Кто придумал способ описания громадных чисел

История появления рациональных чисел
занимательные факты по алгебре (6 класс)

Давайте познакомимся с некоторыми интересными фактами о том, при каких обстоятельствах и когда зародились рациональные числа.

Скачать:

Вложение	Размер
istoriya_poyavleniya_ratsionalnyh_chisel.docx	14.77 КБ

Предварительный просмотр:

История появления рациональных чисел

С рациональными числами люди, как вы знаете, знакомились постепенно. Вначале при счете предметов возникли натуральные числа. На первых порах их было немного. Так, еще недавно у туземцев островов в Торресовом проливе (отделяющем Новую Гвинею от Австралии) были в языке названия только двух чисел: «урапун» (один) и «оказа» (два). Островитяне считали так: «оказа-урапун» (три), «оказа-оказа» (четыре) и т. д. Все числа, начиная с семи, туземцы называли словом, обозначавшим «много».

Ученые полагают, что слово для обозначения сотни появилось более 7000 лет назад, для обозначения тысячи — 6000 лет назад, а 5000 лет тому назад в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне появляются названия для громадных чисел — до миллиона. Но долгое время натуральный ряд чисел считался конечным: люди думали, что существует самое большое число.

Величайший древнегреческий математик и физик Архимед (287—212 гг. до н. э.) придумал способ описания громадных чисел. Самое большое число, которое умел называть Архимед, было настолько велико, что для его цифровой записи понадобилась бы лента в две тысячи раз длиннее, чем расстояние от Земли до Солнца.

Но записывать такие громадные числа еще не умели. Это стало возможным только после того, как индийскими математиками в VI в. была придумана цифра нуль и ею стали обозначать отсутствие единиц в разрядах десятичной записи числа.

При разделе добычи и в дальнейшем при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести «ломаные числа» — обыкновенные дроби. Действия над дробями еще в средние века считались самой сложной областью математики. До сих пор немцы говорят про человека, попавшего в затруднительное положение, что он «попал в дроби».

Чтобы облегчить действия с дробями, были придуманы десятичные дроби . В Европе их ввел в Х585 г. голландский математик и инженер Симон Стевин.

Отрицательные числа появились позднее, чем дроби. Долгое время такие числа считали «несуществующими», «ложными» прежде всего из-за того, что принятое истолкование для положительных и отрицательных чисел «имущество — долг» приводило к недоумениям: можно сложить или вычесть «имущества» или «долги», но как понимать произведение или частное «имущества» и «долга»?

Однако несмотря на такие сомнения и недоумения, правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел были предложены в III в. греческим математиком Диофантом (в виде: «Вычитаемое, умноженное на прибавляемое, дает вычитаемое; вычитаемое на вычитаемое дает прибавляемое» и т. д.), а позже индийский математик Б х а с к а р а (XII в.) выразил те же правила в понятиях «имущество», «долг» («Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество; произведение имущества и долга есть долг». То же правило и при делении).

Было установлено, что свойства действий над отрицательными числами те же, что и над положительными (например, сложение и умножение обладают переместительным свойством). И наконец с начала прошлого века отрицательные числа стали равоправными с положительными.

В дальнейшем в математике появились новые числа — иррациональные, комплексные и другие. О них вы узнаете в старших классах.

Источник

Удивительный мир рациональных чисел

В работе представлены общие представлении о рациональных числах.

Скачать:

Вложение	Размер
udivitelnyy_mir_ratsionalnyh_chisel.pptx	797.01 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Удивительный мир рациональных чисел Выполнил ученик 6 «Б» класса МОУ «Лицей» г.Дедовска Лоцманов Артемий

История возникновения рациональных чисел С рациональными числами люди знакомились постепенно. Вначале при счёте предметов возникли натуральные числа. Учёные полагают, что слово для обозначения сотни появилось более 7000 лет назад, для обозначения тысячи – 6000 лет назад, а 5000 лет тому назад в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне появляются названия для громадных чисел – до миллиона. Но долгое время натуральный ряд чисел считался конечным: люди думали, что существует самое большое число. Величайший древнегреческий математик и физик Архимед (287-212г. до н.э.) придумал способ описания громадных чисел. Самое большое число, которое умел называть Архимед, было настолько велико, что для его цифровой записи понадобилась бы лента длиннее, чем расстояние от Земли до Солнца. При разделе добычи и в дальнейшем при измерении величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести «ломаные числа» — обыкновенные дроби. Чтобы облегчить действия с дробями, были придуманы десятичные дроби. Отрицательные числа появились позднее, чем дроби. Долгое время такие числа считали «несуществующими», «ложными». Положительные и отрицательные числа служат для описания изменений величин. Если величина растёт, то говорят, что её изменение положительно, а если она убывает, то изменение называют отрицательным.

