Конспект по теме способы решения уравнений

Общие методы решения уравнений
план-конспект по алгебре

Общие методы решения уравнений

Скачать:

Вложение	Размер
obshchie_metody_resheniya_uravneniy.docx	207.49 КБ
26._obshchie_metody_resheniya_uravneniy.ppt	833.5 КБ

Предварительный просмотр:

Тема урока «Общие методы решения уравнений»

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, что, следуя нашему методу, мы достигли цели»

Методы решения уравнений – это способы, приемы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение.

Общие методы решения уравнений – это такие способы, приемы, с помощью которых можно решить уравнения разного типа.

Рассмотрим первый метод: метод замены уравнения h(f(х))= h(g(х)) уравнением f(х)=g(х).

Этот способ основан на монотонности функции h(х):

если функция h(х) монотонная, то она принимает каждое свое значение только один раз. Тогда от уравнения h(f(х))= h(g(х)) можно перейти к простому f(х)=g(х).

Запомни: если функция h(х) немонотонная, то такой метод применять нельзя, т.к. возможна

Решить уравнение (3х – 7) 5 = (2х+3) 5 .

Так как функция h(х)=х 5 монотонная(возрастающая), то данное уравнение равносильно уравнению

Выполнили равносильные преобразования, проверку делать не нужно.

Решить уравнение (8- 2х) 2 =(х 2 +5) 2 .

Так как функция h(х)=х 2 немонотонная, то применять этот метод нельзя.

Решить уравнение log 3 (х+1)+ log 3 (х+3)=1.

ОДЗ задается системой неравенств: х+1>0,

Воспользуемся свойством логарифма и

1= log 3 3, получим уравнение

log 3 (х+1) (х+3)= log 3 3.

Так как функция h(х)= log 3 х монотонная (возрастающая), то данное уравнение равносильно уравнению (х+1) (х+3)=3

Решая квадратное уравнение х 2 +4х=0, получим корни х 1 =0,х 2 =-4.

Сделаем вывод: рассмотренный метод применяется в случае монотонных функций h(х), например при решении:

при переходе к уравнению f(х)=g(х);

при переходе к уравнению f(х)=g(х);

при переходе к уравнению f(х)=g(х)

Рассмотрим второй метод — метод разложения на множители .

Он заключается в том, что уравнение

f(x)g(x)h(x)=0 заменяют совокупностью уравнений f(x)=0, g(x)=0, h(x)=0. Решив эти уравнения, вычислив корни, обязательно их нужно проверить.

Решить уравнение sinх + sin2х+ sin3х=0

ОДЗ уравнения множество всех действительных чисел.

(sinх + sin3х) + sin2х=0, или

2 sin2хcosх+ sin2х=0, или

Тогда данное уравнение сводится к совокупности уравнений:

1 ) sin2х=0, 2х= πn(где n Z) и х= ,(где n Z);

2) 2cosх +1=0,х=±arccos ,(где k Z)

Ответ: х= ,(где n Z); х=±arccos ,

Метод введения новой переменной.

Суть его заключается в следующем:

если уравнение f(x)=0 имеет вид ( или может быть приведено к виду)p( g(х)), то вводят новую переменную

u= g(х), получают уравнение p( u)=0, решают его и находят корни (u 1 , u 2 ,… n). Возвращаются к старой переменной и получают совокупность уравнений

Решая эту совокупность, находят корни данного уравнения.

Решить уравнение 4 х -10·2 х-1 =24.

Заменим 4 х =2 2х , 10·2 -1 = 5, получим:

Заменим 2 х =t, t >0 , получим t 2 — 5t- 24=0.

Корень t 1 =-3 является посторонним, т.к. не удовлетворяет условию, t >0

Возвращаемся к замене 2 х =t, получим 2 х =8, х=3.

Решить уравнение log 2 5 х- log √5 х-3=0.

Перейдем во втором слагаемом к основанию 5 и сделаем замену переменной t= log 5 х, тогда

Теперь данное уравнение перепишется в виде

Решая уравнения замены log 5 х=3 и log 5 х= -1,

Находим х=5 3 =125 и х=5 -1 =0,2

Функционально-графический метод решения уравнения f(х)=g(х).

Суть этого метода такова: строят графики функций у= f(х) и у = g(х). Затем находят точки пересечения этих графиков, определяют их абсциссы. Они и являются корнями данного уравнения. Этот метод позволяет определить число корней, их приближенные, а иногда и точные значения.

Решить уравнение 2cosπх= 2х-1

Построим в одной системе координат графики функций у=2cosπх и у=2х-1.

Точка пересечения графиков (0,5;0)

Значит, уравнение имеет один корень х=0,5.

Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения.

В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x), как

• монотонность,
• ограниченность,
• четность,
• периодичность
• если одна из функций возрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного корня, который, в принципе, можно найти подбором.
• если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) – снизу так, что f(x) мах =А g(x) мin =A, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений

Данное уравнение рационально решать функциональным методом. Рассмотрим функцию f(x)= cos В силу ограниченности функции косинуса. Наибольшее значение функции f(x) равно А=1 Очевидно, функция g(x)= x 2 + 1наименьшее значение равно А=1.

Поэтому данное уравнение равносильно системе

Очевидно, что корень второго уравнения равен х=0.

проверка х=0 удовлетворяет и первому уравнению. Следовательно, система уравнений ( а также исходное уравнение) имеет единственный корень х=0.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, что, следуя нашему методу, мы достигли цели». Готфрид Лейбниц 01.07.1646 – 14.11.1716 гг.

Методы решения уравнений – это способы, приёмы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение.

Общие методы решения уравнений – это такие способы, приёмы, с помощью которых можно решить уравнения разного типа.

Общие методы решения уравнений Функционально-графический метод Метод разложения на множители Метод введения новой переменной

Метод замены уравнения h ( f (х)) = h ( g (х)) уравнением f (х) = g (х) Если функция h (х) монотонная , то она принимает каждое своё значение только один раз .

Пример 1. Решить уравнение (3х – 7) 5 = (2х + 3) 5 . Решение. 3х – 7 = 2х + 3 ; 3х – 2х = 3 + 7 ; х = 10 ; Ответ: 10 .

Пример 2 . Решить уравнение (8 – 2х) 2 = (х 2 + 5) 2 . Решение. Так как функция h (х) = х 2 немонотонная , то применять этот метод нельзя .

Пример 3 . Решить уравнение log 3 (х + 1) + log 3 (х +3) = 1 . Решение. ОДЗ : х + 1 > 0 х + 3 > 0 ⇒ х > – 1 ; log 3 (х + 1)(х + 3) = log 3 3 ; (х + 1)(х + 3) = 3 ; х 2 + 4х = 0 ; х 1 = 0, х 2 = – 4 ; Ответ: 0 .

— показательного уравнения; — логарифмического уравнения; — иррационального уравнения;

Метод разложения на множители f(x) g(x) h(x) = 0 заменяют совокупностью уравнений f(x) = 0 , g(x) = 0 , h(x) = 0 .

Пример 4. Решить уравнение sin х + sin 2х+ sin 3х = 0 . Решение. ( sin х + sin 3х) + sin 2х = 0 ; 2 sin 2х cos х + sin 2х = 0 ; sin 2х (2 cos х + 1) = 0 ;

Метод введения новой переменной

Пример 5 . Решить уравнение 4 х – 10 · 2 х-1 = 24 . Решение. 2 2х – 5 · 2 х – 24 = 0 ; 2 х = t , t > 0 ; t 2 – 5 t – 24 = 0 ;

Решение. t = log 5 х ; t 2 – 2 t – 3 = 0 ; Ответ: 125 ; 0,2 .

Функционально-графический метод решения уравнения f (х) = g (х) C троят графики функций у = f (х) и у = g (х) . Затем находят точки пересечения этих графиков, определяют их абсциссы.

Пример 7 . Решить уравнение 2 cos π х = 2х – 1 . Решение. Ответ: х = 0,5 . 1 2 3 4 – 1 – 2 – 3 2 4 – 2 – 4 у = 2 cos π х у = 2х – 1

Монотонность ; ограниченность ; чётность ; периодичность ; если одна из функций возрастает, а другая убывает на определённом промежутке, то уравнение f ( x ) = g ( x ) не может иметь более одного корня который, в принципе, можно найти подбором ; если функция f ( x ) ограничена сверху, а функция g ( x ) – снизу так, что f ( x ) мах = А g ( x ) м in = A , то уравнение f ( x ) = g ( x ) равносильно системе уравнений: f(x) = A g(x) = A .

Решение. Ответ: 0.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Общие методы решения уравнений

В школьном курсе математики решаются различные уравнения: линейные, иррациональные, логарифмические, показательные, тригонометрические и другие.

Разработка урока по теме «Общие методы решения уравнений» 11 класс

Обобщение и систематизация знаний о методах решения уравнений.

Урок-практикум по теме «Общие методы решения уравнений» п.56, «Алгебра и начала анализа 10-11 классы», авт.А.Г. Мордкович и презентации по данной теме.

