств вида \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\)

Если \(a\gt 1\), логарифмическое неравенство \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\) равносильно системе: \begin \log_a f(x)\lt\log_a g(x) \Leftrightarrow \begin f(x)\gt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \end Знак неравенства между \(f(x)\) и \(g(x)\) сохраняется.

Если \(0\lt a\lt 1\), логарифмическое неравенство \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\) равносильно системе: \begin \log_a f(x)\lt\log_a g(x) \Leftrightarrow \begin f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \end Знак неравенства между \(f(x)\) и \(g(x)\) меняется на противоположный.

Неравенства \( \begin f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Например:
Решим неравенство \(\log_2(3x-1)\gt\log_2(2-5x)\)
\begin \log_2(3x-1)\gt\log_2(2-5x)\Leftrightarrow \begin 3x-1\gt 2-5x\\ 3x-1\gt 0\\ 2-5x=\gt 0 \end \\ \begin 8x\gt 3\\ 3x\gt 1\\ 5x\lt 2 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac38\\ x\gt\frac13\\ x\lt\frac25 \end \Rightarrow\frac38\lt x\lt \frac25 \end Ответ: \(x\in\left(\frac38;\frac25\right)\)

Система \( \begin f(x)\gt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow \begin f(x)\gt g(x)\\ g(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow f(x)\gt g(x)\gt 0 \)
т.е., можно опустить второе неравенство.
Система \( \begin f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow \begin f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow 0\lt f(x)\lt g(x) \)
т.е., можно опустить третье неравенство.
Научитесь отбрасывать лишнее неравенство: при решении сложных систем этот навык очень пригодится.

п.3. Решение неравенств вида \(\log_ f(x)\gt \log_ g(x)\)

Например:
Решим неравенство \(\log_<2x-3>x\gt 1\)
\(\log_<2x-3>x\gt\log_<2x-3>(2x-3)\Leftrightarrow \left[ \begin \begin 2x-3\gt 1\\ x\gt 2x-3\gt 0 \end \\ \begin 0\lt 2x-3\lt 1\\ -\lt x\lt 2x-3 \end \end \right. \) $$ \left[ \begin \begin 2x\gt 4\\ 2x\gt 3\\ x\gt 2x-3 \end \\ \begin 3\lt 2x\lt 4\\ 0\lt x\\ x\lt 2x-3 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt 2\\ x\gt 1,5\\ x\lt 3 \end \\ \begin 1,5\lt x\lt 2\\ x\gt 0\\ x\gt 3 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 2\lt x\lt 3\\ \varnothing \end \right. \Rightarrow 2\lt x\lt 3 $$ Ответ: \(x\in(2;3)\)

п.4. Сравнение логарифмов с разными основаниями от одного аргумента

Для \(\log_a x\) и \(\log_bx\) с разными основаниями и одним аргументом справедливы следующие соотношения:

\(a\gt b\gt 1\)	\(1\gt a\gt b\gt 0\)
\begin \log_bx\gt\log_ax,\ \ x\in(1;+\infty)\\ \log_bx\lt\log_ax,\ \ x\in(0;1) \end	\begin \log_bx\gt\log_ax,\ \ x\in(1;+\infty)\\ \log_bx\lt\log_ax,\ \ x\in(0;1) \end

п.5. Примеры

Пример 1. Сравните числа:
a) \( a=\log_5\frac78,\ b=\log_6\frac78 \)
Аналитический метод:
\begin a=\frac<\lg\frac78><\lg 5>=\frac<\lg 7-\lg 8><\lg 5>\lt 0,\ \ b=\frac<\lg\frac78><\lg 6>=\frac<\lg 7-\lg 8><\lg 6>\lt 0\\ a-b=\frac<\lg 7-\lg 8><\lg 5>-\frac<\lg 7\lg 8><\lg 6>=(\lg 7-\lg 8)\left(\frac<1><\lg 5>-\frac<1><\lg 6>\right)\\ a-b=\frac<\overbrace<(\lg 7-\lg8)>^<\lt 0>\overbrace<(\lg 6-\lg 5)>^<\gt 0>><\underbrace<\lg 5\cdot\lg 6>_<\gt 0>>\lt 0\\ a\lt b \end Графический метод:
\(0\lt\frac78\lt 1\)

