Координатным способом задания движения точки заключается

Координатный способ задания движения точки

Введение

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы применим основные результаты этой теории к координатному способу задания движения материальной точки.

Пусть мы имеем неподвижную прямоугольную систему координат с центром в неподвижной точке . При этом положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z). Координатный способ задания движения точки – это такой способ, при котором заданы зависимости координат от времени. То есть заданы три функции от времени (при трехмерном движении):

Далее мы приводим формулы вычисления кинематических величин и пример решения задачи для координатного способа задания движения.

Определение кинематических величин

Зная зависимости координат от времени , мы автоматически определяем радиус-вектор материальной точки M по формуле:
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

Дифференцируя по времени , находим проекции скорости и ускорения на оси координат:
;
;
Модули скорости и ускорения:
;
.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.
Его можно определить двумя способами – по направлению скорости, или в противоположную сторону. Поэтому здесь в знаменателе стоит не модуль скорости, а алгебраическая величина скорости, которая, по абсолютной величине, равна модулю скорости, но может принимать как положительные, так и отрицательные значения: . Она является проекцией скорости на направление единичного вектора .

Алгебраическая величина тангенциального (касательного) ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории:
.
Вектор тангенциального (касательного) ускорения:
.
Здесь также, как и для скорости, – это скалярная величина, которая может принимать как положительные так и отрицательные значения: .

Нормальное ускорение:
.
Вектор нормального ускорения:
; .
Единичный вектор в направлении главной нормали траектории (то есть единичный вектор, перпендикулярный касательной и направленный к центру кривизны траектории):
.
Здесь – это модуль нормального ускорения: . Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории. Оно не может быть направлено в противоположную сторону.

Радиус кривизны траектории:
.
Центр кривизны траектории:
.

Единичный вектор в направлении бинормали:
.

Пример решения задачи

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнениям движения точки установить вид ее траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Уравнения движения точки:
, см;
, см.

Решение

Определение вида траектории

Исключаем время из уравнений движения. Для этого перепишем их в виде:
; .
Применим формулу:
.
;
;
;
.

Итак, мы получили уравнение траектории:
.
Это уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии .

Поскольку
, то
; или
.
Аналогичным образом получаем ограничение для координаты :
;
;

Таким образом, траекторией движения точки является дуга параболы
,
расположенная при
и .

Строим параболу по точкам.

0	6
± 3	5,625
± 6	4,5
± 9	2,625
± 12	0

Определяем положение точки в момент времени .
;
.

Определение скорости точки

Дифференцируя координаты и по времени , находим компоненты скорости.
.
Чтобы продифференцировать , удобно применить формулу тригонометрии:
. Тогда
;
.

Вычисляем значения компонент скорости в момент времени :
;
.
Модуль скорости:
.

Определение ускорения точки

Дифференцируя компоненты скорости и по времени , находим компоненты ускорения точки.
;
.

Вычисляем значения компонент ускорения в момент времени :
;
.
Модуль ускорения:
.

Алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории. Выберем направление совпадающим с направлением скорости . Тогда ; алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление скорости :
.
Поскольку , то вектор тангенциального ускорения направлен противоположно скорости .

Нормальное ускорение:
.
Вектор и направлен в сторону центра кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории:
.

Траекторией движения точки является дуга параболы
; .
Скорость точки: .
Ускорение точки: ; ; .
Радиус кривизны траектории: .

Определение остальных величин

При решении задачи мы нашли:
вектор и модуль скорости:
; ;
вектор и модуль полного ускорения:
; ;
тангенциальное и нормальное ускорения:
; ;
радиус кривизны траектории: .

Определим остальные величины.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.
Вектор тангенциального ускорения:

.
Вектор нормального ускорения:

.
Единичный вектор в направлении главной нормали:
.
Координаты центра кривизны траектории:

.

Введем третью ось системы координат перпендикулярно осям и . В трехмерной системе
; .
Единичный вектор в направлении бинормали:

.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-02-2016 Изменено: 29-01-2020

Источник

iSopromat.ru

При координатном способе задания движения точки в выбранной системе координат задаются координаты движущейся точки как функции от времени.

В прямоугольной декартовой системе координат это будут уравнения:

Эти уравнения являются и уравнениями траектории в параметрической форме. Исключая из этих уравнений параметр t, можно получить три пары систем двух уравнений, каждая из которых представляет траекторию точки, как пересечение поверхностей.

