В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом $ \mathbb $.
Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: $ z = a + ib $, в котором мнимая единица $ i = \sqrt <-1>$, числа $ a,b \in \mathbb $ вещественные.
Если положить $ b = 0 $, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества $ \mathbb \subset \mathbb $. К слову говоря также возможно, что $ a = 0 $.
Принято записывать мнимую часть комплексного числа как $ Im(z) = b $, а действительную $ Re(z) = a $.
Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу $ z = a+ib $ существует такое, что $ \overline = a-ib $, которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.
Формы
Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:
Алгебраическая $ z = a+ib $
Показательная $ z = |z|e^ $
Тригонометрическая $ z = |z|\cdot(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)) $
Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.
Изображение
Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:
Видим, что $ a,b \in \mathbb $ расположены на соответствующих осях плоскости.
Комплексное число $ z = a+ib $ представляется в виде вектора $ \overline $.
Аргумент обозначается $ \varphi $.
Модуль $ |z| $ равняется длине вектора $ \overline $ и находится по формуле $ |z| = \sqrt $
Аргумент комплексного числа $ \varphi $ нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.
Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:
$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$
Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:
Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:
Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:
В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.
Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант $$ D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4\cdot 1 \cdot 2 = 4-8 = -4 $$
Источник
Введение в комлексные числа
Выяснив, что многие знакомые программисты не помнят комплексные числа или помнят их очень плохо, я решил сделать небольшую шпаргалку по формулам.
А школьники могут что-то новое узнать 😉 // Всех кого заинтересовал прошу под кат.
Итак, комплексные числа эта такие числа, которые можно записать как
Где x, y вещественные числа(т.е привычные всем числа), а i — число, для которого выполняется равенство
Кстати, -i в квадрате тоже дает -1. Так что утверждение, что если дискрименант отрицательный, то корней нет это вранье. А точнее оно выполняется на множестве вещественных чисел.
Т.е можем записать:
x называется действительной частью, y — мнимой.
Это алгебраическая форма записи комплексного числа.
Существует также тригонометрическая форма записи комплексного числа z:
С введением, пожалуй, все.
Переходим к самому интересному — операциям над комплексными числами! Для начала рассмотрим сложение.
У нас есть два таких комплексных числа:
Как же их сложить? Очень просто: сложить действительную и мнимую части. Получим число:
Все просто, не так ли? Вычитание выполняется аналогично сложению. Нужно просто вычесть из действительной части 1 числа действительную часть 2 числа, а потом проделать тоже с мнимой частью. Получим число
Умножение выполняется вот так:
Напомню, x это действительная часть, y — мнимая. Деление выполняется вот так:
Кстати, поддержка комплексных чисел есть в стандартной библиотеке Python:
Вместо i используется j. Кстати, это потому что Python принял конвенцию инженеров-электриков, у которых буква i обозначает электрический ток. Задавайте свой вопросы, если они есть, в комментариях. Надеюсь, вы узнали для себя что-то новое.
UPD: В комментариях просили рассказать о практическом применении. Так вот комплексные числа нашли широкое практическое применение в авиации (подъемная сила крыла) и в электричестве. Как видете, очень нужная вещь 😉
Источник
Комплексные числа
Известно, что квадратное уравнение с вещественными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет вещественных корней. В частности, уравнение $$ z^2+1=0\nonumber $$ не имеет корней на множестве \(\mathbb\). Возникает потребность расширить множество \(\mathbb\) так, чтобы на более широком множестве было разрешимо квадратное уравнение с любыми вещественными коэффициентами.
Определение комплексного числа.
Комплексными числами называют пары \((x,y)\) вещественных (действительных) чисел \(x\) и \(y\), для которых следующим образом определены понятие равенства и операции сложения и умножения. Обозначим комплексное число \((x,y)\) буквой \(z\), то есть положим \(z=(x,y)\). Пусть \(z_1=(x_1,y_1)\), \(z_2=(x_2,y_2)\). Два комплексных числа \(z_1\) и \(z_2\) считаются равными тогда и только тогда, когда \(x_1=x_2\) и \(y_1=y_2\), то есть $$ \<(x_1,y_1) = (x_2,y_2)\>\Leftrightarrow \\ \wedge\ \.\nonumber $$
Сумма и произведение комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) обозначаются соответственно \(z_1+z_2\) и \(z_1z_2\) и определяются формулами $$ z_1+z_2=(x_1+x_2,y_1+y_2),\label $$ $$ z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1).\label $$
Из формул \eqref и \eqref следуют соотношения $$ (x_1,0) + (x_2,0) = (x_1+x_2,0),\qquad (x_1,0)(x_2,0) = (x_1x_2,0),\nonumber $$ которые показывают, что операции над комплексными числами вида \((x, 0)\) совпадают с операциями над действительными числами. Поэтому комплексное число вида \((x, 0)\) отождествляют с действительным числом \(x\), то есть полагают \((x,0) = x\).