При \(0\lt x\lt 1\) кривая \(\log_6x\gt\log_5x\)
Значит, \(b\gt a\)

б) \( a=\log_5 11,\ b=\log_6 11 \)
Аналитический метод:
\begin a=\frac<\lg 11><\lg 5>,\ \ b=\frac<\lg 11><\lg 6>\\ a-b=\lg 11\left(\frac<1><\lg 5>-\frac<1><\lg 6>\right)= \frac<\overbrace<\lg 11>^<\gt 0>\overbrace<(\lg 6-\lg 5)>^<\gt 0>><\underbrace<\lg 5\cdot\lg 6>_<\gt 0>>\gt 0\\ a\gt b \end Графический метод:
\(11\gt 1\)

При \(x\gt 1\) кривая \(\log_5x\gt\log_6x\)
Значит, \(a\gt b\)

д*) \( a=\log_2 3,\ b=\log_5 8 \)
Преобразуем и решим графически: $$ a=\log_2 3=\log_4 9\gt\log_4 8\gt\log_5 8=b $$ $$ a\gt b $$

Пример 2*. Решите неравенство:
a) \( \log_<0,5>(x^2-7x)\geq\log_<0,5>(3x+11) \) \begin \begin x^2-7x\leq 3x+11\\ x^2-7x\gt 0\\ 3x+11\gt 0 \end \Rightarrow 0\lt x^2-7x\leq 3x+11 \Rightarrow \begin x^2-7x\leq 3x+11\\ x^2-7x\gt \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin x^2-10x-11\leq 0\\ x(x-7)\gt 0 \end \Rightarrow \begin (x+1)(x-11)\leq 0\\ x(x-7)\gt 0 \end \end
\(-1\leq x\leq 0\cup 7\lt x\leq 11\)
Ответ: \(x\in\left.\left[-1;0\right.\right)\cup\left.\left(7;11\right.\right]\)

б) \( \log_3x+\log_3(x-8)\geq 2 \) \begin \log_3\left(x(x-8)\right)\geq \log_39\\ \begin x(x-8)\geq 9\\ x\gt 0\\ x-8\gt 0 \end \Rightarrow \begin x^2-8x-9\geq 0\\ x\gt 0\\ x\gt 8 \end \Rightarrow \begin (x+1)(x-9)\geq 0\\ x\gt 8 \end \end
\(8\lt x\leq 9\)
Ответ: \(x\in\left.\left(8;9\right.\right]\)

в) \( \frac<2x+3><\log_7 x>\gt 0 \)
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют один знак.
Получаем совокупность: \begin \left[ \begin \begin 2x+3\gt 0\\ \log_7 x\gt 0 \end \\ \begin 2x+3\lt 0\\ \log_7x\lt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt-1,5\\ x\gt 1\\ x\gt 0 \end \\ \begin x\lt -1,5\\ x\lt 1\\ x\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\gt 1\\ \varnothing \end \right. \Rightarrow x\gt 1 \end Ответ: \(x\in(1;+\infty)\)

г) \( 4^<\log_4(4-9x)>\lt 16 \)
Преобразуем: \(4^<\log_4(4-9x)>=4-9x\)
Подставляем в исходное неравенство, дописываем ОДЗ: \begin \begin 4-9x\lt 16\\ 4-9x\gt 0 \end \Rightarrow \begin -9x\lt 12\\ -9x\gt -4 \end \Rightarrow \begin x\gt -\frac43\\ x\lt\frac49 \end \Rightarrow -\frac43\lt x\lt \frac49 \end Ответ: \(x\in(-\frac43;\frac49)\)

