Кусочный способ задания функции

Кусочно-заданные функции

Иногда рассматриваемая функция может быть задана несколькими формулами, действующими на различных участках области ее определения, в которой изменяется аргумент функции. Например: $$ y = \begin x ^ 2,

Преимущества явного аналитического задания функции

Отметим, что явный аналитический способ задания функции достаточно компактен (формула, как правило, занимает немного места), легко воспроизводим (формулу нетрудно записать) и наиболее приспособлен к выполнению над функциями математических действий и преобразований.

Некоторые из этих действий — алгебраические (сложение, умножение и др.) — хорошо известны из школьного курса математики, другие (дифференцирование, интегрирование) будем изучать в дальнейшем. Однако этот способ не всегда нагляден, так как не всегда четок характер зависимости функции от аргумента, а для нахождения значений функции (если они необходимы) требуются иногда громоздкие вычисления.

Неявное задание функции

Функция %%y = f(x)%% задана неявным аналитическим способом, если дано соотношение $$F(x,y) = 0,

(1)$$ связывающее значения функции %%y%% и аргумента %%x%%. Если задавать значения аргумента, то для нахождения значения %%y%%, соответствующего конкретному значению %%x%%, необходимо решить уравнение %%(1)%% относительно %%y%% при этом конкретном значении %%x%%.

При заданном значении %%x%% уравнение %%(1)%% может не иметь решения или иметь более одного решения. В первом случае заданное значение %%x%% не принадлежит области определения неявно заданной функции, а во втором случае задает многозначную функцию, имеющую при данном значении аргумента более одного значения.

Отметим, что если уравнение %%(1)%% удается явно разрешить относительно %%y = f(x)%%, то получаем ту же функцию, но уже заданную явным аналитическим способом. Так, уравнение %%x + y^5 — 1 = 0%%

и равенство %%y = \sqrt[5]<1 - x>%% определяют одну и ту же функцию.

Параметрическое задание функции

Когда зависимость %%y%% от %%x%% не задана непосредственно, а вместо этого даны зависимости обоих переменных %%x%% и %%y%% от некоторой третьей вспомогательной переменной %%t%% в виде

$$ \begin x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end

t \in T \subseteq \mathbb,

(2) $$то говорят о параметрическом способе задания функции;

тогда вспомогательную переменную %%t%% называют параметром.

Если из уравнений %%(2)%% удается исключить параметр %%t%%, то приходят к функции, заданной явной или неявной аналитической зависимостью %%y%% от %%x%%. Например, из соотношений $$ \begin x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end,

t \in \mathbb, $$ исключением параметра %%t%% получим зависимость %%y = 2 x + 2%%, которая задает в плоскости %%xOy%% прямую.

Графический способ

Пример графического задания функции

Приведенные выше примеры показывают, что аналитическому способу задания функции соответствует ее графическое изображение, которое можно рассматривать как удобную и наглядную форму описания функции. Иногда используют графический способ задания функции, когда зависимость %%y%% от %%x%% задают линией на плоскости %%xOy%%. Однако при всей наглядности он проигрывает в точности, поскольку значения аргумента и соответствующие им значения функции можно получить из графика лишь приближенно. Возникающая при этом погрешность зависит от масштаба и точности измерения абсциссы и ординаты отдельных точек графика. В дальнейшем графику функции отведем роль только иллюстрации поведения функции и поэтому будем ограничиваться построением «эскизов» графиков, отражающих основные особенности функций.

Табличный способ

Отметим табличный способ задания функции, когда некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции в определенном порядке размещаются в таблице. Так построены известные таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.п. В виде таблицы обычно представляют зависимость между величинами, измеряемыми при экспериментальных исследованиях, наблюдениях, испытаниях.

Недостаток этого способа состоит в невозможности непосредственного определения значений функции для значений аргумента, не входящих в таблицу. Если есть уверенность, что непредставленные в таблице значения аргумента принадлежат области определения рассматриваемой функции, то соответствующие им значения функции могут быть вычислены приближенно при помощи интерполяции и экстраполяции.