Среди комплексных чисел особую роль играет число \((0,1)\), которое называют мнимой единицей и обозначают \(i\), то есть $$ i = (0,1).\nonumber $$ Вычислив произведение \(i\) на \(i\) по формуле \eqref, получим $$ i\cdot i = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1,\nonumber $$ то есть \(i^2 = -1\). Используя формулы \eqref, \eqref, находим $$ i\cdot y = (0,1)(y,0) = (0,y),\qquad (x,y) = (x, 0) + (0,y) = x + iy.\nonumber $$
Следовательно, любое комплексное число \(z= (x,y)\) можно записать в виде \(x + iy\), то есть $$ z = x + iy.\label $$
Запись комплексного числа \(z = (x,y)\) в виде \eqref называют алгебраической формой комплексного числа.
В записи \eqref число \(x\) называют действительной частью комплексного числа и обозначают \(Re\ z\), а число \(y\) — мнимой частью и обозначают \(Im\ z\), то есть $$ Re\ z = x,\quad Im\ z = y. \nonumber $$
Если \(x= 0\), то есть \(z = iy\), то такое комплексное число называют чисто мнимым.
Здесь и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, в записи \(x+iy\) числа \(x\) и \(y\) считаются действительными (вещественными).
Число \(\displaystyle\sqrt\) обозначают \(|z|\) и называют модулем комплексного числа \(z\), то есть $$ |z|=|x + iy|=\sqrt.\label $$ Заметим, что \(|z|\geq 0\) и \(\<|z| = 0\>\Leftrightarrow \\).
Комплексное число \(x-iy\) называют сопряженным комплексному числу \(z = x + iy\) и обозначают \(\overline\) то есть $$ \overline = \overline= x-iy.\label $$ Из равенств \eqref и \eqref следует, что $$ |z| = |\overline|,\qquad z\overline=|z|^2,\label $$ так как \(z\overline=(x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2\).
Свойства операций.
Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:
коммутативности, то есть $$ z_1+z_2=z_2+z_1,\qquad z_1z_2=z_2z_1;\nonumber $$
ассоциативности, то есть $$ (z_1+z_2)+z_3= z_1 + (z_2+z_3),\qquad (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3);\nonumber $$
дистрибутивности, то есть $$ z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2+z_1z_3.\nonumber $$
Эти свойства вытекают из определения операций сложения и умножения комплексных чисел и свойств операций для вещественных чисел.
Из этих свойств следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами, заменяя \(i\) на \(-1\). Например, равенство \eqref можно получить так: $$ z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=\\=x_1 x_2+i x_1 y_2+ix_2 y_1+i^2 y_1 y_2=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1 y_2+x_2 y_1).\nonumber $$ Множество комплексных чисел обозначают буквой \(\mathbb\). Числа \(0= 0 + 0\cdot i\) и \(1 = 1 + 0\cdot i\) на множестве \(\mathbb\) обладают такими же свойствами, какие они имеют на множестве \(\mathbb\), а именно: для любого \(z \in \mathbb\) справедливы равенства $$ z+ 0 = z,\qquad z\cdot 1 = z.\nonumber $$ На множестве \(\mathbb\) вычитание вводится как операция, обратная сложению. Для любых комплексных чисел \(z_1=_1+iy_1\) и \(z_2 = x_2 + iy_2\) существует, и притом только одно, число \(z\) такое, что $$ z+z_2=z_1.\label $$ Это число называют разностью чисел \(z_1\) и \(z_2\) и обозначают \(z_1-z_2\). В частности, разность \(0 -z\) обозначают \(-z\).
Из уравнения \eqref в силу правила равенства и определения суммы комплексных чисел следует, что $$ z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2).\nonumber $$
Деление на множестве \(\mathbb\) вводится как операция, обратная умножению, а частным от деления комплексного числа \(z_1=_1+iy_1\) на число \(z_2 = x_2 + iy_2\) называют такое число \(z\), которое удовлетворяет уравнению $$ zz_2=z_1\label $$ и обозначается \(z_1:z_2\) или \(\displaystyle \frac\).
Докажем, что уравнение \eqref для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\), где \(z_2\neq 0\), имеет единственный корень.
\(\circ\) Умножая обе части уравнения \eqref на \(\overline_2\), получим в силу равенства \eqref уравнение $$ z|z_2|^2 = z_1\overline_2,\label $$ которое равносильно уравнению \eqref, так как \(\overline_2\neq 0\).
Эту формулу можно не запоминать — важно знать, что она получается умножением числителя и знаменателя на число, сопряженное со знаменателем.
Найти частное \(\displaystyle \frac\), если \(z_1=5-2i,\ z_2=3 + 4i\).
Видим, что $ a,b \in \mathbb 