Цели: Систематизировать, обобщить знания и умения учащихся по применению различных методов решения уравнений.Развивать умение наблюдать, обобщать, классифицировать, анализировать математич.

методическая разработка урока «Общие методы решения уравнений»

Способы решения уравнений, которые предлагаются учащимся в школьных учебниках, усваиваются достаточно хорошо. Поэтому при повторении решили пользоваться различными пособиями по элементарной математике.

Разработка урока по теме: «Общие методы решения уравнений»

Разработка содержит:-конспект урока;-презентацию к уроку;-работы учащихся.

Развёрнутый конспект урока в логике ФГОС в 11 классе по теме: «Общие методы решения уравнения».

Развёрнутый конспект урока в логике ФГОС в 11 классе по теме: «Общие методы решения уравнения».Тип урока: урок отработки умений и рефлексии.УМК: ,Алгебра и начала математического анализа. 10 -11 класс.

Общие методы решения уравнений 11 класс

Презентация для проведения обобщающего урока по теме «Общие методы решения уравнений».

Источник

методическая разработка урока «Общие методы решения уравнений»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Способы решения уравнений, которые предлагаются учащимся в школьных учебниках, усваиваются достаточно хорошо. Поэтому при повторении решили пользоваться различными пособиями по элементарной математике.

Скачать:

Вложение	Размер
metodicheskaya_razrabotka_uroka_obshchie_metody_resheniya_uravneniy.docx	48.56 КБ

Предварительный просмотр:

Тема: «Общие методы решения уравнений».

Вид урока : обобщение и систематизация знаний.

Тип урока : комбинированный, концентрированное повторение с выходом на обобщение и систематизацию знаний.

Форма проведения : семинар, работа в группах, индивидуальная.

Педагогические технологии: Обучение в сотрудничестве, метод проектов, компьютерная технология, личностно-ориентированный подход в обучении, интернет — технологии.

• Повторить и расширить сведения об уравнениях и способах их решения;
• Формировать умения выполнять обобщения и конкретизацию, правильно отбирать способы решения уравнений;
• Развивать качества мышления, гибкость, целенаправленность, рациональность, воспитание чувства ответственности за коллектив в процессе творческой работы.
• учить осуществлять исследовательскую деятельность;
• продолжить формирование психологической готовности учащихся к применению имеющихся знаний в заданиях ЕГЭ, повышение конкурентоспособности, уверенности в себе.

• Продолжить работу по формированию умения решать уравнения.
• Подготовить к ЕГЭ (задания типа В3).

Осуществлять контроль своих знаний с помощью компьютерных тестов .

• Развивать и совершенствовать культуру математического труда, математическую речь.

• Воспитывать умение объективно оценивать свои знания (оценивать чужой ответ).

Формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей решения,

Воспитывать взаимопомощь, умение слушать товарища; ответственность.

ПК учителя, мультимедийный проектор, персональные компьютеры учащихся,

MyTest – компьютерное тестирование, презентация, содержащая материал для повторения и закрепления теоретических знаний, для отработки навыков практического применения теории к решению упражнений, создания проблемной ситуации, для самоконтроля.

Формы организации познавательной деятельности:

• по источнику приобретенных знаний:

• словесный
• практический
• наглядный

• по уровню познавательной активности:

• проблемный
• поисковый

Планируемый конечный результат:

Учащиеся знают алгоритмы методов решения уравнений (замена уравнения h(f(x))=h(g(x)) уравнением f(x)=g(x),метод разложения на множители, метод введения новой переменной, функционально-графический метод).

При решении уравнений аргументировано выбирают наиболее удобный способ решения.

Перечень критериев проверки достижения планируемых результатов:

Знание теоретического материала (умение устно ответить на поставленные вопросы)

Умение решать уравнения различными способами.

1 шаг – определение темы «Общие методы решения уравнений».

2 шаг – разбивка темы на более мелкие подтемы.

3 шаг – формирование инициативных групп.

4 шаг – сбор информации (использование материалов учебника, справочников, Интернета).

5 шаг – переработка информации и обсуждение.

6 шаг – систематизация и подготовка презентации, формулирование общих выводов по теме.

7 шаг – выступление учащихся на итоговом уроке.

Творческое задание. Решить уравнение различными способами. Оценить достоинства и недостатки каждого способа. Оформить запись выводов в виде таблицы.

В течение выполнения творческого задания провести по (необходимости) консультации для учащихся, у которых возникают вопросы по заданию.

1. Организационный момент;
2. Актуализация опорных знаний;
3. Проверка домашнего задания;
4. Работа в творческих разноуровневых группах;
5. Защита каждой группой своего способа решения уравнений;
6. Проверка знаний и умений (самоконтроль). Самостоятельная работа за ПК.
7. Итог урока;
8. Домашнее задание.

Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому, что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно. Эйнштейн А.

Девиз урока: Посредством уравнений, теорем

Он уйму разрешал проблем.

И засуху предсказывал, и ливни

Поистине его познанья дивны.

1. Актуализация опорных знаний. Сегодня на уроке мы с вами повторим основные методы решения уравнений, выполним самостоятельную работу за ПК, работу в группах.

С учетом подготовки учащихся возникла необходимость повторения теоретического материала. Фронтальный опрос проводился по следующим вопросам:

– какие уравнения называются равносильными?

– что можно сказать о корнях равносильных уравнений?

– что называют областью допустимых значений уравнения f ( x ) = g ( x )?

– какие способы решения уравнений вы знаете?

(Должны прозвучать ответы:

1) два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

2) корни равносильных уравнений совпадают.

3) областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения f ( x ) = g ( x ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f ( x ) и g ( x ).

4) графический метод и аналитический: вынесение общего множителя за скобки, введение новой переменной, сведение к простейшему путем тождественных преобразований.

Учитель: “Когда возникает необходимость в проверке полученных корней уравнения?”

(Должен прозвучать ответ : если при решении уравнения, мы на каком-то шаге выполняем преобразования без учета ОДЗ (вводим новую переменную, возводим в квадрат или четную степень, освобождаемся от знаменателя (умножаем на общий знаменатель), сокращаем на общий множитель.)

1. Проверка домашнего задания.

Учащиеся получили творческую работу: подобрать из разных источников такие уравнения, которые выходили бы за рамки традиционных уравнений, предлагаемых в школьных учебниках.

Учащиеся должны были выполнить задания.

Задание №1.Провести классификацию уравнений по виду.

Задание №2. Решить уравнение разными методами.

4. Работа в творческих разноуровневых группах.

Класс разбивается на четыре группы.

После того как каждой группе дано задание, идет обсуждение и поиск решения уравнения. Группа решает: кто представляет решение у доски для всего класса.

5. Представление и защита своего задания каждой группой.

Представили уравнение . Решили методом разложения на множители.

Рассуждали так: Если раскрыть скобки получится уравнение 4-ой степени. Нужно найти делители свободного члена, разложить на множители левую часть и найти 4 корня уравнения, но это не рационально.

Предложили решить это уравнение способом замены переменной.

Решим его как квадратное относительно t. Получим t =4x или t = x. Исходное уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

Представили показательное уравнение, сводящееся к однородному.

Перепишем уравнение в виде

Получилось уравнение однородное относительно . Разделим обе части уравнения на

Пусть , причем y>0. Получим , откуда

Вернемся к исходной переменной и решим уравнения

Представили уравнение: Это уравнение можно решить вполне стандартным способом. Но мы применили свойство монотонности функции. В левой части уравнения – возрастающая функция, в правой части — убывающая функция. Следовательно, данное уравнение не может иметь более одного корня. Число 5- корень уравнения, что проверяется подстановкой. Представили графический способ.

Вот эти задания взяты из вариантов ЕГЭ прошлых лет. На одном из слайдов учащимся предлагаются адреса сайтов Интернет ( www.fipi.ru , www.mathege.ru , www.ege.edu.ru , www.mioo.ru ), где можно найти информацию по самоподготовке к ЕГЭ, в ВУЗ и принять участие в on-line тестировании. Участвуя в работе областной секции «Совершенствование математического образования личности в современных условиях», Иван Валерьевич Ященко — один из авторов новой модели ЕГЭ по математике, сказал, что реальные задания ЕГЭ будут из открытого банка по математике ЕГЭ-2010, размещенный на сайте www.mathege.ru .

6. Проверка знаний и умений (самоконтроль). Самостоятельная работа за ПК.

Самый важный этап – этап самостоятельной работы. Учащиеся работают за компьютером с интерактивными обучающими и контролирующими программами, которые дают возможность выбора задания, метода решения, анализа ошибок, обращения к справочному теоретическому материалу, демонстрации верного хода решения.

На этапе контроля знаний и умений учащимся предлагается выполнить компьютерный тест по программе MyТest, который по форме и содержанию аналогичен ЕГЭ по алгебре и началам анализа. В тесте предусмотрено сообщение об общем количестве заданий и верно выполненных заданий, зачетном минимуме, выраженном в процентах. (База данных теста постоянно пополняется и обновляется. Она будет содержать тренировочные задания по всем темам курса алгебры и начал анализа)

Часть класса работают за компьютерами, другая выполняют задания, представленные на слайдах. Ключ теста:

Источник