Лабораторная работа 2 определение ускорения силы тяжести по способу бесселя

Определение ускорения силы тяжести по способу Бесселя

Страницы работы

Содержание работы

Новосибирская государственная Академия водного транспорта

Отчет к лабораторной работе на тему

«Определение ускорения силы тяжести по способу Бесселя»

Выполнила студентка группы УВТ-11Б

Экспериментальное изучение гармонических колебаний с помощью математического маятника.

Определение ускорения силы тяжести по способу Бесселя.

Приборы и принадлежности:

1) Математический маятник.

Порядок выполнения работы:

1) Взяли возможную большую длину маятника и сделали отсчет по шкале (h₁).

2) Вывели маятник из положения равновесия, определили с помощью секундомера время 50 полных колебаний. Опыт повторили 4 раза.

3) Укоротили длину нити, сделали отсчет по шкале (h₂) и повторили измерения пункта 2.

4) Определили среднее значение величин Т₁, Т₂, h=h₁-h₂, занесли все значения в таблицу.

Источник

Определение ускорения силы тяжести по способу Бесселя.

Приборы и принадлежности: маятник, секундомер.

Период колебания математического маятника определяется формулой

(1)

где 1 — длина маятника, g — ускорение силы тяжести.

Предположим, что маятник сначала имеет длину (l + h) колеблется с периодом:

(2)

Затем длина его уменьшится на h и новый период колебания будет:

(3)

Возведем обе части формул (2) и(3) в квадрат и полученные равенства разрешим относительно 1, приравниваем соответствующие части уравнений и разрешаем получившиеся уравнения относительно g. Получаем:

(4)

Этой формулой мы воспользуемся для определения g. Эта формула удобна тем, что длину маятника нам определять не нужно. Период Т₁| и Т₂ определяется секундомером или при помощи часов. Разность длин маятников измеряется линейкой реохорда.

Порядок выполнения работы

1. маятнику задается произвольная длина (1+h)

2. маятник выводится из положения равновесия и, предоставленный самому себе, начинает качаться. Когда маятник совершит 40 колебаний, останавливают секундомер и вычисляют период T₁ опыт повторяется не менее трех раз.

3. затем поднимают шарик на высоту h, которую измеряют

4. определяют тем же способом период короткого маятника Т₂; Необходимо помнить, что формула (1) справедлива только для малых отклонений маятника от положения равновесия (2-3 см)

Из формулы (4) видно, что выгодно брать для h большое значение, чтобы периоды T₁ и Т₂ значительно отличались друг от друга.

5. все данные наблюдений и вычислений заносят в следующую таблицу:

№п/п	Длинный маятник l+h	Короткий маятник l	g
Время 40 колебаний (с)	Время 40 колебаний (с)
Среднее значение T1	Среднее значение Т2

Вычисления g производится по преобразованной формуле:

(6)

Примечание: При выполнении этой работы следует определение длины и промежутков времени делать как можно точнее, т.к. даже малая ошибка сильно искажает результат.

Контрольные вопросы

1. Как изменится ускорение силы тяжести от широты места?

1. Какие движения совершает математический маятник?

Каким образом можно изменить период колебаний маятника не изменяя его длины?

Лабораторная работа №7.

Цель работы: знакомство с физическим маятником и использование его для определения ускорения свободного падения.

Необходимые приборы: физический маятник, секундомер, штангенциркуль, трехгранная призма, линейка.

Период колебания физического маятника при малых амплитудах

равен: (1), где I момент инерции маятника относительно оси

вращения, М — его масса, а — расстояние от оси вращения до центра тяжести маятника, g — ускорение свободного падения. Применив теорему Штейнера для определения момента инерции I, из уравнения (1) получим:

(2)

В работе используется физический маятник, состоящий из металлическогостержня ссантиметровыми делениямии двух массивных грузов, которые можно передвигатьвдоль стержня(puc. l).

. Рис.1 О₂ Р₂ О₁ Р₁

На стержне укреплены две опорные призмы О₁ иО₂, служащие для подвешивания маятника.

Определение ускорения свободного падения.

Для определения ускорения свободного падения с помощью физического маятника, следует определить период колебания маятник относительно оси, совпадающей с ребром призмы O₁, который по формуле (2) будет равен: (3) и период колебаний относительно оси, совпадающей с ребром призмы О₂, который будет по (2) равен: (4). Из формул (3) и (4) получается выражение для определения ускорения свободного падения:

(5)

Выполнение работы:

1.Снимите маятник и поместите его на ребре вспомогательной трехгранной призмы.

