Координатный способ расстояние от точки до плоскости

Содержание

Расстояние от точки до плоскости
Вывод формулы для координатного метода поиска расстояния от точки до плоскости в пространстве
Готовые работы на аналогичную тему
Общий алгоритм для нахождения расстояния от точки $M_0$ до плоскости
Расстояние от точки до плоскости: определение и примеры нахождения
Расстояние от точки до плоскости – определение
Расстояние от точки до плоскости – теория, примеры, решения
Геометрия. 11 класс

Расстояние от точки до плоскости

Вы будете перенаправлены на Автор24

Поиск расстояния от точки до плоскости — частая задача, возникающая при решении различных задач аналитической геометрии, например, к этой задаче можно свести нахождение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми или между прямой и параллельной ей плоскостью.

Рассмотрим плоскость $β$ и точку $M_0$ с координатами $(x_0;y_0; z_0)$, не принадлежащую плоскости $β$.

Кратчайшим расстоянием между точкой и плоскостью будет перпендикуляр, опущенный из точки $М_0$ на плоскость $β$.

Рисунок 1. Расстояние от точки, до плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Ниже рассмотрено как найти расстояние от точки до плоскости координатным методом.

Вывод формулы для координатного метода поиска расстояния от точки до плоскости в пространстве

Перпендикуляр из точки $M_0$, пересекающийся с плоскостью $β$ в точке $M_1$ с координатами $(x_1;y_1; z_1)$, лежит на прямой, направляющим вектором которой является нормальный вектор плоскости $β$. При этом длина единичного вектора $n$ равна единице. Соответственно этому, расстояние от $β$ до точки $M_0$ составит:

$ρ= |\vec \cdot \vec|\left(1\right)$, где $\vec$ — нормальный вектор плоскости $β$, а $\vec$ — единичный нормальный вектор рассматриваемой плоскости.

В случае, когда уравнение плоскости задано в общем виде $Ax+ By + Cz + D=0$, координаты нормального вектора плоскости представляют собой коэффициенты уравнения $\$, а единичный нормальный вектор в этом случае имеет координаты, вычисляемые по следующему уравнению:

Теперь можно найти координаты нормального вектора $\vec$:

Готовые работы на аналогичную тему

Также выразим коэффициент $D$, используя координаты точки, лежащей в плоскости $β$:

Координаты единичного нормального вектора из равенства $(2)$ можно подставить в уравнение плоскости $β$, тогда мы имеем:

Равенство $(4)$ является формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости в пространстве.

Общий алгоритм для нахождения расстояния от точки $M_0$ до плоскости

Если уравнение плоскости задано не в общей форме, для начала необходимо привести его к общей.
После этого необходимо выразить из общего уравнения плоскости нормальный вектор данной плоскости через точку $M_0$ и точку, принадлежащую заданной плоскости, для этого нужно воспользоваться равенством $(3)$.
Следующий этап — поиск координат единичного нормального вектора плоскости по формуле $(2)$.
Наконец, можно приступить к поиску расстояния от точки до плоскости, это осуществляется с помощью вычисления скалярного произведения векторов $\vec$ и $\vec$.

Найдите расстояние от точки $M_0$, заданной координатами $(1;2;3)$ до плоскости $β$, заданной уравнением $5x+2y-z+3=0$

Источник

Расстояние от точки до плоскости: определение и примеры нахождения

Данная статья рассказывает об определении расстояния от точки до плоскости. произведем разбор методом координат, который позволит находить расстояние от заданной точки трехмерного пространства. Для закрепления рассмотрим примеры нескольких задач.

Расстояние от точки до плоскости – определение

Расстояние от точки до плоскости находится посредством известного расстояния от точки до точки, где одна из них заданная, а другая – проекция на заданную плоскость.

Когда в пространстве задается точка М 1 с плоскостью χ , то через точку можно провести перпендикулярную плоскости прямую. Н 1 является общей точкой их пересечения. Отсюда получаем, что отрезок М 1 Н 1 – это перпендикуляр, который провели из точки М 1 к плоскости χ , где точка Н 1 – основание перпендикуляра.

Расстоянием от точки до плоскости называют расстояние от заданной точки к основанию перпендикуляра, который провели из заданной точки к заданной плоскости.

Определение может быть записано разными формулировками.

Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, который провели из заданной точки к заданной плоскости.