д) \( \lg^2x+\lg x\gt 2 \)
ОДЗ: \(x\lt 0\)
Замена: \(t=\lg x\)
\(t^2+t-2\gt 0\Rightarrow (t+2)(t-1)\gt 0\)

\(t\lt -2\cup t\gt 1\)
Возвращаемся к исходной переменной: \begin \lg x\lt -2\cup\lg x\gt 1\Rightarrow \begin x\lt 10^<-2>\cup x\gt 10\\ x\gt 0 \end \Rightarrow 0\lt x\lt 0,01\cup x\gt 10 \end Ответ: \(x\in(0;0,01)\cup(10;+\infty)\)

e) \( 4-x\lt\log_2(6+2^x) \)
Перейдем к показательному неравенству: \(2^<4-x>\lt 2^<\log_2(6+2^x)>\)
Получаем:\( \begin 2^<4-x>\lt 6+2^x\\ 6+2^x\gt 0 \end \)
Требование ОДЗ \(6+2^x\gt 0\) выполняется при любом \(x\in\mathbb\)
Решаем основное неравенство: \(\frac<2^4><2^x>\lt 6+2^x\)
Замена: \(t=2^x\gt 0\) \begin \begin \frac<16>-6-t\lt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow \begin \frac<16-6t-t^2>\lt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow \begin \frac\gt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin t^2+6t-16\gt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow \begin (t+8)(t-2)\gt 0\\ t\gt 0 \end \end
\(t\gt 2\)
Возвращаемся к исходной переменной: \(2^x\gt 2\Rightarrow x\gt 1\)
Ответ: \(x\in(1;+\infty)\)

ж) \( \log_<0,5>(3-x^2)+1\lt\log_<0,5>(0,5x+0,5) \)
\begin \log_<0,5>(3-x^2)+1\lt\log_<0,5>0,5(x+1)\\ \log_<0,5>(3-x^2)+1\lt\underbrace<\log_<0,5>0,5>_<=1>+\log_<0,5>(x+1)\\ \log_<0,5>(3-x^2)\lt\log_<0,5>(x+1)\\ \begin 3-x^2\gt x+1\\ 3-x^2\gt 0\\ x+1\gt 0 \end \Rightarrow 3-x^2\gt x+1\gt 0\Rightarrow \begin 3-x^2\gt x+1\\ x+1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x^2+x-2\lt 0\\ x\gt -1 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin (x+2)(x-1)\lt 0\\ x\gt -1 \end \end
\(-1\lt x\lt 1\)
Ответ: \(x\in(-1;1)\)

Пример 3*. Решите неравенство:
a) \( \log_<\frac1x>7\gt\log_<\frac<1><2x-1>>7 \)
Если оба логарифма одного знака и 7>1, основание справа должно быть больше: \begin \begin \frac<1><2x-1>\gt\frac1x\\ x\gt 0,\ x\ne 1\\ 2x-1\gt 0,2x-1\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 2x-1\gt 0\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 2x-1\\ 2x\gt 1\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ x\gt\frac12\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \frac12\lt x\lt 1 \end Если логарифмы разных знаков, то: \begin \begin \log_<\frac17>\gt 0\\ \log_<\frac<1><2x-1>>7\lt 0 \end \Rightarrow \begin \log_7\frac1x\gt 0\\ x\ne 1\\ \log_7\frac<1><2x-1>\lt 0\\ 2x-1\ne 1 \end \Rightarrow \begin \frac1x\gt 1\\ 0\lt\frac<1><2x-1>\lt 1 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ 2x-1\gt 1 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ x\gt 1 \end \Rightarrow \varnothing \end Существует только решение для одинаковых знаков.
Ответ: \(x\in\left(\frac12; 1\right)\)