2.Перемещая точку опоры, добейтесь равновесия маятника. В этом случае точка опоры определяет положение центра тяжести маятника.

3.Измерьте расстояние от центра тяжести до ребра призмы О₁ (а₁) и ребра призмы О₂ (а₂).

4.Подвесьте маятник за призму О₁, и отклонив маятник на небольшой |угол определите время 40 колебаний. Подсчитайте период Т_1.

5.Переверните маятник и аналогично п.4, рассчитайте период Т₂;

6.По формуле (5) подсчитайте ускорение.

Результат занесите в таблицу

№п/п	Число колебаний	Ось О1	Ось О2	а1	а2	g	gср
t	T1	t	T2

Лабораторная работа № 9.

ПРОВЕРКА ТЕОРИИ ШТЕЙНЕРА.

Краткая теория.

Целью этой работы является экспериментальная проверка теоремы Штейнера:

где I₁— момент инерции тела с массой m относительно произвольной оси O_1, I₂— момент инерции того же тела относительно оси О₂ параллельной оси O₁ и проходящей через его

центр инерции; а — расстояние между осями.

Для определения момента инерции I₁используется формула для периода колебаний физического маятника:

(2),

Момент инерции I₂определяется при помощи формулы для периода крутильных колебаний:

(3),

где f- крутильный момент подвеса. Чтобы исключить f из формулы (3) измеряется период Т₀ крутильных колебаний другого тела, обладающего известным моментом инерции 1₀ и подвешенного на той же нити. Используя формулу (3), получим:

(4)

В качестве вспомогательного тела применяется диск, момент инерции которого относительно оси симметрии, перпендикулярно к его плоскости, определяется по формуле:

(5),

где М — масса диска, D — диаметр диска.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.

В качестве исследуемого тела используется стержень с призмами на концах для подвеса.

Для изучения его крутильных колебаний относительно оси, проходящей через центр инерции стержня и перпендикулярной к образующей стержня (ось 0₂), стержень навинчивается на винт, прикрепленный к нити подвеса.

Для изучения колебаний стержня как физического маятника, стержень с помощью призм устанавливается в желобок вилки, закрепленной в штативе. Таким образом ось колебаний физического маятника (ось O₁) проходит через ребро призм и перпендикулярно к образующей стержня (как и ось О₂).

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ.

1. Взвешиваем на технических весах и определяем массу m стержня и М-диска.

2. С помощью штангенциркуля определить диаметр D диска и расстояние l между ребрами призм и центром стержня.

3. Стержень навинчивается на винт подвеса и приводится в состояние колебательного движения (крутильных колебаний). Секундомером измеряют время t₂ количества колебаний n₂=25. Определяется период крутильных колебаний по формуле:

(6),

Опыт повторить три раза.

Затем на винт подвеса навинчивается диск и измеряется его период колебаний T₀ ( как

у стержня — три серии по 25 колебаний). Согласно формулам (4) и (5) получим:

4. Ребро призмы стержня установить в желобок вилки и привести стержень в

колебание. Секундомером измеряется время t₁ некоторого количества n₁ (n₁=25) полных колебаний и находим период колебаний физического маятника:

Опыт повторяют три раза.

Из формулы (2) следует:

5.После вычисления погрешностей, проверить справедливость равенства (1).

1. Савельев И.В., Курс общей физики; т.1, § 39 (Момент инерции, стр. 140-144), М, 1982г.

2. Стрелков СП., Механика, § 59, стр. 211-215, М, 1975г.

Источник

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ПО СПОСОБУ БЕССЕЛЯ

Цель работы: Экспериментальное изучение гармонических колеба­ний с помощью математи-

Определение ускорения силы тяжести по способу Бесселя.

Приборы и принадлежности:

1. Математический маятник.

3. Отсчетная шкала.

1. Теоретическое введение

Колебаниями называется процессы, характеризующие повторяемость во времени. В механике примерами таких явлений могут служить колебания маятников, струн, мембран, камертонов, судна на волне и т.д. Если изменяющаяся в процессе, колебаний физическая величина х принимает определенные значения через равные промежутки времени, то такие колебания является периодическими.

Частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, в которых изменение физической величины происходит по гармоническому закону, т.е. по закону синуса или косинуса:

(1)

Здесь х — смещение из положения равновесия;

А — амплитуда (максимальное смещение);

φ₀ — начальная фаза, соответствующая моменту начала колебаний t = 0;

(ω∙t + φ_о) — фаза колебаний; она состоит из начальной φ_о (фиксированной) и фазы ω∙t, увеличивающейся пропорционально времени колебаний.

ω — циклическая (или круговая) частота.

Время, в течение которого совершается одно полное колеба­ние, называется периодом Т, а число колебаний за единицу времени (в системе СИ за одну секунду) — частотой колебаний

(2)

Другими словами частота это количество периодов колебаний укладывающихся в интервале времени равном одной секунде.

Поскольку период гармонических функций равен 2π, то циклическую частоту можно представить в виде:

(3)

Таким образом, циклическая частота равна числу колебаний укладывающихся в интервале 2π секунд.

Скорость υ и ускорение a при колебательном движении выражаются соответственно первой и второй производной по времени от сме­щения х (см. 5 и 6). Если смещение задано в гармоническом виде:

, (4)

С учетом формулы (4) последнее уравнение можно записать:

(7)

Оно представляет собой дифференциальное уравнение гармони­ческого осциллятора. Здесь двумя точками обозначена вторая производная по времени от смещения х.

Гармоническим осциллятором принято назы­вать любую систему, колебательный процесс которой описывается дифференциальным уравнением вида (7). Не трудно видеть, что уравнение (4) явля­ется решением дифференциального уравнения гармонического осцил­лятора.

В качестве примера рассмотрим гармонические колебания ма­тематического маятника.

Математическим маятником называется материальная точка, ко­леблющаяся на невесомой и нерастяжимой нити. Материальная точка это простейшая физическая модель в механике, а именно: тело обладающее массой, размерами, формой, вращением и внутренней структурой которого можно пренебречь в условиях исследуемой задачи. Положение материальной точки в пространстве определяется как положение геометрической точки.

Чтобы найти уравнение движения маятника рассмотрим динами­ку колебательного процесса. Силу тяжести, действующую на материаль­ную точку можно разложить на две составляющие: одна из которых P_n (она называется нормальной компонентой силы тяжести)направлена вдоль нити и уравновешивается силой натяжения F_n ; вторая — Р_τ — перпендикулярна к нити и направлена по касательной к траектории движения (она называется тангенциальной компонентой). Векторная сумма этих двух сил равна вектору силы тяжести P.

Составляющая Р_τ является квазиупругой силой, под действием которой совершаются колебания.

Если нить отклонена от положения равновесия на угол α, то тангенциальная компонента

Р_τ = — Р∙ sin α = — m ∙ g ∙ sin α (8)

Знак минус в формуле (8) указывает на то, что направление действия силы Р_τ противопо­ложно направлению увеличения угла . Рассматривая уравнение (8) для малых углов, для которых sin ≈ , получаем:

(9)

Умножим уравнение (9) на длину нити l:

(10)

В левой части выражения (10) мы имеем классический момент силы Р_τ , приложенной к плечу , который можно в соответствии c основным законом динамики враща­тельного движения выразить еще и через момент инерции P _τ · l = M = J ·ε . Здесь ε угловое ускорение. После подстановки в (10) получаем

(11)

Подставляя значение момента инерции материальной точки J=ml 2 и, проводя элементарные преобразования, получим:

(12)

Таким образом, процесс колебания математического маятника для малых углов описывается дифференциальным уравнением гармонического осциллятора (12).

Из сравнения уравнений (12) и (7) находим, что

Выражая Т из этого уравнения, получаем классическую формулу для определения периода колебаний математического маятника

(13)

Для определения ускорения свободного падения из этой формулы достаточно измерить период колебаний Т и расстояние l от точки подвеса до центра тяжести тела с сосредоточенной массой

Однако измерение длины нити l не всегда является удобным, из-за трудностей определения положения центра тяжести тела, особенно, если оно не является сферически симметричным. Этих трудностей можно избежать, если воспользоваться способом Бесселя. Этот способ заключается в использовании для измерений одного и того же маятника при двух различных длинах нити. Если определить периоды колебаний для маятника разной длины и удлинение нити математического маятника (разность длин), то можно определить ускорение силы тяжести не измеряя абсолютного значения длины нити маятника.

