Решение задач координатным методом
КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Основная задача механики – определить положение тела в любой момент времени. Для определения положения тела в пространстве в тот или иной момент времени выбирается тело отсчета, которое может быть неподвижным относительно Земли или двигаться. С телом отсчета связывают какую-либо систему координат и часы, как систему времени. Система координат и часы образуют систему отсчета. Координаты положения тела определяются с помощью уравнений движения, которые в общем виде записываются так:
или в проекциях
x = x 0 + V 0 t + 
y = y 0 + 
z = z 0 + V o t +
Решение задач с помощью уравнений движения особенно эффективно при использовании компьютера, так как достаточно в уравнение подставить соответствующие величины, компьютер же по заданной программе решит заданное уравнение или систему уравнений.
В общем случае в уравнение входят векторные величины и, следовательно, проекции их на оси координат могут быть как положительными так и отрицательными.
Из точки А с высоты 45 м свободно падает тело. Одновременно из точки В, расположенной на 21 м ниже точки А, вертикально вверх бросается второе тело. Определить скорость бросания второго тела, если на землю они падают одновременно.
Из условия падения первого тела находится время падения
t = 
Второе тело t 1 = V o / g движется вверх, поднимаясь на высоту ВС = 
и падает затем с высоты ОС = Н – h + ВС, для получения ответа нужно решить довольно сложное уравнение:
= 
.
2.С использованием уравнения движения решение задачи будет таким: пусть ось Х направлена вверх и начало координат на земле. Тогда уравнения движения тел будут
Х А = Н — 
X B = H – h + V o t — .
Так как через t секунд оба тела оказались на земле, т.е. в точке О, координата которой равна нулю, получим два уравнения :
0 = Н —
0 = H – h + V o t — .
Из первого находим t , сравнивая первое и второе уравнения, получаем
где только одно неизвестное.
3.Если воспользоваться принципом независимости движения, можно получить ответ сложением векторов :
Перемещение первого тела А определяется вектором Н = g t 2 /2.
Перемещение второго тела – В определяется геометрической суммой векторов V o t направленного вверх и вектора g t 2 /2 , направленного вниз, т.е. g t 2 /2 — V o t = H – h . Подставляя вместо Н ↔ gt 2 / 2 , получаем h = V o t .
4. Более интересным является решение задачи в системе отсчета, связанной с телом А. Относительно тела А тело В движется равномерно со скоростью V о и проходит расстояние h за время, равное времени, за которое земля, движущаяся с ускорением g без начальной скорости, проходит Н, т.е.45 м, следовательно t = 
= 3 с и V о = 21 м / 3 с = 7 м/с.
При расчетах движения тел в плоскости иногда удобно оси координат выбрать так, чтобы и ускорение свободного падения имело проекции на обе оси.
Пример: Определить дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью v на склоне горы, уклон которой α .
Если оси координат выбрать традиционно ось Х горизонтально и ось Y вертикально, то уравнения движения
у = CA – g t 2 / 2 , х = vt
A V Через t с тело упало в точку В, т.е. у = 0. Тогда
t = 
, но АС = , а АВ = 
и АВ= 
, откуда 
и
Y = v × Sin α — 
При падении тела на склон у = 0. Определим из этого t = 
и подставив в первое уравнение, находим х =
Используя принцип независимости движения эту задачу можно решить так:
, откуда 
и AC = 
= 
Задачи для самостоятельного решения
Тело свободно падает с высоты h. В тот же момент другое тело брошено с высоты H (H>h) вертикально вниз. Оба тела на землю упали одновременно. Определить начальную скорость бросания второго тела.
Из лифта, опускающегося равномерно в некоторый момент выпал кирпич. Сколько времени кирпич падал на землю, если в момент его падения, лифт находился на высоте h=20м?
Из вертолета, равномерно поднимающегося вверх со скоростью 4 м/с, на высоте 200 м вертикально вверх со скоростью 10 м/с брошено тело. Через сколько времени и на какой высоте от земли встретятся вертолет и брошенное тело? Какую скорость будет иметь тело относительно земли и вертолета?
С высоты h на наклонную плоскость с углом наклона α падает упругий мяч. На каком расстоянии от места первого падения мяч упадет на плоскость второй, третий и т.д. раз
С какой скоростью должен вылететь снаряд , чтобы поразить ракету, стартующую вертикально вверх с ускорением а. Выстрел производится под углом α, расстояние от пушки до места старта ракеты L.
Источник
