Крестьянский способ умножения двух чисел
«Русский» способ умножения
Вы не можете выполнить умножение многозначных чисел, хотя бы даже двузначных, если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, то-есть того, что называется таблицей умножения. В старинной «Арифметике» Магницкого, о которой мы уже упоминали, необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких — чуждых для современного слуха — стихах:
Автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существует способ перемножать числа и без знания таблицы умножения. Способ этот, не похожий на наши школьные приемы, употребителен в обиходе великорусских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа.
Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения зтой операции получается искомое произведение:
Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное?
Народный способ легко выводит из этого затруднения. Надо — гласит правило — в случае нечетного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца; сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочки указывают, что данную строку надо зачеркнуть):
Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:
На чем основан этот прием?
Обоснованность приема станет ясна, если принять во внимание, что
Ясно, что числа 17, 34 и т. п., утрачиваемые при делении нечетного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение.
Источник
Русский способ умножения
Недавно, прочитав статью на хабре Как сделать из 123456789 число 100 или 0 и решил почитать «Занимательную арифметику» Я. И. Перельмана, очень интересная книга, в которой можно кроме всего прочего узнать как работают обыкновенные счёты.
Но сегодня хотелось бы рассказать про исконно русский, как любит говорить Задорнов, метод умножения. Как известно, для того что бы умножить 2 числа, необходимо как минимум знать таблицу умножения. А ведь наши предки умели умножать и без таблицы умножения всего лишь за несколько итераций. Способ этот, не похожий на наши школьные приемы, употребителен в обиходе русских крестьян и унаследован ими из глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа.
32 X 13
16 X 26
8 X 52
4 X 104
2 X 208
1 X 416
Деление продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение:
32 X 13 = 1 X 416
Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное?
Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо — гласит правило, — в случае нечетного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет исходным произведением. Практически его делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат слева нечетное число. Приведем пример (звездочка указывает, что данную строку надо зачеркнуть):
19 X 17
9 X 34
4 X 68*
2 X 136*
1 X 272
Сложив не зачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:
17 + 34 + 272 = 323.
На чем основан этот прием?
Обоснованность приема станет ясна, если принять во внимание, что
19 Х 17 = (18 + 1)17 = 18 X 17 + 17,
9 X 34 = (8 + 1)34 = 8 X 34 + 34 и т. д.
Ясно, что числа 17, 34 и т. п., утрачиваемые при делении нечетного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение.
Для реализации этого метода решил написать небольшой класс, который умеет умножать «по-русски» на java с использованием операции сдвига (уж очень давно её не использовал). Не исключено, что реализовать метод можно и используя рекурсию.
Источник
Умножение по методу русских крестьян
Иногда этот метод называют «крестьянское умножение», иногда «древнеегипетское», иногда «эфиопское», иногда «умножение через удвоение и деление пополам». Некоторым он хорошо известен, некоторым – непонятен, но при этом он достаточно полезен и может использоваться не только для умножения, но и для возведения в степень и расчётов матриц.
Алгоритм
Запишем два перемножаемых числа рядом – они станут заголовками двух столбцов. Третий столбец будет содержать нарастающую сумму.
Если число в левом столбце нечётное, мы добавляем число из правого столбца в нарастающую сумму. Изначально она будет равна нулю.
Затем в левом столбце ниже мы записываем число из заголовка, делённое пополам (с отбрасыванием остатка). 13 / 2 = 6. А во втором столбце мы пишем число, равное удвоению заголовка столбца, 19*2 = 38.
Поскольку число в левом столбце чётное, мы не увеличиваем нарастающую сумму.
Потом мы повторяем процесс деления на два и удвоения. В левом столбце будет 3, это число нечётное, поэтому мы добавляем к 19 76 и получаем 95.
Повторяя процедуру, мы получаем в результате 247.