Понятие рационального числа

Отношения между множествами натуральных, целых и рациональных чисел наглядно демонстрирует геометрическая иллюстрация- круги Эйлера N – это множество натуральных чисел. Z – это множество целых чисел. Q – это множество рациональных чисел. Таким образом, множество рациональных чисел включает в себя множества целых и натуральных чисел.

Любое рациональное число можно представить в виде либо конечной десятичной дроби, либо бесконечной периодической десятичной дроби. Посмотрим это наглядно.

Переведем обыкновенную дробь в десятичную. Это будет бесконечная периодическая десятичная дробь. Записывается 0,(27) Ноль целых и 27 в периоде.

Таким образом, мы показали, что любое рациональное число можем записать либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроб и.

Блиц — опрос Сумма двух отрицательных чисел всегда положительна. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна Положительным будет произведение трех отрицательных чисел. 0-а=а. При сложении двух отрицательных чисел модули слагаемых нужно сложить Сумма двух отрицательных чисел всегда меньше каждого из слагаемых а+(- b+c )= a-b+c Модуль отрицательного числа — это само число. Любое отрицательное число больше нуля. а -b=a+(-b) При сложении любого отрицательного числа с 0 всегда получается 0. Положительным будет произведение девяти отрицательных и двух положительных.

Источник

Счет у первобытных людей

Считать люди научились еще в незапамятные времена. Сначала они различали просто один или много предметов. Прошли сотни лет, прежде чем появилось число 2. Счет парами оказался очень удобен, и не случайно у некоторых племен Австралии и Полинезии до после­днего времени были только два числительных: один и два, а все числа больше двух получали название в виде сочетания этих двух числи­тельных. Например, три — «один, два»; четыре — «два, два»; пять — «два, два, один». Позже появились особые названия для чисел. Снача­ла для небольших чисел, а потом для все больших и больших. Число — одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Пальцы всегда при нас, то и считать стали по паль­цам. Таким образом, наиболее древней и простой «счетной машиной» издавна являются пальцы рук и ног.

Запоминать большие числа было трудно, и поэтому кроме паль­цев рук и ног «задействовались» другие «приспособления». Напри­мер, перуанцы использовали для этого разноцветные шнурки с завя­занными на них узлами. Веревочные счеты с узелками были в ходу в России, а также во многих странах Европы. До сих пор иногда завязывают узелки на носовых платках на память.

Засечки на палочках применяли в торговых сделках. Палочки пос­ле окончания расчетов разламывали пополам, одну половинку брал кредитор, а другую — должник. Половинка играла роль «квитанции». В деревнях использовали счеты в виде зарубок на палках.

На более высокой стадии развития люди при счете стали применять разные предметы: использовали камешки, зерна, веревку с бирками. Это были первые счетные приборы, которые, в конце концов, приве­ли к образованию разных систем счисления и к созданию современ­ных быстродействующих электронных вычислительных машин.

3. Цифры у разных народов

Мысль выражать все числа знаками

настолько проста, что именно из-за

этой простоты сложно осознать,

сколь она удивительна.

Пьер Симон Лаплас (1749-1827), франц. астроном, математик, физик.

Цифры — условные знаки для обозначения чисел. Первыми запи­сями чисел можно считать зарубки на деревянных бирках или кос­тях, а позднее — черточки. Но большие числа изображать, таким образом, неудобно, поэтому стали применять особые знаки (цифры).

3.1. Появление цифр

Ещё недавно существовали племена, в языке которых были названия только двух чисел: «один» и «два». Туземцы островов, расположенных в Торресовом проливе, знали два числа: «урапун» — один, «окоза» — два и умели считать до шести. Островитяне считали так: «окоза-урапун» — три, «окоза-окоза» — четыре, «окоза-окоза-урапун» — пять, «окоза-окоза-окоза» — шесть. О числах, начиная с 7, туземцы говорили «много», «множество». Наши предки, наверняка, тоже начинали с этого. В старинных пословицах и поговорках как, например, «Семеро одного не ждут», «Семь бед – один ответ», «У семи нянек дитя без глазу», «Один с сошкой, семеро с ложкой» 7 тоже означало «много».

