Комплексные числа алгебраическим способом

Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексными числами называются выражения вида

где a и b− вещественные числа, i− некоторый символ, удовлетворяющий следующему равенству: i 2 =−1.

Комплексное число можно представить как упорядоченная пара вещественных чисел.

Определение 1. Комплексными числами называются упорядоченные пары вещественных чисел, для которых понятия равенства, суммы, произведения и отожествления некоторых пар с вещестенными числами подчиняются следующим правилам:

1. Пары (a,b) и (c,d) считаются равными тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты:

2. Суммой пар (a, b) и (c, d) называется пара (a+c, b+d), т.е.

(a,b)+(c,d)= (a+c, b+d).

3. Произведение пар (a, b) и (c, d) называется пара (ac−bd, ad+bc), т.е.

(a,b)(c,d)= (ac−bd, ad+bc).

4. Пара (a, 0) отождествляется с вещественным числом a, т.е. (a, 0)=a.

Правило 4 определения 1 представляет связь между вещественными и комплексными числами. Точнее указывает на то, что множество вещественных чисел является частью комплексных чисел.

Сопоставим правило 4 с 1. Пусть вещественные числа a и c равны, тогда по правилу 4 этим числам соответствуют комплексные числа (a, 0) и (c, 0). Поскольку a=c, имеем (a, 0)=(c, 0), т.е. выполнено правило 1.

Сопоставим правило 4 с 2. Сумма пар (a, 0) и (c, 0) согласно правилу 2 равна (a, 0)+(c, 0)=(a+c, 0), которая, согласно правилу 4 отождествляется с суммой вещественных чисел a и c.

Сопоставим правило 4 с 3. Согласно правилу 3 произведение пар (a, 0) и (c, 0) равно (a, 0)(c, 0)=(ac−0·0, a0+0c)=(ac, 0), которая, согласно правилу 4 отождествляется с произведением вещественных чисел a и c.

Из правил 3 и 4 вытекает следующая формула

m(a, b)=(ma, mb),

Проверим теперь, что привычные свойства вещественных чисел сохраняются при переходе к комплексным числам, т.е. комплексные числа образуют поле.

1.(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b). (коммутативность сложения). Действительно, левая часть равна (a+с,b+d), правая часть равна (с+a,d+b). Из коммутативности сложения вещественных чисел следует, что левая и правая части равны.

2. ((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a,b)+((c,d)+(e,f)) (ассоциативность сложения). Действительно, из ассоциативности сложения вещественных чисел следует, что левая и правая части равны (a+c+e, b+d+f).

3. (a,b)+(0, 0)=(a,b). Следовательно пара (0, 0) (отожествляемая с вещественным числом 0) соответствует нулю при сложении пар.

4. (a,b)+ (−a,−b)=(0, 0). Т.е. для кажддой пары (a,b) существует противоположная пара (−a,−b).

5. (a,b)(c,d)=(c,d)(a,b)(коммутативность множения). Действительно, левая часть равна (ac−bd, ad+bc), правая часть равна (ca−db, da+cb). Следовательно они равны.

Проверм свойство 6. Левая часть уравнения равна

Правая часть уравнения равна

Следовательно левая и правая части равны.

Из коммутативности умножения следует справедливость свойства 6′.

7. (ассоциативность умножения).

Левая часть равна

Правая часть равна

Левая и правая части равны. Следовательно свойство 7 выполняется.

8. .

Свойство 8 определяет пару (1, 0), которая отожествляется с вещественным числом 1.

Итак из свойств 1−8 следует, что комплексные числа составляют коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Введем понятие сопряженных комплексных чисел. Пары называются сопряженными , если отличаются знаком второй компоненты. Пары (a,b) и (a,−b) сопряженные пары (сопряженные комплексные числа).

Умножив сопряженные пары

получим, что их произедение равно неотрицательному числу a 2 +b 2 . Это число, равно нулю тогда и только тогда, когда a=0, b=0, т.е. тогда и только тогда, когда (a,b)=0.

является обратной парой (и обозначается через (a, b) −1 ), т.е. выполняется следующее равенство

Представим следующее свойство.

9. Для любой пары (a,b) отличной от нуля, существует обратная (a, b) −1 :

Итак, свойства 1−9 показывают что комплексные числа образуют поле.

Алгебраическая форма записи комплексного числа

Представим, теперь, комплексное число в алгебаической форме записи. Комплексное число (a,b) можно представить так:

Из правила 3 определения 1 следует:

Таким образом алгебраическая форма комплексного числа имеет вид:

.

Первая компонента комплексного числа называется вещественной частью комплексного числа α и обозначается Reα, а вторая компонента называется мнимой частью и обозначается Imα. Отметим, что как вещественная часть (a), так и мнимая часть (b) комплексного числа вещественные числа.

Говоря о комплексных числах надо помнить, что вещественные числа являются частным случаем комплексных, которые имеют нулевую вторую компоненту. К примеру a вещественное число, которое соответствует комплексному числу α=a+0i.

Вычитание и деление комплексных чисел

Вычитание и деление определяются как обратные к действиям сложения и умножения.

Утверждение 1. Пусть α и β − комплексные числа. Тогда существует одно и только одно комплексное число γ=(−α)+β так, что α+γ=β.

Доказательство. Возьмем комплексное число γ=(−α)+β и подставим в уравнение α+γ=β. Имеем α+γ=α+(−α)+β=β. Так что γ=(−α)+β удовлетворяет требованию утверждения.