Действительно, используя формулу (13) дважды для математических маятников с длинами l ₁ и l ₂ соответствен­но получаем для квадратов периодов

;

Вычитая из первого уравнения второе и разрешая относитель­но g, получаем

(14)

В эксперименте с помощью специального устройства изменяют длину нити математического маятника, а по вертикальной неподвижно закрепленной линейке измеряют лишь удлинение нити l ₁ – l ₂ = h , не измеряя длин самих нитей. Удлинение соответствует разности двух отсчетов положения груза маятника, для нитей разной длины. Тогда формула (14) превращается в формулу, соответствующую методу Бесселя и используемую в данной работе для нахождения ускорения силы тяжести

. (15)

2. Порядок выполнения работы

2.1. Взять возможно большую длину маятника и сделать отсчет (h₁) положения груза маятника по шкале.

2.2. Вывести маятник из положения равновесия так, чтобы угол отклонения составлял (4-6)° и отпустить. Автоматическое устройство начнет отсчет времени и числа колебаний. При достижении 50 колебаний отсчет времени прекратится. Полученные значения времени и числа колебаний занести в таблицу1.

Для данной длины маятника опыт повторить три раза и все результаты намерений занести в таблицу1.

№ пп

Длинный маятник

Короткий маятник

Отчет по шкале h ₁ , см Абсолют. ошибка, Δ h₁ , см Время 50 колебаний, сек Период одного колебания Т₁, с Абсолют. ошибка, ΔТ₁, сек Отчет по шкале h ₂ , См Абсолют. ошибка, Δ h₂ , см Время 50 колебаний, сек Период одного колебания Т₂, с Абсолют. ошибка, ΔТ₂, сек Разность длин, h , см 1 2 3 Ср.

2.3. Укоротить длину нити маятника на 80-90 см, сделать отсчет (h₂) нового положения груза и повторить измерения пункта 2.2.

2.4. Определить средние значения величин Т₁, Т₂, h = h ₁ – h ₂ и, подставляя полученные средние значения в формулу (15) вычис­лить ускорение g _ср.

2.5. Определить относительную и абсолютную погрешности соответственно по формулам

(16)

17)

2.6. Результаты измерений представить в виде

3. Контрольные вопросы

3.1. Какие колебания называется гармоническими? Напишите уравнение гармонических колебаний.

3.2. Дайте определение математического маятника.

3.3. Выведите формулу периода колебаний математического маятника. Почему этой формулой можно пользоваться только в том случае, когда амплитуда колебаний мала?

3.4. Почему в данной работе для определения ускорения силы тяжести измеряют периоды и разность длин двух математических маятников.

3.5. Выведите формулы (16) и (17) в соответствии с правилами обработки результатов косвенных измерений.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ПРИ ПОМОЩИ

Цель работы: Экспериментальное изучение гармонических колебаний с

помощью пружинного маятника.

Определение ускорения силы тяжести при помощи пружинного

Приборы и принадлежности :

1. Пружинный маятник.

2. Дополнительные грузы.

4. Метрическая шкала.

Материал для изучения :

Механические гармонические колебания.

Колебания под действием упругой силы.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Механические гармонические колебания под действием упругой силы, рассмотрим на примере вертикального пружинного маятника. Пружинный маятник представляет собой груз массы m (рис.1), подвешенный на абсолютно упругой пружине. Упругие свойства пружины характеризуются коэффициентом упругости k. Когда груз находится в равновесии его вес равен силе упругости пропорциональной удлинению пружины под действием силы тяжести

mg = kΔl (1)

Если груз оттянуть на величину x, то на него начнет действовать возвращающая сила F =- kx. По второму закону Ньютона , ma = F. Таким образом, уравнение движения пружинного маятника имеет вид:

или (2)

Это уравнение является дифференциальным уравнением гармонических колебаний, решением которого является , где ω циклическая частота собственных колебаний, равная ω²= k / m , а φ₀ начальная фаза колебаний. Следовательно период колебаний идеального пружинного маятника будет равен T =2 π / ω или

(3)

Полученное выражение для периода свободных колебаний пружинного маятника справедливо в предположении, что масса пружины много меньше массы груза, подвешенного на ней и амплитуда колебаний мала.

Дата добавления: 2021-02-10 ; просмотров: 103 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник