Кто придумал способ сложения

ИСТОРИЯ ДЕЙСТВИЯ СЛОЖЕНИЯ ОТ ДРЕВНИХ ВРЕМЕН И ДО НАШИХ ДНЕЙ.

На уроках математики мы постоянно работаем с одним из математических действий – сложением и задумались, когда люди впервые стали складывать, кто и когда дал названия компонентам этого действия, и что интересного ещё можно узнать о действии сложения.

Скачать:

Вложение	Размер
ts.a._soobshchenie.docx	21.04 КБ

Предварительный просмотр:

Сообщение для урока математики

ИСТОРИЯ ДЕЙСТВИЯ СЛОЖЕНИЯ ОТ ДРЕВНИХ ВРЕМЕН И ДО НАШИХ ДНЕЙ.

На уроках математики мы постоянно работаем с одним из математических действий – сложением и задумались, когда люди впервые стали складывать, кто и когда дал названия компонентам этого действия, и что интересного ещё можно узнать о действии сложения.

Постепенно мы узнали, что математика нужна всем в повседневной жизни. Всем приходится в жизни считать, мы часто используем (не замечая этого) знания о величинах длины, времени, массы. Мы поняли, что математика – важная часть человеческой культуры.

В данной работе рассматривается ряд интересных вопросов о действии сложения, как одного из основных арифметических действий.

С глубокой древности люди вели счёт предметов. Выполнять арифметические действия люди учились более тысячи лет.

Пальцы человека были не только первым счетным прибором, но и первой вычислительной машиной. Сама природа предоставила человеку этот универсальный счетный инструмент. У многих народов пальцы (или их суставы) при любых торговых операциях играли роль первого счетного устройства. Для большинства бытовых потребностей людей их помощи вполне хватало.

Однако фиксация результатов счета производилась различными способами : нанесение насечек, счетные палочки, узелки и др. Например, у народов доколумбовой Америки был весьма развит узелковый счет. Более того, система узелков выполняла также роль хранения и летописи, имея достаточно сложную структуру. Однако использование ее требовало хорошей тренировки памяти.

К счету по пальцам рук восходят многие системы счисления, например пятеричная (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног), сорокаричная (суммарное число пальцев рук и ног у покупателя и продавца). У многих народов пальцы рук долгое время оставались инструментом счета и на наиболее высоких ступенях развития.

Известные средневековые математики рекомендовали в качестве вспомогательного средства именно пальцевой счет, допускающий довольно эффективные системы счета.

Однако в разных странах и в разные времена считали по-разному.

Несмотря на то, что у многих народов кисть руки является синонимом и фактической основой числительного «пять», у различных народов при пальцевом счете от одного до пяти указательный и большой пальцы могут иметь разные значения.

У итальянцев при счете на пальцах рук большой палец обозначает цифру 1, а указательный — цифру 2; когда же считают американцы и англичане, указательный палец означает цифру 1, а средний — 2, в этом случае большой палец представляет цифру 5. А русские начинают счет на пальцах, первым загибая мизинец, и заканчивают большим пальцем, обозначающим цифру 5, при этом указательный палец сопоставлялся с цифрой 4. Но когда показывают количество, выставляют указательный палец, затем средний и безымянный.

У каждого народа были свои арифметические действия. И все они использовались для выполнения операций над числами. Длительное время сложение чисел люди выполняли только устно с помощью каких-либо предметов — пальцев, камешков, ракушек, бобов, палочек.

В Древней Индии нашли способ сложения чисел в письменном виде. При вычислениях они записывали числа палочкой на песке, насыпанном на специальную доску.

Индийские мудрецы предложили записывать числа в столбик — одно под другим; ответ записывали ниже.

В древнем Китае сложение производилось на доске с помощью специальных палочек. Они делались из бамбука или слоновой кости.

В Древнем Египте для сложения использовался иероглиф в виде шагающих ног. Направление ног совпадало с направлением письма, значит, нужно выполнять сложение.

В Древней Руси русские люди в своих вычислениях применяли лишь два арифметических действия — сложение и вычитание и называли их удвоение и раздвоение.

Некоторые знаки для обозначения сложения появились ещё в древности, но до 15 века почти не было общепринятого знака. Существует несколько точек зрения, как появился знак для сложения.

В 15 – 16 веках для знака сложения использовали латинскую букву «P», начальную букву слова плюс. Постепенно данную букву стали писать с двумя чёрточками. Для сложения также употреблялось латинское слово « et» (эт) , обозначающее «И», что значит «больше». Так как слово «et» приходилось писать очень часто, то его стали сокращать: писали сначала одну букву «t», которая постепенно превратилось в знак « + ». Существует третье мнение: знак «+» возник в торговой практике.

Впервые знак «+» в печати появляется в книге «Быстрый и красивый счёт для купечества». Её написал чешский математик Ян Видман в 1489 году.

Человек всегда стремился упростить и ускорить решение выражений, и это привело к созданию вычислительных приборов. Древние народы употребляли при вычислениях счетный прибор «абак».

Аба́к — это счётная доска, применявшаяся для арифметических вычислений в Древней Греции и Риме. Доска абака была разделена линиями на полосы, счёт осуществлялся с помощью размещённых на полосах 5 камней, косточек. В Китае и Японии были распространены восточные абаки из 7 косточек: китайский суань-пань и японский — соробан.

Русский абак — счеты, появились в конце 15 века. Они имеют горизонтальное расположение спиц с косточками и основаны на десятичной системе. Русские счеты широко использовались для вычислений. На них удобно и быстро складывать и вычитать.

Почти три столетия талантливые ученые, инженеры и конструкторы создавали механические счетные машины, облегчающие выполнение четырех математических действий.

В начале 19 века французский изобретатель Карл Томас, воспользовался идеями знаменитого немецкого ученого Лейбница и изобрел счетную машину для выполнения 4 арифметических действий и назвал ее арифмометром. Арифмометры до начала 1970-х гг. оставались добрыми помощниками вычислителей всех стран.

А 20 лет тому назад были сделаны маленькие приборы, выполняющие за считанные секунды сложные расчеты – калькуляторы. Калькуля́тор — электронное вычислительное устройство. Калькуляторы могут быть настольными или (карманными), калькуляторы, встроенные в компьютеры, сотовые телефоны, и даже в наручные часы. Но еще быстрее калькулятора выполняет различные математические операции компьютер. Все это помощники человека при счете. Несмотря на все плюсы компьютерной эпохи, налицо тот факт, что многие взрослые разучились считать без калькулятора. А многие дети даже считают на пальцах – это очень неудобно. Поэтому, предлагаю научиться считать «по-взрослому», с помощью математических приемов — способы запоминания таблицы сложения в пределах 20 и быстрого счета без калькулятора и пальцев. Хитрые математические приемы позволят мгновенно складывать в уме. На первый взгляд эти приемы кажутся запутанными и непонятными. Но разобравшись в них и доведя выполнение до автоматизма, вы поймете, насколько эти приемы просты, удобны и легки. Считайте быстрее, считайте лучше!

Из интервью с учителями – предметниками мы узнали, что действие сложения активно применяется и в других науках.

Русский язык . Тема: «Словообразование» (учитель начальных классов)

В результате сложения образуется сложное слово-слово с несколькими корнями: снегопад, кинотеатр, лесопарк.

Биология . Тема: «Питание человека» (учитель биологии)

Сложение калорий выполняется для определения энергетической ценности продукта (белки, жиры, углеводы)

География . Тема: «Климат» (учитель географии)

Складываются температуры за определённый период, чтобы найти среднесуточную, среднемесячную, среднегодовую температуру.

Физика . Тема «Интерференция» (учитель физики)

Сложение в пространстве двух (или нескольких) волн, при котором в разных точках получается усиление или ослабление амплитуды волны – интерференция волн.

Действие сложение мы можем увидеть везде: в постройке домов, при проектировании и постройки ракеты, машины, при пошиве одежды, для приготовления блюд, для выращивания животных, для изготовления лекарств и во многих других сферах деятельности.

• действие сложение использовалось давно для счёта различных предметов
• действие сложения применяется во многих науках
• чаще всего в жизни и взрослые, и дети используют сложение
• легче всего складывать числа на калькуляторе
• существуют «легкие» способы устного счета при сложении

Источник

Решение системы уравнений методом сложения

23 октября 2015

Этим видео я начинаю цикл уроков, посвящённых системам уравнений. Сегодня мы поговорим о решении систем линейных уравнений методом сложения — это один из самых простых способов, но одновременно и один из самых эффективных.

Способ сложения состоит из трёх простых шагов:

1. Посмотреть на систему и выбрать переменную, у которой в каждом уравнении стоят одинаковые (либо противоположные) коэффициенты;
2. Выполнить алгебраическое вычитание (для противоположных чисел — сложение) уравнений друг из друга, после чего привести подобные слагаемые;
3. Решить новое уравнение, получившееся после второго шага.

Если всё сделать правильно, то на выходе мы получим одно-единственное уравнение с одной переменной — решить его не составит труда. Затем останется лишь подставить найденный корень в исходную система и получить окончательный ответ.

Однако на практике всё не так просто. Причин тому несколько:

• Решение уравнений способом сложения подразумевает, что во всех строчках должны присутствовать переменные с одинаковыми/противоположными коэффициентами. А что делать, если это требование не выполняется?
• Далеко не всегда после сложения/вычитания уравнений указанным способом мы получим красивую конструкцию, которая легко решается. Возможно ли как-то упростить выкладки и ускорить вычисления?

Чтобы получить ответ на эти вопросы, а заодно разобраться с несколькими дополнительными тонкостями, на которых «заваливаются» многие ученики, смотрите мой видеоурок:

Этим уроком мы начинаем цикл лекций, посвященный системам уравнений. А начнем мы из самых простых из них, а именно из те, которые содержат два уравнения и две переменных. Каждое из них будет являться линейным.

Системы — это материал 7-го класса, но этот урок также будет полезен старшеклассникам, которые хотят освежить свои знания в этой теме.

Вообще, существует два метода решения подобных систем:

1. Метод сложения;
2. Метод выражения одной переменной через другую.

Сегодня мы займемся именно первым методом — будем применять способ вычитания и сложения. Но для этого нужно понимать следующий факт: как только у вас есть два или более уравнений, вы вправе взять любые два из них и сложить друг с другом. Складываются они почленно, т.е. «иксы» складываются с «иксами» и приводятся подобные, «игреки» с «игреками» — вновь приводятся подобные, а то, что стоит справа от знака равенства, также складывается друг с другом, и там тоже приводятся подобные.

Результатами подобных махинаций будет новое уравнение, которое, если и имеет корни, то они обязательно будут находиться среди корней исходного уравнения. Поэтому наша задача — сделать вычитание или сложение таким образом, чтобы или $x$, или $y$ исчез.

Как этого добиться и каким инструментом для этого пользоваться — об этом мы сейчас и поговорим.

Решение легких задач с применением способа сложения

Итак, учимся применять метод сложения на примере двух простейших выражений.

Задача № 1

Заметим, что у $y$ коэффициент в первом уравнении $-4$, а во втором — $+4$. Они взаимно противоположны, поэтому логично предположить, что если мы их сложим, то в полученной сумме «игреки» взаимно уничтожатся. Складываем и получаем:

Решаем простейшую конструкцию:

Прекрасно, мы нашли «икс». Что теперь с ним делать? Мы вправе подставить его в любое из уравнений. Подставим в первое:

\[-4y=12\left| :\left( -4 \right) \right.\]

Ответ: $\left( 2;-3 \right)$.

Задача № 2

Здесь полностью аналогичная ситуация, только уже с «иксами». Сложим их:

Мы получили простейшее линейное уравнение, давайте решим его:

Теперь давайте найдем $x$:

Ответ: $\left( -3;3 \right)$.

Важные моменты

Итак, только что мы решили две простейших системы линейных уравнений методом сложения. Еще раз ключевые моменты:

1. Если есть противоположные коэффициенты при одной из переменных, то необходимо сложить все переменные в уравнении. В этом случае одна из них уничтожится.
2. Найденную переменную подставляем в любое из уравнений системы, чтобы найти вторую.
3. Окончательную запись ответа можно представить по-разному. Например, так — $x=. y=. $, или в виде координаты точек — $\left( . ;. \right)$. Второй вариант предпочтительней. Главное помнить, что первой координатой идет $x$, а второй — $y$.
4. Правило записывать ответ в виде координат точки применимо не всегда. Например, его нельзя использовать, когда в роли переменных выступают не $x$ и $y$, а, к примеру, $a$ и $b$.

В следующих задачах мы рассмотрим прием вычитания, когда коэффициенты не противоположны.

Решение легких задач с применением метода вычитания

Задача № 1

Заметим, что противоположных коэффициентов здесь нет, однако есть одинаковые. Поэтому вычитаем из первого уравнения второе:

\[10x-\left( -6x \right)-3y-\left( -3y \right)=5-\left( -27 \right)\]

\[16x=32\left| :16 \right.\]

Теперь подставляем значение $x$ в любое из уравнений системы. Давайте в первое:

Ответ: $\left( 2;5 \right)$.

Задача № 2

Мы снова видим одинаковый коэффициент $5$ при $x$ в первом и во втором уравнении. Поэтому логично предположить, что нужно из первого уравнения вычесть второе:

\[6y=-18\left| :6 \right.\]

Одну переменную мы вычислили. Теперь давайте найдем вторую, например, подставив значение $y$ во вторую конструкцию:

\[5x-2\cdot \left( -3 \right)=-4\]

\[5x=-10\left| :5 \right.\]

Ответ: $\left( -3;-2 \right)$.

Нюансы решения

Итак, что мы видим? По существу, схема ничем не отличается от решения предыдущих систем. Отличие только в том, что мы уравнения не складываем, а вычитаем. Мы проводим алгебраическое вычитание.

Другими словами, как только вы видите систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, первое, на что вам необходимо посмотреть — это на коэффициенты. Если они где-либо одинаковые, уравнения вычитаются, а если они противоположные — применяется метод сложения. Всегда это делается для того, чтобы одна из них исчезла, и в итогом уравнении, которая осталась после вычитания, осталась бы только одна переменная.

Разумеется, это еще не все. Сейчас мы рассмотрим системы, в которых уравнения вообще несогласованны. Т.е. нет в них таких переменных, которые были бы либо одинаковые, либо противоположные. В этом случае для решения таких систем применяется дополнительный прием, а именно домножение каждого из уравнений на специальный коэффициент. Как найти его и как решать вообще такие системы, сейчас мы об этом и поговорим.

Решение задач методом домножения на коэффициент

Пример № 1

Мы видим, что ни при $x$, ни при $y$ коэффициенты не только не взаимно противоположны, но и вообще никак не соотносятся с другим уравнением. Эти коэффициенты никак не исчезнут, даже если мы сложим или вычтем уравнения друг из друга. Поэтому необходимо применить домножение. Давайте попытаемся избавиться от переменной $y$. Для этого мы домножим первое уравнение на коэффициент при $y$ из второго уравнения, а второе уравнение — при $y$ из первого уравнения, при этом не трогая знак. Умножаем и получаем новую систему:

Смотрим на нее: при $y$ противоположные коэффициенты. В такой ситуации необходимо применять метод сложения. Сложим:

Теперь необходимо найти $y$. Для этого подставим $x$ в первое выражение:

\[-9y=18\left| :\left( -9 \right) \right.\]

Ответ: $\left( 4;-2 \right)$.

Пример № 2

Вновь коэффициенты ни при одной из переменных не согласованы. Домножим на коэффициенты при $y$:

\[\left\< \begin& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end \right.\]

Наша новая система равносильна предыдущей, однако коэффициенты при $y$ являются взаимно противоположными, и поэтому здесь легко применить метод сложения:

Теперь найдем $y$, подставив $x$ в первое уравнение:

\[11\cdot \left( -2 \right)+4y=-18\]

Ответ: $\left( -2;1 \right)$.

Нюансы решения

Ключевое правило здесь следующее: всегда умножаем лишь на положительные числа — это избавит вас от глупых и обидных ошибок, связанных с изменением знаков. А вообще, схема решения довольно проста:

1. Смотрим на систему и анализируем каждое уравнение.
2. Если мы видим, что ни при $y$, ни при $x$ коэффициенты не согласованы, т.е. они не являются ни равными, ни противоположными, то делаем следующее: выбираем переменную, от которой нужно избавиться, а затем смотрим на коэффициенты при этих уравнениях. Если первое уравнение домножим на коэффициент из второго, а второе, соответственное, домножим на коэффициент из первого, то в итоге мы получим систему, которая полностью равносильна предыдущей, и коэффициенты при $y$ будут согласованы. Все наши действия или преобразования направлены лишь на то, чтобы получить одну переменную в одном уравнении.
3. Находим одну переменную.
4. Подставляем найденную переменную в одно из двух уравнений системы и находим вторую.
5. Записываем ответ в виде координаты точек, если у нас переменные $x$ и $y$.

