Лекции функции область определения способы задания функции

Тема 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.1. Определение функции одной переменной

Определение. Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция y = f ( x ) с областью определения X = D( f ) и областью изменения Y = E ( f ). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией.

Частным значением функции y = f ( x ) при фиксированном значении аргумента x = x₀ называют y ₀ = f ( x ₀ ).

Графиком функции y = f ( x ) называют геометрическое место точек M ( x ; f ( x )) на плоскости Oxy , где x Î D ( f ) и f ( x ) Î E ( f ).

1.2. Способы задания функции

1) Аналитический способ – способ задания функции с помощью формулы.

Различают несколько способов аналитического задания функции:

а) Функция задана явно формулой y = f ( x ).

Например: , где D( y ) = (– ∞;1) (1;+∞).

б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y : F( x ; y ) = 0.

Например: – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r . Если из этого уравнения выразить y через x , то получится две функции:

и ,

которые имеют область определения , а области значений этих функций будут: для первой – , для второй – .

в) Функция задана параметрически с помощью некоторого параметра t , причём и аргумент x , и функция y зависят от этого параметра:

Например: можно задать окружность с помощью параметрических уравнений:

2) Табличный способ задания функции – например, таблицы Брадиса задают функции y = sin x , y = cos x и др.

3) Графический способ задания функции, когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.

1.3. Сложная и обратная функции

Определение 1 . Пусть функция y = f ( U) определена на множестве D( f ), а функция U = g ( x ) определена на D( g ), причём E( g ) D( f ).

Тогда функция y = F( x ) = f ( g ( x )) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g ) .

Определение 2 . Пусть задана функция y = f ( x ) взаимно однозначно отображающая множество X = D ( f ) на множество Y = E ( f ). Тогда функция x = g ( y ) называется обратной к функции y = f ( x ), т. е. любому y E( f ) соответствует единственное значение x D ( f ), при котором верно равенство y = f ( x ).

Замечание. Графики функций y = f ( x ) и x = g ( y ) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x , а зависимую y , то графики функций y = f ( x ) и y = g ( x ) будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

1.4. Элементарные функции

Основные элементарные функции:

y = const ( постоянная функция), D ( y ) = R ; E ( y ) = c .

( линейная функция), D ( y ) = R ; E ( y ) = R .

y = ( степенная функция), α Î R , E( y ), D ( y ) зависят от α .

y = ( показательная функция), a > 0, a ≠ 1, D ( y ) = R , E ( y ) = ( 0; +∞).

y = ( логарифмическая функция) ), a > 0, a ≠ 1, D ( y ) = (0;+∞), E ( y ) = R .

y = sin x , D ( y ) = R , E ( y ) = .

y = cos x, D( y) = R, E( y) = .

y = tg x, D( y) = , E( y) = R.

y = ctg x, D( y) = , E( y) = R.

Обратные тригонометрические функции :

y = arcsin x , D ( y ) = , E ( y ) = .

y = arccos x, D( y) = , E( y) = .

y = arctg x , D ( y ) = R , E ( y ) = .

y = arcctg x , D ( y ) = R , E ( y ) = .

Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.

Например: – элементарная функция.

Графики обратных тригонометрических функций:

Источник

Лекция 1. Функция. Способы задания. Свойства

1.1. Функция

Определение.Закон, который каждой точке x из некоторого множества X ставит в соответствие определенное число y из множества Y, называется функцией.

Обозначение: y = f(x) или x — f —> y, где f – это закон.

Множество X – область определения функции (ООФ): D(y) или D(f), где переменная х – аргумент функции;

Множество Y – множество значений функции (МЗФ): E(y) или E(f)

Функция может быть: одной переменной y = f(x), двух переменных z = f(x,y) и более.

1.2. Способы задания функции

1) Аналитический, т.е. формулой. Например: y = 2x – 5, f(x) = (2x 2 – 3) 3 , f(x) = x n , f(x) = sin x.

Определение.а) Графиком функции y = f(x) называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x)), где xÎ D(f), (для функции одной переменной)

б) Графиком функции z = f(x,y) называется множество точек пространства с координатами

Читайте также:  Способ обработки первичных бухгалтерских документов

(x, y, f(x, y)), где (x, y)Î D(f), (для функции двух переменных).

Из графика одной функции путем преобразования графика можно получить бесконечно много графиков других функций.

Простейшие преобразования графиков

· сдвиг графика вверх по оси Y

· сдвиг графика вниз по оси Y

· сдвиг графика влево по оси Х

· сдвиг графика вправо по оси Х

· сжатие или растяжение графика от оси X

· симметрия (отражение) графика относительно оси Х

· сжатие или растяжение графика от оси Y(при к > 1 –сжатие, при k x₂ f(x₁) > f(x₂)

7) Асимптоты графика. Это прямые, к которым график функции бесконечно приближается, но никогда не пересекает. Нахождение асимптот рассмотрено в теме «Дифференциальное исчисление».

Источник