Пример

Алгоритмический и словесный способы задания функций

Функцию можно задать алгоритмическим (или программным) способом, который широко используют при вычислениях на ЭВМ.

Наконец, можно отметить описательный (или словесный) способ задания функции, когда правило соответствия значений функции значениям аргумента выражено словами.

Например, функцию %%[x] = m

\forall , m \in \mathbb%%, называемую целой частью %%x%% (или «антье от %%x%%»), описывают обычно словами: «Наибольшее целое число, не превосходящее %%x%%».

Источник

Кусочно-линейная функция

Графики и формулы кусочно-линейных функций

Ситуация, когда движение или другое явление можно описать одной линейной функцией, определенной на интервале $-\infty \lt t \lt +\infty$, в действительности невозможна. Хотя бы потому, что возраст Вселенной велик, но не бесконечен.

На практике в течение некоторого времени тело может двигаться, потом – покоиться, потом – опять прийти в движение, но уже с другой скоростью и в другом направлении и т.п. Как задать подобную зависимость?

Допустим, турист идет из начальной точки по прямой тропинке в течение 2 ч со скоростью 5 км/ч, затем останавливается отдохнуть на 1ч и возвращается обратно по той же тропинке со скоростью 4 км/ч. Нам нужно найти формулу для расстояния s(t) от начальной точки на протяжении всего похода.

Изобразим зависимость s(t) графически:

Первый отрезок AB легко записать: $ s_1 (t) = 5t,0 \le t \lt 2$

С отрезком BC тоже всё ясно: $s_2 (t) = 10,2 \le t \lt 3$

Осталось найти формулу для отрезка CD. Для него известен угловой коэффициент, равный скорости k = -4; знак «минус» оттого, что турист возвращается обратно. Формула имеет вид $s_3 (t) = -4t+b$. Также, нам известны координаты C(3;10).

Подставляем: $10 = -4 \cdot 3+b \Rightarrow b =22$. Осталось рассчитать момент возвращения:

$$0 = -4t_+22 \Rightarrow t_ = 22:4 = 5,5$$ (ч)

Значит, формула движения на отрезке $CD:s_3 (t) = -4t+22,3 \le t \le 5,5.$

$$s(t) = <\left\< \begin 5t,0 \le t \lt 2 \\ 10,2 \le t \lt 3 \\ -4t+22,3 \le t \le 5,5 \end \right.> $$

Важным свойством заданной функции является выполнение условий согласования:

$$ s_1 (2) = s_2 (2) = 10,s_2 (3) = s_3 (3) = 10$$

Наша функция «сшита» на концах промежуточных интервалов.

$$x f(x) = <\left\< \begin k_1 x+b_1, x_1 \le x \lt x_2 \\ k_2 x+b_2,x_2 \le x \lt x_3 \\…\\ k_n x+b_n,x_n \le x \lt x_ \end \right.>$$

При этом для функции на краях интервалов выполняются условия согласования:

Графиком кусочно-линейной функции является ломаная линия

Знак модуля в линейных функциях

$$ |x| = \left[ \begin x, x\ge0 \\ -x, x \lt 0\end \right.$$

Если в формуле для линейной функции содержится знак модуля, то после его раскрытия получается кусочно-линейная функция.

Мы заменили квадратную скобку со значением «или» на фигурную скобку со значением «и», поскольку именно смысл объединения — «и того, и другого» — вкладывается в определение кусочно-линейной функции .

Примеры

Пример 1. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:

б) $ y = 2|x|-1 = <\left\< \begin -2x-1, x \lt0 \\ 2x-1, x \ge 0 \end \right.>$

Пример 2*. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:

Как видно из этого примера, аналитически выводить формулу для двух модулей очень нелегко.

Гораздо легче сразу построить график, если следовать следующим простым правилам преобразования.

Шаг 1. Строим y = 2x-1

Шаг 2. Строим y = 2|x|-1 по правилу: |x| отражает часть графика для положительных $x \ge 0$ влево, зеркально относительно оси Y

Шаг 3. Строим y = |(2|x|-1)| по правилу: общий модуль отражает участок графика с отрицательными $y \lt 0$ вверх, зеркально относительно оси X

Источник