Компланарные векторы и условие компланарности
В данной статье мы рассмотрим такие темы, как:
- определение компланарных векторов;
- условия компланарности векторов;
- примеры задач на компланарность векторов.
Определение компланарных векторов
Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости.
Два любых вектора всегда компланарны, поскольку всегда можно найти плоскости параллельные 2-м произвольным векторам.
Условия компланарности векторов
- Для 3-х векторов выполняется условие: если смешанное произведение 3-х векторов равно нулю, то эти три вектора компланарны.
- Для 3-х векторов выполняется условие: если три вектора линейно зависимы, то они компланарны.
- Для n-векторов выполняется условие: если среди векторов не более 2-х линейно независимых векторов, то они компланарны.
Примеры решения задач на компланарность векторов
Исследуем на компланарность векторы
a ¯ = ( 1 ; 2 ; 3 ) , b = ( 1 ; 1 ; 1 ) и c ¯ = ( 1 ; 2 ; 1 )
Как решить?
Векторы будут являться компланарными, если их смешанное произведение равно нулю, поэтому вычисляем смешанное произведение заданных векторов. Для этого составляем определитель, по строкам которого записываются координаты векторов-сомножителей:
( a ¯ , b ¯ , c ¯ ) = 1 2 3 1 1 1 1 2 1 = = 1 × 1 × 1 + 1 × 2 × 3 + 2 × 1 × 1 — 1 × 1 × 3 — 2 × 1 × 1 — 1 × 2 × 1 = 2 ≠ 0
Отсюда следует, что смешанное произведение не равняется нулю, поэтому векторы не являются компланарными.
Ответ: векторы не являются компланарными.
Докажем, что три вектора
a ¯ = ( 1 ; — 1 ; 2 ) , b = ( 0 ; 1 ; — 1 ) и c ¯ = ( 2 ; — 2 ; 4 ) компланарны.
Как решить?
Находим смешанное произведение данных векторов:
( a ¯ , b ¯ , c ¯ ) = 1 — 1 2 0 1 — 1 2 — 2 4 = = 1 × 1 × 4 + 0 × ( — 2 ) × 2 + ( — 1 ) × ( — 1 ) × × 2 — 2 × 1 × 2 — ( — 2 ) × ( — 1 ) × 1 — 0 × ( — 1 )
Из данного примера видно, что смешанное произведение равняется нулю.
Ответ: векторы являются компланарными.
Проверим, компланарны ли векторы
Как решить?
Необходимо найти количество линейно независимых векторов: записываем значения векторов в матрицу и выполняем элементарные преобразования:
1 1 1 1 2 0 0 — 1 1 3 3 3
Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 4-ой вычитаем 1-ю, умноженную на 3:
1 1 1 1 — 1 2 — 1 0 — 1 0 — 1 1 3 — 3 3 — 3 3 — 3
1 1 1 0 1 — 1 0 — 1 1 0 0 0
К 3-ей строке прибавляем 2-ю:
1 1 1 0 1 — 1 0 + 0 — 1 + 1 1 + ( — 1 ) 3 — 3 3 — 3 3 — 3
1 1 1 0 1 — 1 0 0 0 0 0 0
Поскольку в матрице только две ненулевые строки, делаем вывод, что среди них всего два линейно независимых вектора.
Ответ: векторы являются компланарными, поскольку среди них всего два линейно независимых вектора.
Источник
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок №18. Компланарные векторы. Векторный метод решения задач
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— какие векторы называются компланарными и их изображение на чертежах
-определение компланарных векторов.
— признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда, сложение трех некомпланарных векторов.
— основы векторного метода решения задач.
Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11классов — М.: Просвещение, 2017. C. 77-85.
Ершова А.П., Голобородько В.В., Крижановский А.Ф. Тетрадь-конспект по геометрии для 10 класса. 2016. С.88-93.
Теоретический материал для самостоятельного изучения:
Давайте вспомним основные определения по теме «Векторы». В этом поможет следующее задание: установите соответствие между понятием и его определением.
Противоположно направлены и их длины равны.
Сонаправлены и их длины равны.
Лежат на одной или параллельных прямых
Появилось новое понятие о векторах в пространстве, которого не было на плоскости — компланарность векторов. С определения компланарных векторов и начинаются главные отличия векторов в планиметрии и стереометрии.
Определение2.Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Рассмотрим некоторые случаи:
1 случай. Любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них
можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести
единственную плоскость.
2 случай. Три вектора будут компланарными если среди них есть пара коллинеарных
векторов. Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему
можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко
изобразить равный в этой плоскости.
3 случай. Если хотя бы один из трёх векторов является нулевым, то эти три вектора компланарны
Из планиметрии: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Следующая теорема выражает признак компланарности трех векторов. Теорема (признак) Если вектор 
можно представить в виде 
= х 
+ у
, где х и у — некоторые числа, то векторы 
, 
и 
компланарны.
Для сложения трёх некомпланарных векторов можно пользоваться правилом параллелепипеда. Отложим от произвольной точки О векторы 
=
, 
=
, 
= 
и построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были рёбрами.
Тогда ОD — диагональ этого параллелепипеда равна сумме векторов
, 
и 
. Если вектор можно представить в виде суммы: 
= х 
+ у 
+ z
, то говорят, что вектор d разложен по векторам 
, 
и 
. Числа х, у, z называют коэффициентами разложения.
Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Часть 2. Векторный метод решения задач
Векторный метод решения задач – один из наиболее общих методов решения геометрических задач. Векторное решение стереометрических задач значительно проще их решения средствами элементарной геометрии.
Рассмотрим следующую задачу: Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.
Пусть ABCD — данная трапеция, M и N — середины оснований BC И AD, а O — точка пересечения прямых AB и CD.
Докажем, что точка О лежит на прямой МN.
Условие задачи переводится на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык.
Решением задач векторным методом занимались ученые: Уильман Гамильтон Иога́нн Берну́лли, Пьер Ферма, Рене Декарт, Леонард Эйлер.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:
Задача. В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 М —точка пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, точка K — середина ребра ВВ1. Докажите, что прямые А1В1, KМ и ВС1 параллельны некоторой плоскости.
Решение. Введем векторы: 
. Векторы 
некомпланарны.
Разложим векторы 
и 
по векторам
. Получим:
+
= 
.
Тогда векторы 
= 
+ 
компланарны. Следовательно, они параллельны некоторой плоскости, тогда этой плоскости параллельны и прямые А1В1, KМ и ВС1.
Источник