Кроме декартовых могут быть использованы другие системы координат (сферическая, цилиндрическая). Всегда можно перейти от координатного способа задания движения к векторному (рисунок 1.3):

Поэтому, используя формулы для определения скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения, можно получить аналогичные формулы для координатного способа:

Направление вектора скорости определяется с помощью направляющих косинусов:

Формулы (1.6) и (1.7) полностью определяют вектор скорости при координатном способе задания движения точки, т.е. по величине и направлению.

Аналогичны формулы для определения ускорения точки:

Формулы (1.8) определяют величину и направление вектора ускорения. В формулах (1.6) и (1.8) приведены используемые в различных учебниках обозначения проекций скоростей и ускорений точек на оси декартовой системы координат.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

iSopromat.ru

Рассмотрим три существующих способа задания движения материальной точки: координатный, векторный и естественный.

Чтобы иметь возможность определить параметры движения точки необходимо задать закон ее движения.

В зависимости от известных величин и поставленной задачи могут быть использованы следующие способы задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

Векторный

При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета.

Координатный

При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:

Это параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t. Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них t.

Естественный

При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t). Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Координатный способ задания движения точки.

В этом случае положение движущейся точки в пространстве определяют тремя ее декартовыми координатами относительно выбранной неподвижной прямоугольной системы осей (рис. 41). При движении точки эти координаты являются однозначными и непрерывными функциями времени, т.е. уравнения движения получают в виде:

, , (14)

При координатном способе задания движения точки, траектория в непосредственном виде не дается, но может быть получена из уравнений движения. Исключая из уравнений движения время, получаем два соотношения между координатами , которые определяют линию, описываемую в пространстве движущейся точкой, т.е. ее траекторию.

Если движущаяся точка остается за все время движения в одной и той же плоскости, то, приняв эту плоскость за координатную , получаем два уравнения движения , .

Уравнения движения точки в координатной форме представляют собой уравнение траектории в параметрической форме, где за независимый параметр принято время. Исключая его из уравнений движения, получаем уравнение траектории.

При движении точки в плоскости можно пользоваться не только декартовыми координатами. В этом случае можно ввести в рассмотрение полярные координаты (рис. 42).

Положение точки в этом случае будут определять полярный угол и вектор , т.е. уравнения движения точки в полярных координатах имеют вид: .

Векторный способ задания движения точки.

В этом случае положение точки в пространстве определяется только радиусом – вектором, проведенным из начала декартовой системы координат (рис. 43). Уравнение движения в этом случае имеет вид:

(15)

Векторный способ задания движения удобен для установления общих зависимостей, так как позволяет описать движение точки одним векторным уравнением вместо трех скалярных.

Источник

Координатный способ задания движения точки

В выбранной системе координат задаются координаты движущейся точки как функции от времени. В прямоугольной декартовой системе координат это будут уравнения:

x=x(t)

y=y(t)

z=z(t)

Эти уравнения являются и уравнениями траектории в параметрической форме. Исключая из этих уравнений параметр t, можно получить три пары систем двух уравнений, каждая из которых представляет траекторию точки, как пересечение поверхностей.

Кроме декартовых могут быть использованы другие системы координат (сферическая, цилиндрическая). Всегда можно перейти от координатного способа задания движения к векторному (рисунок 1.3):

r(t)=i⋅x(t) ⊕ j⋅y(t) ⊕ k⋅z(t) (1.5)

Поэтому, используя формулы для определения скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения, можно получить аналогичные формулы для координатного способа:

Направление вектора скорости определяется с помощью направляющих косинусов:

Формулы (1.6) и (1.7) полностью определяют вектор скорости при координатном способе задания движения точки, т.е. по величине и направлению.

Аналогичны формулы для определения ускорения точки:

Формулы (1.8) определяют величину и направление вектора ускорения. В формулах (1.6) и (1.8) приведены используемые в различных учебниках обозначения проекций скоростей и ускорений точек на оси декартовой системы координат.

3 Баллистическое движение.Криволинейное баллистическое движение тела можно рассматривать как результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения по оси х и равнопеременного движения по оси у.

Закон баллистического движения в координатной форме

Tам же вы получили уравнение, описывающее траекторию движения тела в поле тяготения Земли — это парабола (сравните свой результат с формулой).

На рисунках показаны траектории движения, векторы начальной и мгновенной скоростей тела, брошенного под углом к горизонту, и тела, начальная скорость которого направлена горизонтально.

Источник