Расстояние от точки М 1 к плоскости χ определяется так: расстояние от точки М 1 до плоскости χ будет являться наименьшим от заданной точки до любой точки плоскости. Если точка Н 2 располагается в плоскости χ и не равна точке Н 2 , тогда получаем прямоугольный треугольник вида М 2 H 1 H 2 , который является прямоугольным, где имеется катет М 2 H 1 , М 2 H 2 – гипотенуза. Значит, отсюда следует, что M 1 H 1 M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 считается наклонной, которая проводится из точки М 1 до плоскости χ . Мы имеем, что перпендикуляр, проведенный из заданной точки к плоскости, меньше наклонной, которую проводят из точки к заданной плоскости. Рассмотрим этот случай на рисунке, приведенном ниже.

Расстояние от точки до плоскости – теория, примеры, решения

Существует ряд геометрических задач, решения которых должны содержать расстояние от точки до плоскости. Способы выявления этого могут быть разными. Для разрешения применяют теорему Пифагора или подобия треугольников. Когда по условию необходимо рассчитать расстояние от точки до плоскости, заданные в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, решают методом координат. Данный пункт рассматривает этот метод.

По условию задачи имеем, что задана точка трехмерного пространства с координатами M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) с плоскостью χ , необходимо определить расстояние от М 1 к плоскости χ . Для решения применяется несколько способов решения.

Первый способ

Данный способ основывается на нахождении расстояния от точки до плоскости при помощи координат точки Н 1 , которые являются основанием перпендикуляра из точки М 1 к плоскости χ . Далее необходимо вычислить расстояние между М 1 и Н 1 .

Для решения задачи вторым способом применяют нормальное уравнение заданной плоскости.

Второй способ

По условию имеем, что Н 1 является основанием перпендикуляра, который опустили из точки М 1 на плоскость χ . Тогда определяем координаты ( x 2 , y 2 , z 2 ) точки Н 1 . Искомое расстояние от М 1 к плоскости χ находится по формуле M 1 H 1 = ( x 2 — x 1 ) 2 + ( y 2 — y 1 ) 2 + ( z 2 — z 1 ) 2 , где M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и H 1 ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Для решения необходимо узнать координаты точки Н 1 .

Имеем, что Н 1 является точкой пересечения плоскости χ с прямой a , которая проходит через точку М 1 , расположенную перпендикулярно плоскости χ . Отсюда следует, что необходимо составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости. Именно тогда сможем определить координаты точки Н 1 . Необходимо произвести вычисление координат точки пересечения прямой и плоскости.

Алгоритм нахождения расстояния от точки с координатами M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) к плоскости χ :

составить уравнение прямой а, проходящей через точку М 1 и одновременно
перпендикулярной к плоскости χ ;
найти и вычислить координаты ( x 2 , y 2 , z 2 ) точки Н 1 , являющимися точками
пересечения прямой a с плоскостью χ ;
вычислить расстояние от М 1 до χ , используя формулу M 1 H 1 = ( x 2 — x 1 ) 2 + ( y 2 — y 1 ) 2 + z 2 — z 1 2 .

В заданной прямоугольной системе координат О х у z имеется плоскость χ , тогда получаем нормальное уравнение плоскости вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 . Отсюда получаем, что расстояние M 1 H 1 с точкой M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , проведенной на плоскость χ , вычисляемое по формуле M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p . Эта формула справедлива, так как это установлено благодаря теореме.

Если задана точка M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) в трехмерном пространстве, имеющая нормальное уравнение плоскости χ вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , тогда вычисление расстояния от точки до плоскости M 1 H 1 производится из формулы M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p , так как x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .

Доказательство теоремы сводится к нахождению расстояния от точки до прямой. Отсюда получаем, что расстояние от M 1 до плоскости χ — это и есть модуль разности числовой проекции радиус-вектора M 1 с расстоянием от начала координат к плоскости χ . Тогда получаем выражение M 1 H 1 = n p n → O M → — p . Нормальный вектор плоскости χ имеет вид n → = cos α , cos β , cos γ , а его длина равняется единице, n p n → O M → — числовая проекция вектора O M → = ( x 1 , y 1 , z 1 ) по направлению, определяемым вектором n → .

Применим формулу вычисления скалярных векторов. Тогда получаем выражение для нахождения вектора вида n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , так как n → = cos α , cos β , cos γ · z и O M → = ( x 1 , y 1 , z 1 ) . Координатная форма записи примет вид n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , тогда M 1 H 1 = n p n → O M → — p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p . Теорема доказана.