В древние времена, когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Отсюда и произошло слово «калькулятор», «калькулюс» по латински означает «камень» .

Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги. Поэтому, если в те времена кто-то хвалился, что у него «две руки и одна нога кур», это означало, что у него пятнадцать кур, а если это называлось «весь человек», то есть две руки и две ноги.

Перуанские инки вели счет животных и урожая, завязывая узелки на ремешках или шнурках разной длины и цвета. Эти узелки назывались кипу. У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают 4 узелочка на шнурочке! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли вспоминателем.

Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек – десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали. Вот так выглядели эти дощечки.

После счета по зарубкам люди изобрели особые символы, названные цифрами. Они стали применяться для обозначения различных количеств каких-либо предметов. Разные цивилизации создавали свои собственные цифры .

Так, например, в древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки (иероглифы) для записи чисел 1, 10, 100, 1000, …

Для того чтобы изобразить, например, целое число 23145, достаточно записать в ряд два иероглифа, изображающие десять тысяч, затем три иероглифа для тысячи, один – для ста, четыре – для десяти и пять иероглифов для единицы

Этого одного примера достаточно, чтобы научиться записывать числа так, как их изображали древние египтяне. Это система очень проста и примитивна.

Похожим образом обозначали числа на острове Крит, расположенном в Средиземном море. В критской письменности единицы обозначались вертикальной чёрточкой |, десятки – горизонтальной — , сотни – кружком ◦, тысячи – знаком ¤.

Народы (вавилоняне, ассирийцы, шумеры), жившие в Междуречье Тигра и Евфрата в период от II тысячелетия до н.э. до начала нашей эры, сначала обозначали числа с помощью кругов и полукругов различной величины, но затем стали использовать только два клинописных знака – прямой клин  (1) и лежащий клин  (10). Эти народы использовали шестидесятеричную систему счисления, например число 23 изображали так:    Число 60 снова обозначалось знаком  , например число 92 записывали так:  .

В начале нашей эры индейцы племени майя, которые жили на полуострове Юкатан в Центральной Америке, пользовались другой системой счисления – двадцатеричной. Они обозначали 1 точкой, а 5 – горизонтальной чертой, например, запись ‗‗‗‗‗‗ означала 14. системе счисления майя был и знак для нуля. По своей форме он напоминал полузакрытый глаз.

В Древней Греции сначала числа 5, 10, 100, 1000, 10000 обозначали буквами Г, Н, Х, М, а число 1 – черточкой /. Из этих знаков составляли обозначения    Г (35) и т.д. Позднее числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000, 10000, 20000 стали обозначать буквами греческого алфавита, к которому пришлось добавить еще три устаревшие буквы. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку.

Древние индийцы изобрели для каждой цифры свой знак. Вот как они выглядели.

Однако Индия была оторвана от других стран, — на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы. Арабы были первыми «чужими», которые заимствовали цифры у индийцев и привезли их в Европу. Чуть позже арабы упростили эти значки, они стали выглядеть вот так.

Они похожи на многие наши цифры. Слово «цифра» тоже досталось нам от арабов по наследству. Арабы нуль, или «пусто», называли «сифра». С тех пор и появилось слово «цифра». Правда, сейчас цифрами называются все десять значков для записи чисел, которыми мы пользуемся: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Постепенное превращение первоначальных цифр в наши современные цифры.

3.2. Римская нумерация

В основе римской нумерации использованы принципы сложения (например, VI = V + I ) и вычитания (например, IX = X -1). Римская система нумерации десятичная, но непозиционная. Римские цифры произошли не от букв. Первоначально они обозначались, как и у многих народов, «палочками» ( I — один, X — 10 — перечеркнутая палочка, V — 5 — половина от десяти, сто — кружочек с черточкой внутри, пять­десят — половина этого знака и т. д.).

Со временем некоторые знаки изменились: С — сто, L — пятьде­сят, М — тысяча, D — пятьсот. Например: XL — 40, LXXX — 80, ХС — 90, CDLIX — 459, CCCLXXXII — 382, CMXCI — 991, MCMXCVIII — 1998, MMI – 2001.

3.3. Цифры русского народа

Арабские числа в России стали применять, в основном, с XVIII века. До того наши предки использовали славянскую нумерацию. Над бук­вами ставились титлы (черточки), и тогда буквы обозначали числа.