б) \( \frac<1><\log_2x>\leq\frac<1><\log_2\sqrt> \)
Если оба логарифма одного знака и 2>1, основание слева должно быть больше: \begin \begin x\leq\sqrt\\ x\gt 0,\ x\ne 1\\ \sqrt\gt 0,\ \sqrt\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x^2\geq x+2\\ x\ne 1\\ x\gt-2,\ x\ne -1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x^2-x-2\geq 0\\ x\ne 1 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin x\gt 0\\ (x-2)(x+1)\geq 0\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\leq -1\cup x\geq 2\\ x\ne 1 \end \Rightarrow x\geq 2 \end Еще одно множество решений, если логарифм слева отрицательный, а справа – положительный. \begin \begin \log_x2\leq 0\\ \log_\geq 0 \end \Rightarrow \begin \log_2x\leq 0\\ \log_2\sqrt\geq 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin 0\lt x\leq 1,\ x\ne 1\\ \sqrt\geq 1,\ \sqrt\ne 1 \end \Rightarrow \begin 0\lt x\lt 1\\ x+2\gt 1 \end \Rightarrow \begin 0\lt x\lt 1\\ x\gt -1 \end \Rightarrow 0\lt x\lt 1 \end Объединяем полученные множества: \(0\lt x\lt 1\cup x\geq 2\)
Ответ: \(x\in(0;1)\cup\left.\left[2;+\infty\right.\right)\)

в) \( \log_<2x+1>0,8\lt\log_<4x-1>0,8 \)
Если оба логарифма одного знака и 0,8>1, основание справа должно быть больше: \begin \begin 4x-1\gt 2x+1\\ 4x-1\gt 0,4x-1\ne 1\\ 2x+1\gt 0,2x+1\ne 1 \end \Rightarrow \begin 4x-1\gt 2x+1\gt 0\\ x\ne\left\ <0;\frac12\right\>\end \Rightarrow \begin 2x\gt 2\\ 2x\gt -1\\ x\ne\left\ <0;\frac12\right\>\end \Rightarrow \begin x\gt 1\\ x\gt -\frac12\\ x\ne\left\ <0;\frac12\right\>\end \Rightarrow\\ \Rightarrow x\gt 1 \end Если логарифмы разных знаков: \begin \begin \log_<2x+1>0,8\lt 0\\ \log_<4x_1>0,8\gt 0 \end \Rightarrow \begin \log_<0,8>(2x+1)\lt 0\\ \log_<0,8>(4x-1)\gt 0 \end \Rightarrow \begin 2x+1\gt 1\\ 0\lt 4x-1\lt 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ 1\lt 4x\lt 2 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin x\gt 0\\ \frac14\lt x\lt\frac12 \end \Rightarrow \frac14\lt x\lt\frac12 \end Объединяем полученные множества: \(\frac14\lt x\lt\frac12\cup x\gt 1\)
Ответ: \(x\in\left(\frac14;\frac12\right)\cup(1;+\infty)\)

Пример 4*. Решите неравенство:
a) \( \log_<0,5>\log_4\frac<2x-1>\lt 1 \) \begin \log_<0,5>\log_4\frac<2x-1>\lt \log_<0,5>0,5\\ \begin \log_4\frac<2x-1>\gt 0,5\\ \log_4\frac<2x-1>\gt 0 \end \Rightarrow \log_4\frac<2x-1>\gt 0,5 \Rightarrow \log_4\frac<2x-1>\gt\log_4 2 \Rightarrow \begin \frac<2x-1>\gt 2\\ \frac<2x-1>\gt 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \frac<2x-1>\gt 2 \Rightarrow \frac<2x-1>-2\gt 0 \Rightarrow \frac<2x-1-2x-2>\gt 0\Rightarrow \\ \Rightarrow -\frac<3>\gt 0\Rightarrow x+1\lt 0\Rightarrow x\lt -1 \end Ответ: \(x\in(-\infty;-1)\)

