Коррелатный способ уравнивания геодезических сетей

Коррелатный способ уравнивания геодезических сетей

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов — один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке геодезических измерени.

Метод наименьших квадратов содержит в себе 2 основных способа: коррелатный и параметрический, которые при строгом уравнивании дают одинаковые результаты. Выбор способа обычно зависит от объема вычислений, определяемого в основном количеством совместно решаемых уравнений, т.е. конфигурацией сети. Коррелатный способ более оптимален для свободных сетей и сетей с небольшим числом исходных пунктов и большим числом определяемых — по-скольку количество уравнений равно числу избыточных измерений. Параметрический способ, наоборот, выгоден для сетей с большим числом исходных и малым числом определяемых, по-скольку количество уравнений будет равно числу необходимых измерений.

Идея коррелатного способа заключается в отыскании поправок к измеренным величинам через вспомогательные неопределенные множители, называемые коррелатами. Сущность уравнивания коррелатным способом состоит в том, что задачу нахождения минимума функции уравнения разложенного по ряду Тейлора решают по способу Лагранжа с определенными коррелатами, в результате чего получают коррелатные уравнения поправок (векторы поправок). Преобразовав уравнения поправок получают нормальные уравнения коррелат, через которые находят вероятнейшие значения поправок.

Параметрический способ подразумевает вычисление поправок не к измеренным величинам, а к каким-то приближенным значениям (параметрам), т.е. к конечным результатам уравнения, которыми в геодезических сетях являются координаты или высоты пунктов, и непосредственное получение вероятнейших значений параметров, минуя вероятнейшее значение измеренных элементов сети.

Метод наименьших квадратов был предложен К. Ф. Гауссом (1794-95) и А. Лежандром (1805-06). Первоначально этот метод использовался для обработки результатов астрономических и геодезических наблюдений. Строгое математическое обоснование и установление границ содержательной применимости метода наименьших квадратов даны А. А. Марковым и А. Н. Колмогоровым. Ныне способ представляет собой один из важнейших разделов математической статистики и широко используется для статистических выводов в различных областях науки и техники.

Источник

54.Сущность коррелатного способа уравнивания.

Коррелатный способ уравнивания. Он состо­ит в следующем. Пусть уравниваемой геодезической сети соответ­ствует система независимых условных уравнений поправок

Рассмотрим решение задачи по определению поправок для случая равноточных измерений в соответствии с принципом [гг] = тт. Эта задача относится к математическому анализу на условный экстремум. Она может быть решена с помощью множите­лей Лагранжа, называемых коррелатами.

Для такого решения составляют функцию Лагранжа

Затем функцию исследуют на экстремум, для чего находят ее частные производные и приравнивают их к нулю:

Равенства называют коррелатными уравнениями попра­вок.

Подставляя выражения поправок (14.11) в условные уравнения (14.8), после приведения подобных членов получаем систему урав­нений

которую называют системой нормальных уравнений коррелат.

53.Вычислительная обработка сетей сгущения. Общие сведения об уравнивании геодезических сетей.

В геод сетях для контроля и оценки качества измерений, повышения их точности наряду с необходимыми выполняют и избыточные измерения. Необход и избыт измерения нах-ся в опр-х матем отношениях, в процессе решения которых они должны быть разрешены. В виду присутствия ошибок в рез-ах геометр условия не соблюдаются точно, что приводит к появлению невязок, которые должны быть устранены путем введения поправок, избыочные измерения позволяют получать искомые величины несколькими путями. Т.к. ошибки в измерениях неизвестны и явл случайными, то логично поставить при уравнивании такое условие, чтобы найденные поправки в измерении как можно меньше бы искажали результат. Такой принцип был предложен франц математиком Ле Жандром, затем Гауссом, а теперь наз способ наим квадратов.

При этом соблюд след условия:

-выполнение всех геометрических условий, возникших в сети

-нахождение наиболее надежных значений измеренных величин под условием суммы квадратов минимума поправок.

-оценку точности квадратов поправок и их ф-ий проводят по полученным результатам.

52.Способы определения дополнительных пунктов. Способы: засечек, передачи координат с вершины знака на землю.

Дополнительные (уединенные) пункты устанавливают для сгу­щения геодезической сети до необходимой плотности пунктами съемочного обоснования. Плановое положение этих пунктов оп­ределяют: передачей координат с вершины знака на землю, пря­мой, обратной, комбинированной и линейной засечками, лучевы­ми и полярными системами.

Координаты с вершины знака на землю передают в том случае, когда необходимо привязать полигонометрический (теодолитный) ход к пункту существующей сети, на котором нельзя встать с прибором (шпиль башни, колокольня церкви и др.). Для привязки хода выбирают вблизи пункта на земле пункт Р с та­ким расчетом, чтобы с него был виден пункт А и два удаленных исходных пункта В и С (один из них для контроля определения координат пункта Р и было удобно измерить два базиса для опре­деления недоступного расстояния АР.