Среднее между 13 и 19 будет 16
16 ^ 2 = 256
16 – 13 = 3
3 ^ 2 = 9
256 – 9 = 247
Если не закончить работу алгоритма, то в левом столбце будут сплошные нули, и поскольку 0 – чётное число, к нарастающей сумме добавлять ничего не будет нужно. Поэтому, как только мы получаем в левом столбце единицу, в третьем столбце появляется ответ.
Доказательство
Почему это работает? Можно сказать, что это обычное двоичное длинное умножение. Но мы приведём более длинное объяснение, которое будет заодно и более общим.
Обозначим число в левом столбце A, во втором – B, нарастающую сумму – R, а ответ – P. Следовательно
Тогда, если A чётное, то есть k, для которого A=2k. Перепишем уравнение:
Или, что то же самое:
Если мы заменим A половиной его значения, а B – удвоенным значением, и назовём их A’ и B’, то:
То есть, если A чётное, мы уполовиним первое число и удвоим второе, и наше уравнение верно. А если нечётное? Тогда A=2k+1
И опять мы обозначили половину A через A’ и удвоенное B через B’.
Наше уравнение верно, если мы:
- добавили число из второго столбца к нарастающей сумме
- уполовинили первый столбец
- удвоили второй
Видно, что наше уравнение остаётся сбалансированным при выполнении шагов нашего алгоритма.
Когда мы доходим до нуля, то имеем:
Или R=P. Наша нарастающая сумма равна нужному результату.
Обобщение 1: возведение в степень
Попробуем подсчитать 2 13 . При возведении в степень мы перемножаем числа, а не складываем, поэтому мы усовершенствуем наш алгоритм:
заменим сложение умножением
заменим удвоение возведением в квадрат
Нарастающее произведение начинается с 1. 13 – нечётное, поэтому умножаем второй столбец на нарастающее произведение, получая 2. Теперь мы уполовиним 13 и возведём 2 в квадрат.
6 – чётное, не умножаем нарастающее произведение. Уполовиним 6 и возведём в квадрат 4, получим 16.
3 – нечётное, умножаем 16 на наше нарастающее произведение, получим 32. Уполовиним первый столбец и возведём в квадрат второй.
Последний шаг: 1 – нечётное, умножаем 256 на 32, получаем 8192, что и является ответом.
Доказательство этого алгоритма такое же, как и у прошлого, просто теперь наше уравнение выглядит так:
Обобщение 2: матрицы
Но этот алгоритм можно использовать не только для возведения чисел в степень – он работает и для матриц. Наше нарастающее произведение начинается с единичной матрицы, а во второй столбец пишется матрица, чью степень нам надо получить. И всё работает.
Далее идёт функция, написанная на языке Python. Она работает для любой неотрицательной степени, и «базы» любого типа, поддерживающего ассоциативное умножение. Иными словами, она работает для любой коллекции с умножением, являющейся моноидом.
Этого даже не нужно понимать, достаточно знать, что она работает для матриц.
Источник
Исследовательская работа «Старинные способы умножения»
Выбранный для просмотра документ Исследовательская работа на тему.docx
Исследовательская работа на тему:
«Старинные способы умножения»
Выполнили: уч-ся.5 кл. Великовражской СОШ
Кулагина Галина и Хрулева Алина
Руководитель: учитель математики Семина О.В.
являются алгоритмы счета.
выступает процесс вычисления.
данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.
изучить нестандартные приемы вычислений и экспериментальным путем выявить причину отказа от использования этих способов при обучении математике современных школьников
описать старинные способы вычислений и опытно– экспериментальным путем выявить трудности в их использовании;
рассмотреть некоторые приемы вычислений и на конкретных примерах показать преимущества их использования.
поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;
анализ полученных в ходе исследования данных.
Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. В нашей работе предпочтение отдано стихии чисел и действий с ними.
Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме. Поэтому мы сочли важным показать не только то, что сам процесс выполнения действия может быть важным, но и интересным занятием.
Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен тестовый опрос. Всего опрошено 24 учащихся 5 – 7 классов. По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев современные школьники не знают других способов выполнения действий кроме таких как умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком», так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.
Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?
Умеете ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»?
Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?
А хотели бы узнать?
Сводная таблица анкетирования
Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?
Умеете ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»?
Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?
А хотели бы узнать?
РУССКИЙ КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ
В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название КРЕСТЬЯНСКИЙ (существует мнение, что он берет начало от египетского).
Пример: умножим 47 на 35
запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
деление заканчивается, когда слева появится единица;
вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.
Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми жил и работал в Багдаде. Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль – Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.
В своей «Книге об индийском счете» он описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «методом решётки» (он же «ревность»). Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.
Пример: умножим 25 и 63.
Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).
Нами рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.
Умножение на пальцах
Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название Пальцевого счета).
Математические навыки на Руси были распространены еще 10-11 веках. Они конечно же были связаны с практическими нуждами людей: летоисчеслением, вычислением поголовья и стоимости скота, определение прибыли от сбора урожая и тому подобное.
При Петре 1 для распространения математических знаний в 1703 году типографским способом был издан учебник «Арифметика, сиречь наука числительная…», необычайно большим по тем временам тиражом – 2400 экземпляров. Его автором был педагог-математик Леонтий Филиппович Магницкий. Книга содержала много задач с остроумным содержанием и интересными способами решения, чем способствовала заинтересованности в обучении. Вот некоторые примеры.(переложено со старославянского)
«Способ к твержению таблицы по перстам ручным…»
Найдем произведение 6 х 6:
1) умножим количество нижних пальцев на 10: 2 х 10 = 20;
2) перемножим количества верхних пальцев на левой и правой руках: 4 х 4 = 16;
3) сложим эти два числа: 20 + 16 = 36.
Мы получили, что 6 х 6 = 36.
Таблица умножения на 9
Снова поверните кисти ладонями к себе, но теперь нумерация пальцев будет идти по порядку с лева на право, то есть от 1 до 10. Теперь умножаем, например, 2х9. Все то, что идет до пальца №2 — это десятки (то есть 1 в этом случае). А все то, что остается после пальца №2 — единицы (то есть 8). В итоге получаем 18.
Умножим теперь 6 на 9.
Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, «экономическую ситуацию» в стране, погоду на «завтра», описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в IV веке д.н.э. – Пифагора– «Всё есть число!».
Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей, числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса.
Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попыталась показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.
Изучение старинных способов вычислений показало, что это арифметические действия были трудными и сложными из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.
Современные способы вычислений просты и доступны всем.
При знакомстве с научной литературой обнаружила более быстрые и надежные способы вычислений.
Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?
а) Умеете ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»?
б)Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий
А хотели бы узнать?
Русский крестьянский способ умножения……………………………………………………………….
Выбранный для просмотра документ Старинные способы умножения Великий Враг.pptx
Описание презентации по отдельным слайдам:
Исследовательская работа на тему: «Старинные способы умножения» Выполнили: уч-ся.5 кл. Великовражской СОШ Кулагина Галина и Хрулева Алина Руководитель: учитель математики Семина О.В. Мы представляем проведенную нами исследовательскую работу на тему «Старинные способы умножения»
Объектом исследования являются алгоритмы счета. Предметом исследования выступает процесс вычисления. Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей. Цель: изучить нестандартные приемы вычислений и экспериментальным путем выявить причину отказа от использования этих способов при обучении математике современных школьников Задачи: описать старинные способы вычислений и опытно– экспериментальным путем выявить трудности в их использовании; рассмотреть некоторые приемы вычислений и на конкретных примерах показать преимущества их использования. Методы исследования: поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет; практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета; анализ полученных в ходе исследования данных. Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. В нашей работе предпочтение отдано стихии чисел и действий с ними. Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме. Поэтому мы сочли важным показать не только то, что сам процесс выполнения действия может быть важным, но и интересным занятием.