Но даже в таком нехитром алгоритме есть свои тонкости, например, коэффициенты при $x$ или $y$ могут быть дробями и прочими «некрасивыми» числами. Эти случаи мы сейчас рассмотрим отдельно, потому что в них можно действовать несколько иначе, чем по стандартному алгоритму.

Решение задач с дробными числами

Пример № 1

Для начала заметим, что во втором уравнении присутствуют дроби. Но заметим, что можно разделить $4$ на $0,8$. Получим $5$. Давайте второе уравнение домножим на $5$:

Вычитаем уравнения друг из друга:

$n$ мы нашли, теперь посчитаем $m$:

\[4m-3\cdot \left( -4 \right)=32\]

Пример № 2

\[\left\< \begin& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end \right.\]

Здесь, как и в предыдущей системе, присутствуют дробные коэффициенты, однако ни при одной из переменных коэффициенты в целое число раз друг в друга не укладываются. Поэтому используем стандартный алгоритм. Избавится от $p$:

Применяем метод вычитания:

Давайте найдем $p$, подставив $k$ во вторую конструкцию:

\[2p-5\cdot \left( -2 \right)=2\]

\[2p-5\cdot \left( -2 \right)=2\]

Нюансы решения

Вот и вся оптимизация. В первом уравнении мы не стали домножать вообще ни на что, а второе уравнение домножили на $5$. В итоге мы получили согласованное и даже одинаковое уравнение при первой переменной. Во второй системе мы действовали по стандартному алгоритму.

Но как найти числа, на которые необходимо домножать уравнения? Ведь если домножать на дробные числа, мы получим новые дроби. Поэтому дроби необходимо домножить на число, которое бы дало новое целое число, а уже после этого домножать переменные на коэффициенты, следуя стандартному алгоритму.

В заключение хотел бы обратить ваше внимание на формат записи ответа. Как я уже и говорил, поскольку здесь у нас тут не $x$ и $y$, а другие значения, мы пользуемся нестандартной записью вида:

Решение сложных систем уравнений

В качестве заключительного аккорда к сегодняшнему видеоуроку давайте рассмотрим пару действительно сложных систем. Их сложность будет состоять в том, что в них и слева, и справа будут стоять переменные. Поэтому для их решения нам придется применять предварительную обработку.

Система № 1

\[\left\< \begin& 3\left( 2x-y \right)+5=-2\left( x+3y \right)+4 \\& 6\left( y+1 \right)-1=5\left( 2x-1 \right)+8 \\\end \right.\]

Каждое уравнение несет в себе определенную сложность. Поэтому с каждым выражением давайте поступим как с обычной линейной конструкцией.

\[3\left( 2x-y \right)+5=-2\left( x+3y \right)+4\]

\[6\left( y+1 \right)-1=5\left( 2x-1 \right)+8\]

Итого мы получим окончательную систему, которая равносильна исходной:

Посмотрим на коэффициенты при $y$: $3$ укладывается в $6$ два раза, поэтому домножим первое уравнение на $2$:

Коэффициенты при $y$ теперь равны, поэтому вычитаем из первого уравнения второе: $$

Теперь найдем $y$:

Ответ: $\left( 0;-\frac<1> <3>\right)$

Система № 2

\[\left\< \begin& 4\left( a-3b \right)-2a=3\left( b+4 \right)-11 \\& -3\left( b-2a \right)-12=2\left( a-5 \right)+b \\\end \right.\]

Преобразуем первое выражение:

\[4\left( a-3b \right)-2a=3\left( b+4 \right)-11\]

Разбираемся со вторым:

\[-3\left( b-2a \right)-12=2\left( a-5 \right)+b\]

Итого, наша первоначальная система примет такой вид:

Посмотрев на коэффициенты при $a$, мы видим, что первое уравнение нужно домножить на $2$:

Вычитаем из первой конструкции вторую:

Теперь найдем $a$:

Ответ: $\left( a=\frac<1><2>;b=0 \right)$.

Вот и все. Надеюсь, этот видеоурок поможет вам разобраться в этой нелегкой теме, а именно в решении систем простых линейных уравнений. Дальше еще будет много уроков, посвященных этой теме: мы разберем более сложные примеры, где переменных будет больше, а сами уравнения уже будут нелинейными. До новых встреч!

Источник