В одной из русских рукописей XVIII века написано: «. Знай же то, что есть сто и что есть тысяща, и что есть тма, и что есть легион, и что есть леодр. ; . сто есть десятью десять, а тысяща есть десять сот, а тма десять тысящ, а легион есть десять тем, а леодр есть де­сять легионов. ».

Первые девять чисел записывались так:

Сотни миллионов назывались «колодами».

«Колода» имела специальное обозначение: над буквой и под бук­вой ставили квадратные скобки. Например, число 108 записывалось в виде

Числа от 11 до 19 обозначались так:

Остальные числа записывались буквами слева направо, напри­мер, числа 5044 или 1135 имели соответственно обозначение

При записи чисел больших, чем тысячи, в практической деятельно­сти (счете, торговле и т.д.) часто вместо кружков ставили знаки «; Л» перед буквами, обозначавшими десятки и сотни тысяч, например, запись

означает соответственно 500044 и 540004.

В приведенной системе обозначения чисел не шли дальше ты­сяч миллионов. Такой счет назывался «малый счет». В некоторых рукописях авторами рассматривался и «великий счет», доходив­ший до числа 10 50 . Далее говорилось: «И более сего несть челове­ческому уму разумети».

Мир больших чисел

Сколько километров проходит человек за свою жизнь, сколько товаров производится и приходит в негодность ежечасно в пределах города, страны? Сколь­ко времени заняло бы выполнение самым быстрым расчетчиком миллиона вычислительных операций, которые современная вычис­лительная машина выполняет за. секунду? Во сколько раз скорость пассажирского реактивного самолета превосходит скорость трени­рованного спортсмена-пешехода? Ответы на эти и тысячи подобных вопросов выражаются числами, занимающими зачастую по числу своих десятичных разрядов целую строку и даже больше.

Для сокращения записи больших чисел давно используется сис­тема величин, в которой каждая из последующих в тысячу раз боль­ше предыдущей:

1000 единиц — просто тысяча (1000 или 1 тыс.)

1000 тысяч — 1 миллион (1 млн.)

1000 миллионов — 1 биллион (или миллиард, 1 млрд.)

1000 биллионов — 1 триллион

1000 триллионов — 1 квадриллион

1000 квадриллионов — 1 квинтиллион

1000 квинтиллионов — 1 секстиллион

1000 секстиллионов- 1 септиллион

1000 септиллионов — 1 октиллион

1000 октиллионов — 1 нониллион

1000 нониллионов- 1 дециллион

Таким образом, 1 дециллион запишется в десятичной системе единицей с 3 х 11=33 нулями:

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Как писал Самуил Яковлевич Маршак: «Напрасно думают, что ноль играет маленькую роль».

При записи больших чисел часто используют степень числа 10.

Степень числа — произведение его самого на себя требуемое число раз, которое называется показателем степени (а само число—ее осно­ванием). Например, 3 х 3 = 3 2 (здесь 3 — основание, 2 — показатель степе­ни), 2 х 2 х 2 = 2 3 10 х 10=10 2 =100, 10 5 =10 х 10 х 10 х 10 х 10=100000.

Заметьте, что число нулей степени 10 всегда равно ее показателю:

10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000 и т.д.

И еще одно: математики во всем мире давно приняли, что любое число в нулевой степени равно единице (а 0 = 1).

тысяча -10 3 =1 000

миллион -10 6 =1 000 000

биллион — 10 9 = 1 000 000 000

триллион — 10 12 = 1 000 000 000 000

квадриллион — 10 15 = 1 000 000 000 000 000

квинтиллион — 10 18 = 1 000 000 000 000 000 000

секстиллион — 10 21 = 1 000 000 000 000 000 000 000

септиллион — 10 24 =1 000 000 000 000 000 000 000 000

октиллион — 10 27 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Числа-символы

Существуют различные теории о происхождении чисел. Классическим примером происхождения чисел считается Древняя Греция. Другой из возможных вариантов происхождения символов чисел – это получение их из символов планет .

0 – абсолют, 1 – его проявление. Все это заключено в Солнце.

2 – двойственность и эмоциональность с ней связанная – свойства Луны.

3 – прошлое, настоящее и будущее время – Сатурн.

4 – четыре стороны света, пространство – Юпитер.

5 – любовь и человек – Венера.

6 – соединение двух треугольников – корень активности, отношений, а также преданность – свойства Марса.

7 – полнота знаний, деталей, особенностей, подвижность – это качества Меркурия.

8 – бесконечность, лунные узлы как точки затмений, во время которых временное соотносится с Вечным.

Источник