Вопрос 5 класс 6 класс 7 класс да нет Не знаю да нет Не знаю да нет Не знаю Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку? 6 — 2 3 — 1 10 1 1 Умеете ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»? 8 — — 4 — — 11 1 — Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий? — 7 1 — 4 — — 11 1 А хотели бы узнать? 8 — — 4 — — 8 3 1 Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен тестовый опрос. Всего опрошено 24 учащихся 5 – 7 классов. По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев современные школьники не знают других способов выполнения действий кроме таких как умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком», так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.
Вопрос 5,6,7 классы Да Нет Не знаю Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку? 19 1 4 Умеете ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»? 23 1 — Умеете ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»? — 22 2 А хотели бы узнать? 20 3 1
РУССКИЙ КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту; левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем); деление заканчивается, когда слева появится единица; вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа; далее оставшиеся справа числа складываем – это результат. 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645 Пример: умножим 47 на 35 В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название КРЕСТЬЯНСКИЙ (существует мнение, что он берет начало от египетского). Пример: умножим 47 на 35 запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту; левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем); деление заканчивается, когда слева появится единица; вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа; далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.
«Метод решетки» Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми в своей «Книге об индийском счете» описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «методом решётки» (он же «ревность»). Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня. Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми жил и работал в Багдаде. Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль – Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время. В своей «Книге об индийском счете» он описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «методом решётки» (он же «ревность»). Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.
«Метод решетки» Пример: умножим 25 и 63. Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо). Пример: умножим 25 и 63. Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо). Нами рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.
Умножение на пальцах Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название Пальцевого счета). Математические навыки на Руси были распространены еще 10-11 веках. Они конечно же были связаны с практическими нуждами людей: летоисчеслением, вычислением поголовья и стоимости скота, определение прибыли от сбора урожая и тому подобное. При Петре 1 для распространения математических знаний в 1703 году типографским способом был издан учебник «Арифметика, сиречь наука числительная…», необычайно большим по тем временам тиражом – 2400 экземпляров. Его автором был педагог-математик Леонтий Филиппович Магницкий. Книга содержала много задач с остроумным содержанием и интересными способами решения, чем способствовала заинтересованности в обучении. Вот некоторые примеры.(переложено со старославянского)
«Способ к твержению таблицы по перстам ручным…» Умножим 7 на 8. Каждому пальцу на левой и на правой руке приписывается определенное число: мизинцу — 6, безымянному пальцу — 7, среднему — 8, указательному — 9 и большому — 10. Умножим 7 на 8. Развернем руки ладонями к себе и коснемся безымянным пальцем (7) левой руки среднего пальца (8) правой (см. рис.). 1) умножим количество нижних пальцев на 10, получим 5 х 10 = 50; 2) перемножим количества верхних пальцев на левой и правой руках, получим 3 х 2 = 6; 3) наконец, сложим эти два числа, получим окончательный ответ: 50 + 6 = 56. Мы получили, что 7 х 8 = 56.
Умножим 6 на 6 Найдем произведение 6 х 6: 1) умножим количество нижних пальцев на 10: 2 х 10 = 20; 2) перемножим количества верхних пальцев на левой и правой руках: 4 х 4 = 16; 3) сложим эти два числа: 20 + 16 = 36. Мы получили, что 6 х 6 = 36.
Таблица умножения на 9 Снова поверните кисти ладонями к себе, но теперь нумерация пальцев будет идти по порядку с лева на право, то есть от 1 до 10. Теперь умножаем, например, 2х9. Все то, что идет до пальца №2 — это десятки (то есть 1 в этом случае). А все то, что остается после пальца №2 — единицы (то есть 8). В итоге получаем 18. Умножим теперь 6 на 9.
Заключение. Подведение итогов. Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в 4 веке д.н.э.- Пифагора- «Всё есть число!». Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попыталась показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись. Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел — не единственный и известен он был не всегда. Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен. Описывая старинные способы вычислений мы попытались показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись. Изучение старинных способов вычислений показало, что это арифметические действия были трудными и сложными из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения. Современные способы вычислений просты и доступны всем.
Источник