б) \( \log_(3x+4)\gt 1 \)
\(\log_(3x+4)\gt \log_x^2\) \begin \left[ \begin \begin x^2\gt 1\\ 3x+4\gt x^2\gt 0 \end \\ \begin 0\lt x^2\lt 1\\ 0\lt 3x+4\lt x^2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin (x-1)(x+1)\gt 0\\ x^2-3x-4\lt 0\\ x^2\gt 0 \end \\ \begin x^2\gt 0\\ (x-1)(x+1)\lt 0\\ 3x+4\gt 0\\ x^2-3x-4\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt -1\cup x\gt 1\\ (x+1)(x-4)\lt 0\\ x\ne 0 \end \\ \begin x\ne 0\\ -1\lt x\lt 1\\ x\gt -\frac43\\ (x+1)(x-4)\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt -1\cup x\gt 1\\ -1\lt x\lt 4\\ x\ne 0 \end \\ \begin x\ne 0\\ -1\lt x\lt 1\\ x\gt -\frac43\\ x\lt -1\cup x\gt 4 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 1\lt x\lt 4\\ \varnothing \end \right. \Rightarrow 1\lt x\lt 4 \end Ответ: \(x\in(1;4)\)

в) \( \frac<1+\log_(x-3)><\log_2>\log_2(2x-3) \)
Найдем сразу ОДЗ: \( \begin x+1\gt 0,\ x+1\ne 1\\ x-3\gt 0\\ 2x-3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt -1,\ x\ne 0\\ x\gt 3\\ x\gt 1,5 \end \Rightarrow x\gt 3 \)
Приведем выражение слева к логарифму с основанием 2: \begin \frac<1+\log_(x-3)><\log_2>= \frac<1+\frac<\log_2(x-3)><\log_2(x+1)>><\frac<1><\log_2(x+1)>>= \log_2(x+1)+\log_2(x-3)=\\ =\log_2\left((x+1)(x-3)\right) \end Подставляем: \(\log_2\left((x+1)(x-3)\right)\geq \log_2(2x-3)\)
ОДЗ мы уже нашли. Решаем основное неравенство:
\((x+1)(x-3)\geq 2x-3\)
\(x^2-2x-3\geq 2x-3\)
\(x^2-4x\geq 0\)
\(x(x-4)\geq 0\)
С учетом ОДЗ: \( \begin x(x-4)\geq 0\\ x\gt 3 \end \)

\(x\geq 4\)
Ответ: \(x\in\left.\left[4;+\infty\right.\right)\)

г) \( \log_2x\cdot \log_3 2x+\log_3x\cdot\log_2 3x\geq 0 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)

Преобразуем: $$ \log_3 x\cdot\log_2 3x=\frac<\lg x><\lg 3>\cdot\frac<\lg 3x><\lg 2>=\frac<\lg x><\lg 2>\cdot \frac<\lg 3x><\lg 3>=\log_2 x\cdot \log_3 3x $$ Подставляем: \begin \log_2x\cdot\log_3 2x+\log_2x\cdot\log_33x\geq 0\\ \log_2x\cdot(\log_32x+\log_3 3x)\geq 0 \end Получаем совокупность: \begin \left[ \begin \begin \log_2x\geq 0\\ \log_3 2x+\log_3 3x\geq 0 \end \\ \begin \log_2 x\leq 0\\ \log_3 2x+\log_3 3x\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin \log_2 x\geq \log_2 1\\ \log_3 2x\geq -\log_3 3x \end \\ \begin \log_2x\leq \log_2 1\\ \log_32x\leq-\log_3 3x \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ 2x\geq \frac<1> <3x>\end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ 2x\leq \frac<1> <3x>\end \end \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ \frac<6x^2-1><3x>\geq 0 \end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ \frac<6x^2-1><3x>\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ 6x^2-1\geq 0 \end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ 6x^2-1\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ x\leq-\frac<1><\sqrt<6>>\cup x\geq \frac<1><\sqrt<6>> \end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ -\frac<1><\sqrt<6>>\leq x\leq\frac<1><\sqrt<6>> \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\geq 1\\ 0\lt x\leq\frac<1><\sqrt<6>> \end \right. \end Ответ: \(x\in\left.\left(0;\frac<1><\sqrt<6>>\right.\right]\cup\left.\left[1;+\infty\right.\right)\)

Пример 5. Решите систему:
a) \( \begin \log_3(x+21)-\log_3(x-4)\geq 1\\ 9^\lt 3^ <4x+2>\end \) \begin \begin \log_3\frac\geq\log_3 3\\ x+21\gt 0\\ x-4\gt 0\\ 9^\lt 3^ <2(2x+1)>\end \Rightarrow \begin \frac\geq 3\\ x\gt -21\\ x\gt 4\\ 9^\lt 9^ <2x+1>\end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin \frac\geq 0\\ x\gt 4\\ x+1\lt 2x+1 \end \Rightarrow \begin \frac<-2x+33>\geq 0\\ x\gt 4\\ x\gt 0 \end \Rightarrow \begin -2x+33\geq 0\\ x\gt 4 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin x\leq 16,5\\ x\gt 4 \end \Rightarrow 4\lt x\leq 16,5 \end Ответ: \(x\in\left.\left(4;16,5\right.\right]\)

б) \( \begin \log_<\frac13>(12+x)+\log_3(3-x)\lt\log_9\frac14\\ 0,7^<-x>\leq 0,7^<\sqrt> \end \)
\( \log_<\frac13>(12+x)=\log_<3^<-1>>(12+x)=-\log_3(12+x),\ \ \log_9\frac14=\log_3\frac12 \) $$ \begin -\log_3(12+x)+\log_3(3-x)\lt \log_3\frac12\\ -x\geq\sqrt \end $$ Решаем логарифмическое неравенство c ОДЗ условия: \begin \begin \log_3\frac<3-x><12+x>\lt\log_3\frac12\\ 12+x\gt 0\\ 3-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin \frac<3-x><12+x>\lt\frac12\\ x\gt -12\\ x\lt 3 \end \Rightarrow \begin \frac<2(3-x)-(12+x)><12+x>\lt 0\\ x\gt -12\\ x\lt 3 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin \frac<-3x-6>\lt 0\\ -12\lt x\lt 3 \end \Rightarrow \begin -3x-6\lt 0\\ -12\lt x\lt 3 \end \Rightarrow \begin x\gt -2\\ -12\lt x\lt 3 \end \Rightarrow -2\lt x\lt 3 \end Решаем иррациональное неравенство: \begin \sqrt\leq -x\Rightarrow \begin -x\geq 0\\ x+2\geq 0\\ x+2\leq(-x)^2 \end \Rightarrow \begin x\leq 0\\ x\geq -2\\ x^2-x-2\geq 0 \end \Rightarrow \begin -2\leq x\leq 0\\ (x-2)(x+1)\geq 0 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin -2\leq x\leq 0\\ x\leq -1\cup x\geq 2 \end \Rightarrow -2\leq x\leq -1 \end Получаем систему решений: \begin \begin -2\lt x\lt 3\\ -2\leq x\leq -1 \end \Rightarrow -2\leq x\leq -1 \end Ответ: \(x\in\left.\left(-2;-1\right.\right]\)

в) \( \begin \log_<\sqrt<5>>\sqrt\leq 0\\ \left(\frac12\right)^<1-4x>\gt 32 \end \)
Здесь важно не потерять модуль: \(\sqrt=\sqrt<(x-3)^2>=|x-3|\)
ОДЗ: \(|x-3|\gt 0\Rightarrow x\ne 3\) \begin \begin \log_<\sqrt<5>>|x-3|\leq 0\\ 2^<-1(1-4x)>\gt 2^5 \end \Rightarrow \begin |x-3|\leq 1\\ 4x\gt 6\\ x\ne 3 \end \Rightarrow \begin -1\leq x-3\leq 1\\ x\gt 1,5\\ x\ne 3 \end \Rightarrow \begin 2\leq x\leq 4\\ x\gt 1,5\\ x\ne 3 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow 2\leq x\lt 3\cup 3\lt x\leq 4 \endОтвет: \(x\in\left.\left[2;3\right.\right)\cup \left.\left(3;4\right.\right]\)