Обратно. Пусть α+γ=β. Добавим в обе части уравнения число −α. Тогда

Таким образом всякое число, отличное от (−α)+β не удовлетворяет требованию утверждения.

Число (−α)+β является разностью чисел β и α и обозначается β−α.

Утверждение 2. Пусть α и β − комплексные числа и α≠0. Тогда существует одно и только одно комплексное число γ=α −1 β так, что αγ=β.

Доказательство. При γ=α −1 β, имеем

Еслиαγ=β, то умножив обе части этого уравнения на α −1 , получим:

Число =α −1 β является частным от деления β на α. Частное обычно записывается так: . Как известно значение дроби не меняется при умножении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число. Поэтому можно записать:

Вычислять частное от деления комплексных чисел удобно умножая числитель и знаменатель на комплексное сопряженное с знаменателем:

.

где вещественное число.

.

Для сложения вычитания умножения и деления комплексных чисел, пользуйтесь онлайн калькулятором комплексных чисел.

Геометрическое представление комплексных чисел

Комплексные числа представляются как точки на плоскости. Горизонтальная ось называется действительной осью и обозначается через R, а вертикальная ось − мнимой осью и обозначается через I. Плоскость, точки которой отожествлены с комплексными числами называется комплексной плоскостью . На рис.1 представлено комплексное число α=a+bi. Свяжем с этой точкой вектор исходящий из начала координат в точку, изображающую это комплексное число (назовем этот вектор радиус-вектором этой точки).

Число, противоположное числу α=a+bi будет точкой комплексной плоскости, симметричной с точкой α относительно начала координат (−α=−a−bi).

Сложение и вычитание комплексных чисел можно представить на комплексной плоскости в виде сложения и вычитания радиус векторов соответствующих точек. Сложение векторов α и β выполняется по правилу параллелограма (рис.2).

Вычитание векторов α и β эквивалентна сложению векторов α и −β, поэтому сначала строится противоположная к вектору β, далее слагаются векторы α и −β (рис.3).

Источник

Комплексные числа

В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом $ \mathbb $.

Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: $ z = a + ib $, в котором мнимая единица $ i = \sqrt <-1>$, числа $ a,b \in \mathbb $ вещественные.

Если положить $ b = 0 $, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества $ \mathbb \subset \mathbb $. К слову говоря также возможно, что $ a = 0 $.

Принято записывать мнимую часть комплексного числа как $ Im(z) = b $, а действительную $ Re(z) = a $.

Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу $ z = a+ib $ существует такое, что $ \overline = a-ib $, которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

1. Алгебраическая $ z = a+ib $
2. Показательная $ z = |z|e^ $
3. Тригонометрическая $ z = |z|\cdot(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)) $

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Видим, что $ a,b \in \mathbb $ расположены на соответствующих осях плоскости.

Комплексное число $ z = a+ib $ представляется в виде вектора $ \overline $.

Аргумент обозначается $ \varphi $.

Модуль $ |z| $ равняется длине вектора $ \overline $ и находится по формуле $ |z| = \sqrt $

Аргумент комплексного числа $ \varphi $ нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

$$ z_1 + z_2 = (3+i) + (5-2i) = (3+5)+(i-2i) = 8 — i $$

Аналогично выполним вычитание чисел:

$$ z_1 — z_2 = (3+i) — (5-2i) = (3-5)+(i+2i) = -2 + 3i $$

Ответ $$ z_1 + z_2 = 8 — i; z_1 — z_2 = -2 + 3i $$

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

$$ z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (5-2i) = $$

Просто на просто раскроем скобки и произведем приведение подобных слагаемых, так же учтем, что $ i^2 = -1 $:

$$ = 15 — 6i + 5i -2i^2 = 15 — i — 2\cdot(-1) = $$

$$ = 15 — i + 2 = 17 — i $$

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Пример 3

Ответ

$$ z_1 \cdot z_2 = 17 — i; \frac = \frac<13> <29>+ \frac<11><29>i $$

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

$$ z^2 = (3+3i)^2 = (3+3i)\cdot (3+3i) = $$

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

$$ =9 + 9i + 3i\cdot 3 + 9i^2 = 9 + 18i — 9 = 18i $$

Получили ответ, что $$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$

Записываем в тригонометрическом виде:

Возводим в степень $ n = 7 $:

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

$$ = 3^7 \sqrt<2>^6 (1-i) = 3^7 \cdot 8(1-i) = $$

$$ = 2187 \cdot 8 (1-i) = 17496(1-i) $$

$$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$ $$ z^7 = 17496(1-i) $$

Пример 4

Возвести комплексное число $ z = 3+3i $ в степень: a) $ n=2 $ б) $ n=7 $

Решение

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac<0> <-1>+\pi = arctg 0 + \pi = \pi $$

Получаем: $$ z = (\cos \pi + i\sin \pi) $$

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Так как степень $ n = 3 $, то по формуле $ k = 0,1,2 $:

Пример 5

Извлечь корень $ \sqrt[3] <-1>$ над множеством $ \mathbb $

Решение

Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант $$ D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4\cdot 1 \cdot 2 = 4-8 = -4 $$

Источник

Пример 6

Решить квадратное уравнение $ x^2 + 2x + 2 = 0 $ над $ \mathbb $

Решение