Отсюда получаем, что расстояние от точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) к плоскости χ вычисляется при помощи подстановки в левую часть нормального уравнения плоскости cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 вместо х , у , z координаты x 1 , y 1 и z 1 ,относящиеся к точке М 1 , взяв абсолютную величину полученного значения.

Рассмотрим примеры нахождения расстояния от точки с координатами до заданной плоскости.

Вычислить расстояние от точки с координатами M 1 ( 5 , — 3 , 10 ) к плоскости 2 x — y + 5 z — 3 = 0 .

Решим задачу двумя способами.

Первый способ начнется с вычисления направляющего вектора прямой a . По условию имеем, что заданное уравнение 2 x — y + 5 z — 3 = 0 является уравнением плоскости общего вида, а n → = ( 2 , — 1 , 5 ) является нормальным вектором заданной плоскости. Его применяют в качестве направляющего вектора прямой a , которая перпендикулярна относительно заданной плоскости. Следует записать каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящее через M 1 ( 5 , — 3 , 10 ) с направляющим вектором с координатами 2 , — 1 , 5 .

Уравнение получит вид x — 5 2 = y — ( — 3 ) — 1 = z — 10 5 ⇔ x — 5 2 = y + 3 — 1 = z — 10 5 .

Следует определить точки пересечения. Для этого нежно объединить уравнения в систему для перехода от канонического к уравнениям двух пересекающихся прямых. Данную точку примем за Н 1 . Получим, что

x — 5 2 = y + 3 — 1 = z — 10 5 ⇔ — 1 · ( x — 5 ) = 2 · ( y + 3 ) 5 · ( x — 5 ) = 2 · ( z — 10 ) 5 · ( y + 3 ) = — 1 · ( z — 10 ) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x — 2 z — 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x — 2 z — 5 = 0

После чего необходимо разрешить систему

x + 2 y + 1 = 0 5 x — 2 z — 5 = 0 2 x — y + 5 z — 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x — 2 z = 5 2 x — y + 5 z = 3

Обратимся к правилу решения системы по Гауссу:

1 2 0 — 1 5 0 — 2 5 2 — 1 5 3

1 2 0 — 1 0 — 10 — 2 10 0 — 5 5 5

1 2 0 — 1 0 — 10 — 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = — 1 10 · 10 + 2 · z = — 1 , x = — 1 — 2 · y = 1

Получаем, что H 1 ( 1 , — 1 , 0 ) .

Производим вычисления расстояния от заданной точки до плоскости. Берем точки M 1 ( 5 , — 3 , 10 ) и H 1 ( 1 , — 1 , 0 ) и получаем

M 1 H 1 = ( 1 — 5 ) 2 + ( — 1 — ( — 3 ) ) 2 + ( 0 — 10 ) 2 = 2 30

Второй способ решения заключается в том, чтобы для начала привести заданное уравнение 2 x — y + 5 z — 3 = 0 к нормальному виду. Определяем нормирующий множитель и получаем 1 2 2 + ( — 1 ) 2 + 5 2 = 1 30 . Отсюда выводим уравнение плоскости 2 30 · x — 1 30 · y + 5 30 · z — 3 30 = 0 . Вычисление левой части уравнения производится посредствам подстановки x = 5 , y = — 3 , z = 10 , причем нужно взять расстояние от M 1 ( 5 , — 3 , 10 ) до 2 x — y + 5 z — 3 = 0 по модулю. Получаем выражение:

M 1 H 1 = 2 30 · 5 — 1 30 · — 3 + 5 30 · 10 — 3 30 = 60 30 = 2 30

Когда плоскость χ задается одним из способов раздела способы задания плоскости, тогда нужно для начала получить уравнение плоскости χ и вычислять искомое расстояние при помощи любого метода.

В трехмерном пространстве задаются точки с координатами M 1 ( 5 , — 3 , 10 ) , A ( 0 , 2 , 1 ) , B ( 2 , 6 , 1 ) , C ( 4 , 0 , — 1 ) . Вычислить расстяние от М 1 к плоскости А В С .