г*) \( \begin 11^<\sqrt<2x^2+x-6>>\gt \sqrt<11>^<2x>\\ \log_<3x-1>27 \lt 2 \end \)
Решаем показательное неравенство:
\( \sqrt<11>^<2x>=11^x \)
\(11^<\sqrt<2x^2+x-6>>\gt 11^x\) \begin \sqrt<2x^2+x-6>\gt x\Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt 0\\ 2x^2+x-6\geq 0 \end \\ \begin x\geq 0\\ 2x^2+x-6\gt x^2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt 0\\ (2x-3)(x+2)\geq 0 \end \\ \begin x\geq 0\\ x^2+x-6\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt 0\\ x\leq -2\cup x\geq 1,5 \end \\ \begin x\geq 0\\ (x+3)(x-2)\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\leq -2 \\ \begin x\geq 0\\ x\lt -3\cup x\gt 2 \end \end \right. \Rightarrow x\leq -2\cup x\gt 2 \end Решаем логарифмическое неравенство: \begin \log_<3x-1>27\lt 2\Rightarrow \log_<3x-1>27\lt\log_<3x-1>(3x-1)^2\\ \left[ \begin \begin 3x-1\gt 1\\ 27\lt(3x-1)^2 \end \\ \begin 0\lt 3x-1\lt 1\\ 27\gt(3x-1)^2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin 3x\gt 2\\ 27\lt 9x^2-6x+1 \end \\ \begin 1\lt 3x\lt 2\\ 27\gt 9x^2-6x+1 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt\frac23\\ 9x^2-6x-26\gt 0 \end \\ \begin \frac13\lt x\lt \frac23\\ 9x^2-6x-26\lt 0 \end \end \right. \end Исследуем параболу \(f(x)=9x^2-6x-26\)
\(D=(-6)^2-4\cdot 9\cdot (-26)=36(1+26)=36\cdot 27\)
\(\sqrt=6\cdot 3\sqrt<3>=18\sqrt<3>\)
\(x_<1,2>=\frac<6\pm 18\sqrt<3>><18>=\frac13\pm\sqrt<3>\)
\(f(x)\gt 0\) при \(x\lt x_1\cup x\gt x_2\)
\(f(x)\lt 0\) при \(x_1\lt x\lt x_2\)
Подставляем в совокупность: \begin \left[ \begin \begin x\gt \frac23\\ x\lt\frac13-\sqrt<3>\cup x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \\ \begin \frac13\lt x\frac23\\ \frac13-\sqrt<3>\lt x\lt\frac13+\sqrt <3>\end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\gt\frac13+\sqrt<3>\\ \frac13\lt x\lt\frac23 \end \right. \Rightarrow \frac13\lt x\lt\frac23\cup x\gt\frac13+\sqrt <3>\end Получаем систему решений: \begin \begin x\leq -2\cup x\gt 2\\ \frac13\lt x\lt\frac23\cup x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \Rightarrow \begin x\gt 2\\ x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \end Сравним 2 и \(\frac13+\sqrt<3>\)
\(2-\frac13\ ?\ \sqrt<3>\)
\(\frac53\ ?\ \sqrt<3>\)
\(\frac<25><9>\lt 3\Rightarrow 2\lt\frac13+\sqrt<3>\)
Значит, из \( \begin x\gt 2\\ x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \Rightarrow x\gt\frac13+\sqrt <3>\)
Ответ: \(x\in\left(\frac13+\sqrt<3>;+\infty\right)\)

Источник