Конспект урока решение тригонометрических уравнений различными способами

Урок-конспект «Способы решений тригонометрических уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Познакомить учащихся со способами решений тригонометрических уравнений. Сформировать навыки, различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.

Скачать:

Вложение	Размер
sposoby_resheniya_trigonometricheskih_uravneniy.docx	89.15 КБ

Предварительный просмотр:

Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

«Уравнения будут существовать вечно».

• Образовательные :

• углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
• сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.

• Воспитательные :

• воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
• формирование умения анализировать поставленную задачу;
• способствовать улучшению психологического климата в классе.

• Развивающие :

• способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
• способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = – ;
4) sin2x = 0;
5) sinx = – ;
6) sin x = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2 к;
2) х = ± + 2 к;
3) х =± + 2 к;
4) х = к;
5) х = (–1) + к;
6) х = (–1) + 2 к;
7) х = + к;
8) х = + к; к Z.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin | 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sin – sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t | . Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

. Таким образом . не удовлетворяет условию | t | .

Значит sin x = . Поэтому .

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t = . Откуда

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0 , где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

sin x – cos x = 0 . Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0 . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c – некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + , x =

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + k,

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с , где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:

Учитывая, что и , получим:

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол такой, что

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что . Тогда получим

0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим

Ответ: – arcsin 0,8 + +

8 способ. Уравнения вида Р

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:

t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, = .

sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида , запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.

1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

Условию удовлетворяют только решения

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Источник

Конспект урока математики в 10 классе «Различные способы решения тригонометрических уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Систематизация знаний учащихся по теме «Методы решений тригонометрических уравнений», формирование умений классифицировать тригонометрические уравнения по методам решения и применять эти методы в новой ситуации.

Скачать:

Вложение	Размер
http://nsportal.ru/sites/default/files/razlichnye_sposoby_resheniya_trigonometricheskih_uravneniy.docx	414.08 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Бутурлиновская средняя общеобразовательная школа

Бутурлиновского муниципального района Воронежской области

Конспект урока по математике

«Различные способы решения тригонометрических уравнений».

Коротких Эмма Александровна

— систематизация знаний учащихся по теме «Методы решения тригонометрических уравнений»;

-углубление знаний по теме;

— формирование умения классифицировать тригонометрические уравнения по методам решений, применять эти методы в новой ситуации.

– способствовать развитию аналитико-синтетического мышления, внимания;

— содействовать развитию логического, математического мышления учащихся.

— развивать у учащихся коммуникативные способности, элементы ораторского искусства;

— способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

Оборудование: экран, проектор, карточки для самостоятельной работы, карточки с проверочной работой «Карусель», интерактивная доска, система опроса и тестирования PrometheanActivExpression, таблицы: «Тригонометрический круг», «Тригонометрия», «Тригонометрические уравнения», индивидуальный справочный материал,индивидуальные оценочные листы; Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1.Учебник (задачник) для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень), — М.: Мнемозина, 2012.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Методы обучения: метод постановки проблемы и метод поиска решений.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Педагогические приемы урока: эпиграф, наблюдение, обобщение, общественный смотр знаний, самостоятельная и проверочная работы.

1. Организационный момент (1 мин).
2. Систематизация теоретического материала.

1.Самостоятельная работа: блиц-опрос — контроль знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям (система опроса и тестирования Promethean ActivExpression,системное голосование) (8 мин).

2.Повторение: методы решения тригонометрических уравнений (13 мин).

1. Проверочная работа (20 мин).
2. Итог урока. Рефлексия (2 мин).
3. Домашнее задание (1 мин).

1. Организационный момент урока.

— Сегодня на уроке мы будем учитьсяприменять различные методыв решении тригонометрических уравнений, которые занимают важное место в математическом анализе. Математика способствует развитию умений анализировать, сопоставлять, творчески мыслить. Правильное решение по-своему красиво, а поиск решения всегда интересен. Эпиграфом нашего урока будут словаМ. И. Калинина:

«Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе».

II. Систематизация теоретического материала

— Посмотрите на уравнения (слайд). Каким способом их можно решить? (постановка проблемы).

Пример 2 cos(x/5)=1

Пример 5. Решите уравнение

Пример7. 2sin 2 (x)+3cos(x)=0

Учащиеся дают разные ответы.

— Сравните и сопоставьте эти уравнения. Разбейте их на группы. Какими способами можно решить каждую получившуюся группу уравнений?

— Решение простейших уравнений: примеры 1,2

— Метод разложения на множители:примеры 3, 4.

— Метод замены переменных: примеры 5 ,6.

— Решение уравнений с помощью применения тригонометрических формул:примеры 7, 8

Верно. Все тригонометрические уравнения, как правило, сводятся к простейшим уравнениям, которые мы научились решать с помощью общих формул простейших тригонометрических уравнений, их частных случаев, а также с помощью тригонометрических формул. Обратите внимание на таблицы и справочный материал:

Справочный материал (на рабочем столе учащихся).

Источник

Конспект урока по математике «Методы решения тригонометрических уравнений»

Урок математики в 10 классе.

(Автор – учитель математики МБОУ «СОШ №1 р.п.Самойловка»

Локтионова Валентина Николаевна)

Тема урока: методы решения тригонометрических уравнений.

-систематизировать, обобщить, расширить знания, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений,

-способствовать развитию познавательного интереса учащихся, логического мышления, умений анализировать, выявлять закономерности, сопоставлять и обобщать полученные знания;

Побуждать обучающихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Тип урока: систематизация и обобщение знаний

Оборудование: мультимедийный проектор, ноутбук, раздаточный

дидактический материал для учащихся.

Личностные : умение точно и грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи, быть активным при решении математических задач, выражать положительное отношение к процессу познания; адекватно оценивать свою учебную деятельность.

Регулятивные: контроль, коррекция, выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения; умение самостоятельно планировать и осуществлять свою работу;

Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли; планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками; контролировать результат своей деятельности

Познавательные: умение работать с математическим текстом, грамотно применять математическую символику, логическое обосновывать математические утверждения, выстраивать логическую цепь рассуждений.

Проверить готовность учащихся и кабинета к работе, создать положительный настрой учащихся к работе.

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это,- что следуя этому методу, мы достигнем цели. Лейбниц.

Как вы понимаете эти слова великого математика?

Учитель. Я хочу, чтобы наш урок расширил ваши знания, принес много полезной информации и был для каждого из вас интересен.

Вместе с вами мы подымимся еще на одну ступеньку по пути изучения темы «Уравнения. Методы решения». Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные методы необходимо держать в зоне своего внимания, чтобы решать задачи наиболее подходящим методом.

Обучающиеся записывают тему урока в тетрадях

Целеполагание. Давайте поставим цели нашего урока.

Проверка домашнего задания . Обучающимся на дом было дано одно уравнение, которое они должны решить различными способами. Цель этого задания- показать применение различных методов решения тригонометрических уравнений.

Уравнение sinx + cosx =1 можно решить, по крайне мере, шестью способами. Обучающиеся у доски защищают свои решения.

Сведение к однородному уравнению. Выразим sinx и cosx через фунции половинного аргумента.

sinx + cosx =1

Преобразование суммы в произведение. Выразим cosx через

Получим:

Способ № 3. Введение вспомогательного угла .Разделим обе части уравнения на квадратный корень из двух.

Замена sinx и cosx через тангенс половинного аргумента.

Обращение к тангенсу половинного аргумента предполагает, что косинус отличен от нуля, т. е.

Способ №5 .Замена cosx на

sinx =0,

1-sin 2 x=(1-sinx) 2

(1-sinx)(1+sinx)-(1-sinx) 2 =0,

Sinx=1 или sinx=0,

Из серии

Способ № 6.

Задание классу для закрепления.

Дан ряд уравнений. Определить метод решения каждого.

1. cos 2 x + sinx cosx =1(разложение на множители),

2. sinx – cosx — 4 cos 2 x sinx =4 sin 2 x (однородное уравнение),

3. cos 3 x -2 cos 2 x + cosx =0(использование формул сложения),

4. cosx cos 3 x = cos 5 x cos 7 x (использование формул разложения произведения в сумму)

5. sin 2 5 x = cos 2 2 x -2 sin 2 2 x -1(формулы понижения степени),

6. sinx + cosx =2,5+5 sinx cosx (смешанного типа).

Предлагается обучающимся решить уравнение №4 несколькими способами.

Сильные обучающиеся решают уравнение №5.

— сформулируйте определение арксинуса числа, арккосинуса числа, арктангенса числа, арккотангенса числа,

— для каких чисел определен арксинус, арккосинус,

— формулы корней уравнения sinx =а, cosx =а,

— частные случаи решения уравнений sinx =а, cosx =а,

— при каких значениях а уравнения sinx =а, cosx =а имеют решения.

Устная работа (задания на карточках)-решают в группах .

Источник