Для начала необходимо записать уравнение плоскости, проходящее через заданные три точки с координатами M 1 ( 5 , — 3 , 10 ) , A ( 0 , 2 , 1 ) , B ( 2 , 6 , 1 ) , C ( 4 , 0 , — 1 ) .

x — 0 y — 2 z — 1 2 — 0 6 — 2 1 — 1 4 — 0 0 — 2 — 1 — 1 = 0 ⇔ x y — 2 z — 1 2 4 0 4 — 2 — 2 = 0 ⇔ ⇔ — 8 x + 4 y — 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x — y + 5 z — 3 = 0

Отсюда следует, что задача имеет аналогичное предыдущему решение. Значит, расстояние от точки М 1 к плоскости А В С имеет значение 2 30 .

Нахождение расстояния от заданной точки на плоскости или к плоскости, которым они параллельны, удобнее, применив формулу M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p . Отсюда получим, что нормальные уравнения плоскостей получают в несколько действий.

Найти расстояние от заданной точки с координатами M 1 ( — 3 , 2 , — 7 ) к координатной плоскости О х у z и плоскости, заданной уравнением 2 y — 5 = 0 .

Координатная плоскость О у z соответствует уравнению вида х = 0 . Для плоскости О у z оно является нормальным. Поэтому необходимо подставить в левую часть выражения значения х = — 3 и взять модуль значения расстояния от точки с координатами M 1 ( — 3 , 2 , — 7 ) к плоскости. Получаем значение, равное — 3 = 3 .

После преобразования нормальное уравнение плоскости 2 y — 5 = 0 получит вид y — 5 2 = 0 . Тогда можно найти искомое расстояние от точки с координатами M 1 ( — 3 , 2 , — 7 ) к плоскости 2 y — 5 = 0 . Подставив и вычислив, получаем 2 — 5 2 = 5 2 — 2 .

Ответ: Искомое расстояние от M 1 ( — 3 , 2 , — 7 ) до О у z имеет значение 3 , а до 2 y — 5 = 0 имеет значение 5 2 — 2 .

Источник

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок № 3. Координатный метод решения задач

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

специфика и преимущества решения задач в пространстве координатным методом;
типы задач, решаемые координатным методом;
этап решения задачи координатным методом;
решение несложных задач методом координат.

Глоссарий по теме

Уравнение вида задает в пространстве плоскость α.

При этом вектор – это вектор, перпендикулярный плоскости α. Его называют вектор нормали, или нормальный вектор, или нормаль. Очевидно, что нормалью является любой вектор, коллинеарный вектору .

Вектор и любой коллинеарный ему вектор называются направляющим векторами прямой и прямой соответственно.

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 163-170.

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 353-260.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Работа по теме урока. Объяснение новой темы

Мы рассмотрели несложную задачу на применение метода координат в пространстве.

Векторы , угол между которыми мы искали, называются направляющими векторами прямой и прямой соответственно.

Рассмотрим этот метод более подробно.

Суть метода координат на плоскости и в пространстве заключается в следующем.

Ввести систему координат удобным образом (исходя их свойств заданной фигуры)
Записать условие задачи в координатах, определив во введенной системе координат координаты точек и/или векторов
Используя алгебраические преобразования, решить задачу
Интерпретировать полученный результат в соответствии с условием данной задачи

В рассмотренном нами примере, поскольку был дан куб, мы могли ввести систему координат с центром в любой его вершине.

В координатах удобно решать задачи, связанные с поиском расстояний и углов. Но для того чтобы его использовать, нужно знать некоторые формулы:

Угол между прямыми
Угол между прямой и плоскостью
Угол между плоскостями
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до прямой в пространстве
Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между параллельными плоскостями определяется как расстояние от точки, лежащей в одной плоскости, до другой плоскости.

Мы рассмотрим только первые четыре формулы.

Угол между прямыми

Если прямая задана двумя точками A и B, то известен направляющий вектор этой прямой с координатами <>. Пусть вторая прямая имеет направляющий вектор . Тогда угол между векторами вычисляется по формуле:

Дальше ищется арккосинус от найденного числа. Заметим, что если косинус получился отрицательным, то это значит, что угол между векторами тупой. Поэтому мы берем модуль получившегося числа.

Фактически мы уже рассмотрели пример вычисления угла между прямыми в пространстве.

Угол между прямой и плоскостью

Сначала рассмотрим уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Вам известно, что в пространстве плоскость задается уравнением, аналогичным тому, которое на плоскости задает прямую.

Если линейное уравнение вида на плоскости задает прямую l, то уравнение вида задает в пространстве плоскость α. При этом вектор – это вектор, перпендикулярный плоскости α. Его называют вектор нормали, или нормальный вектор, или нормаль.

Вам известно, что три точки в пространстве определяют единственную плоскость. Поэтому, если заданы три точки, то мы можем найти уравнение плоскости

Мы можем подставить координаты заданных точек в уравнение плоскости и решить систему из трех уравнений с тремя переменными:

В этой системе четыре неизвестных, однако, мы можем избавиться от одной, если разделим все уравнения на D:

Для изучения данного способа в 11 классе на базовом уровне введение понятий матрица, определитель матрицы не желателен, данные понятия не входят в базовый курс изучения геометрии.

Иногда эта система оказывается несложной. Но иногда бывает трудно ее решить, и тогда можно использовать следующую формулу:

Обозначение |M| означает определитель матрицы М.

В нашем случае матрица представляет собой таблицу 3х3 элемента. И определитель |M| вычисляется следующим образом:

Таким образом, уравнение плоскости будет записано так:

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки K(1; -2; 3), L (0; 1; 1), M (1; 0; 1).

Решая ее, получим значения А, В и С: . То есть уравнение плоскости имеет вид:

Ответ: .

Теперь запишем формулу угла между прямой и плоскостью.

Пусть дано уравнение плоскости: и известен — направляющий вектор прямой.

Тогда – синус угла между прямой и плоскостью.

Найдем угол между прямой и плоскостью. В качестве плоскости возьмем ту, уравнение которой мы только что написали:

Прямая проходит через точки Т(2; -1; 4) и Р(3; 2; 2).

Направляющий вектор прямой: .

Найдем синус угла между прямой и плоскостью:

Угол между прямой и плоскостью .

Ответ: .

Угол между плоскостями

уравнение первой плоскости:

уравнение второй плоскости:

Тогда — косинус угла между этими плоскостями.

Найдем угол между плоскостями:

и .

Найдем косинус угла между плоскостями:

Угол между плоскостями:

Ответ:

Расстояние от точки до плоскости

Пусть координаты точки: , уравнение плоскости: .

Тогда Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле: .

Найдем расстояние от точки М(4; 3; 4) до плоскости .

Теперь рассмотрим решение задачи координатным методом с использованием рассмотренных формул.

АВС…D1 – куб с ребром 4. Найти расстояние от точки А до плоскости ЕКС (Е – середина D1C1, K – середина C1B1)

Введем систему координат с началом в вершине А так, как показано на рисунке:

Интересующие нас точки будут иметь координаты:

A(0; 0; 0), C(4; 4; 0), E(4; 2; 4), K(2; 4; 4).

Напишем уравнение плоскости ЕКС:

Решая ее, получим значения А, В, С и D: .

Уравнение плоскости имеет вид:

Теперь найдем расстояние от точки А до плоскости ЕКС: .

Ответ: .

Рассмотрим задачу (№14 из варианта ЕГЭ).

В кубе ABC…D₁ все рёбра равны 4. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C₁ построена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что A₁P : PB₁ = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

Переформулируем первый пункт этой задачи таким образом:

Проведем плоскость через точки Р, K и C₁ и докажем, что она параллельна прямой BD₁.

Введем систему координат так, как показано на рисунке:

Найдем координаты точек :

Р(; 0; 4), К(4; 0; 3),(4; 4; 4).

Напишем уравнение плоскости :

;

Решая ее, получим значения А, В, С и D: .

— уравнение плоскости

Теперь докажем, что плоскость параллельна прямой BD₁.

Найдем угол между прямой BD₁ и плоскостью .

Точки В и D₁ имеют координаты: В (4; 0; 0), D₁ (0; 4; 4).

Направляющий вектор прямой BD₁ – это вектор .

Он имеет координаты .

Теперь найдем синус угла между вектором и плоскостью .

В этом случае нам не нужно считать знаменатель дроби. Так как числитель получился равен 0, то дробь равна 0, то есть синус угла между плоскостью и прямой равен 0, значит, плоскости параллельны или совпадают. Но, так как точка В, например, в плоскости, очевидно, не лежит, то плоскости параллельны.

Это значит, что плоскость, параллельная прямой BD₁ и проходящая через точки действительно пересекает ребро A₁B₁в точке Р так, что A₁P : PB₁ = 2 : 1. Что и требовалось доказать.