Сущность прямой засечки состоит в определении координат третьего пункта по координатам двух исходных пунктов, двум ис­ходным дирекционным углам (в случае отсутствия видимости между исходными пунктами) и двум измеренным углам при ис­ходных пунктах.

Для контроля правильности определения координат измеряют еще угол при третьем исходном пункте. Таким образом, для решения задачи с контролем необходимо видеть определяемый пункт с трех исходных и измерить при них три угла. Углы между смежными направлениями на определяемый пункт должны быть не менее 30 и не более 150°. Существуют различные формулы и схемы для решения задачи прямой засечкой.

ф-лы Юнга

ф-лы Гаусса

Сущность обратной засечки заключается в определении коор­динат четвертого пункта по координатам трех исходных пунктов и двум углам, измеренным при определяемом пункте.

Для контроля правильности решения задачи при определяемом пункте измеряют третий угол между направлениями на один из первых трех пунктов и на четвертый пункт исходной сети.

Таким образом, для решения задачи с контролем необходимо видеть из определяемого пункта четыре пункта исходной сети и измерить три угла при определяемом пункте.

Существует много способов решения задачи: ф-ла Кнейссля.

Сущность линейной засечки состоит в определении координат пункта по координатам двух исходных пунктов и по двум расстоя­ниям от определяемого пункта до исходных.

Источник

Коррелатный способ уравнивания

После уравнивания геодезической сети любая функция уравненных величин должна определяться однозначно при любом порядке ее вычисления. Например, сторона DE от базиса АВ (рис. 20) может быть вычислена путем 1 через треугольники ABG, AGF,FGE и путем 2 через треугольники ABG, BGC, CGD, DGE, GEF. Оба значения ее длины должны совпадать.

Получаемые после уравнивания оценки любых функций уравненных результатов измерений должны быть достаточными, несмещенными и эффективными.

Общий вид функции результатов измерений обозначим F (y). Вектор результатов измерений представим так

где Y – вектор истинных значений измеренных величин,  – вектор истинных ошибок.

Линеаризованный вид функций F (y) будет следующим

В приведенном выражении значение производной обозначим черезf. Она берется в точке измеренного значения как близкого к истинному.

Будем решать задачу оценивая данной функции при соблюдении статистических свойств оценок.

1. С тем, чтобы оценка приведенной функции была достаточной, необходимо ее оценку выводить с учетом всех измерений в геодезической сети. А это возможно, если при ее оценке будут учтены все условные уравнения. Поэтому оценку функции представим так

(80)

где W – вектор свободных членов всех условных уравнений, а G – некоторая матрица, которую следует определить. Если y – скалярная величина, то G T – будет строкой. Избыточные измерения, включенные в вектор W, должны улучшить оценку (у) функцииF(Y).

2. Для достижения эффективной оценки y следует найти такую матрицу G при которой достигается минимум дисперсии y.

Величина F(Y) безошибочна, т.к. Y – истинное значение.

Вектор свободных членов можно записать так

(81)

где В – матрица коэффициентов функции будет

(82)

а ее дисперсия в соответствии с обобщенной теоремой оценки точности

(83)

где – есть корреляционная матрица ошибок измерений,– стандарт измерения с весом, равным единице, Р -1 – обратновесовая матрица ошибок измерений.

С тем, чтобы найти эффективную оценку функции, необходимо минимизировать след или определить матрицу D, если оцениваемая функция является вектором. Или находить минимум скалярной величины D по , если функция F (y) скаляр.

Перепишем дисперсию функции в виде

(84)

Для получения минимума (84) найдем производную следа матрицы D по G

(85)

Приравнивая последнее выражение из (85) к нулю запишем

(86)

(87)

(88)

Тогда с учетом (88) значение оцениваемой функции примет вид

Значение является поправкой к функции или вектор функции после уравнивания. Если принять, что вектор-функция равна вектору измерений, то тогдаf является единичной матрицей с размерностью, равной числу измерений, и будет вектором поправок к измерениям.

Если теперь значение G доставить в выражение дисперсии, то сразу же получим

(90)

Это есть формула вычисления дисперсии любой функции при коррелатном способе уравнивания.

3. При таком подходе полученное значение будет и несмещенным, если только ошибки измерений случайны.

то

То есть математическое ожидание оцениваемой функции будет равно ее истинному значению.

Исходя из изложенного можно составить алгоритм уравнивания коррелатным способом.

1. Составляется система условных уравнений (73). Соответственно матрица коэффициентов В и вектор свободных членов W.

2. Вычисляется матрица нормальных уравнений

и решается система нормальных уравнений

(91)

3. Находятся поправки к измеренным величинам по формуле

(92)

4. Оценка дисперсии любой функции уравненных величин производится по формуле (90)

(93)

а оценка стандарта единицы веса вычисляется по формуле

(94)

где r – число условных уравнений.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник