«Методы решения комбинаторных задач». 5-й класс
Класс: 5
Презентация к уроку
Тип урока: изучение нового материала.
Цель урока: Знакомство с новым разделом математики – комбинаторика, изучение методов решения комбинаторных задач.
Образовательные:
- Изучить методы решения комбинаторных задач;
- Научить решать комбинаторные задачи c применением этих методов.
Воспитательные: Способствовать:
- формированию познавательного интереса к предмету.
- воспитанию чувства патриотизма; ответственности за качество и результат, выполняемой работы.
Способствовать:
- развитию речи, логического и творческого мышления;
Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал, презентация, жетончики.
План урока:
| № | Ход урока Действия учителя | Действия ученика |
| 1 | Организационный момент |
Учитель приветствует учащихся Приветствуют учителя 2 Актуализация знаний Устная работа (слайд 1 и 2). Презентация.
В ходе устной работы учащиеся вспоминают правила рационального счета, замечают закономерности и решают две несложные комбинаторные задачи.
Переход к следующему слайду – гиперссылка в нижнем правом углу. Работают устно Учитель (слайд 3):
В последних двух задачах нам пришлось перебрать все возможные варианты, как обычно говорят в этих случаях – все возможные КОМБИНАЦИИ.
Такие задачи называют комбинаторными, а раздел математики, в котором рассматриваются данные задачи, называется – комбинаторикой.
Переход к следующему слайду – гиперссылка. Слушают учителя Учитель предлагает решить задачу: (слайд 4)
Мистер Холмс обращается к миссис Хадсон: “Уважаемая миссис Хадсон к нам придут гости. В качестве вторых блюд приготовьте мясо, котлеты и рыбу. На сладкое – мороженое, фрукты и пирог. Гость выбирает одно второе блюдо и одно блюдо на десерт. Подсчитайте, сколько будет гостей, и поставьте необходимое количество стульев. Очень вас прошу, чтобы количество стульев соответствовало количеству приглашенных”. Помогите миссис Хадсон.
Эта задача сложнее, чем задачи, предложенные в начале урока и для того, чтобы помочь Миссис Хадсон, чему мы должны научиться? Читают задачу (Приложение3), выдвигают гипотезы. Учитель:
То есть изучить способы решения таких задач.
Как вы думаете, о чем пойдет речь на сегодняшнем уроке? Предполагаемый ответ: о способах решения комбинаторных задач. 3 Изучение методов решения комбинаторных задач Уточняет тему урока: “Методы решения комбинаторных задач” (слайд 5)
Переход к следующему слайду – гиперссылка. Открывают тетради, записывают число и тему урока. Историческая справка из истории развития комбинаторики (слайд 6)
Переход к следующему слайду – гиперссылка. Слушают учителя) Слайд 7
Методы решения комбинаторных задач.
Предлагает учащимся использовать Приложение 2
Решаем первую задачу:
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5 используя в записи числа каждую из них не больше одного раза?
Слайд содержит три гиперссылки. 1-я гиперссылка – (переход к слайду 8) метод “Дерево возможных вариантов”.
Разбирает с учащимися решение задачи и переходим к слайду11.
1 метод – Дерево возможных вариантов.
Заполняют с учителем схему Учитель
Предлагает учащимся самостоятельно решить задачу Приложение2(№2):
Постройте все слова, которые можно получить из слова ТОК перестановками его букв.
Сколько из них имеет смысл? (слово ТОК не считаем).
Проверяет решение задачи.
Возвращаемся к слайду 7.
Переход к слайду – гиперссылка. Работают с Приложением 2
Отвечают на вопрос задачи. Слайд 7
Предлагает решить первую задачу вторым способом – “Перебор возможных вариантов”.
2-я гиперссылка – (переход к слайду 9) метод “Перебор возможных вариантов”.
Разбирает с учащимися решение задачи и переходим к слайду10.
Переход к следующему слайду – гиперссылка. Работают с Приложением 2
Заполняют с учителем таблицу Слайд 10.
Учитель предлагает учащимся из полос, лежащих на парте, составить макет Российского Флага.
Затем по щелчку на слайде появляется Российский Флаг.
Учитель: Что означает каждый цвет нашего флага?
Историческая справка о Российском Флаге (Приложение 5).
Учитель: В каких странах флаг состоит из такого же набора цветных полос?
Предлагает решить задачу с флагами:
Сколько флагов можно составить с помощью полос данных цветов (красный, синий, белый), если полосы располагать горизонтально?
Эту задачу учащиеся решают самостоятельно, можно обозначить цвета флага – белый(Б), синий(С), красный(К).
Учитель: Какой будет ответ в задаче, если не указать, как располагать полосы?
Возвращаемся к слайду 7.
Переход к слайду – гиперссылка. Составляют макет флага.
Отвечают на вопрос.
Отвечают на вопрос.
Отвечают на вопрос задачи.
Отвечают на дополнительный вопрос. Слайд 7.
3-я гиперссылка – переход к слайду -13 физкультминутка.
С помощью гиперссылки переходим к слайду 12.
Следует ли брать задачу на 12 слайде, решает учитель, ориентируясь на время. Если нет, то сразу переходим на 14 слайд щелчком мыши. Отдыхают 4 Физкультминутка для глаз слайд 13
Переход к следующему слайду – гиперссылка. 5 Слайд 12.
В некотором царстве в некотором государстве жил-был Иван-царевич и была у него невеста Елена-прекрасная. Похитил его невесту Кощей бессмертный. Отправился Иван-царевич выручать Елена-прекрасную. Сначала его путь лежал через болото, где жила Кикимора-болотная. Туда вели две дороги. Кикимора указала дорогу к Бабе-яге, которая поможет Ивану-царевичу победить Кощея бессмертного, к ней ведут три дороги. Сколькими способами Иван-царевич может добраться до Бабы-яги?
Переход к следующему слайду – гиперссылка. Решают задачу устно.
Отвечают на вопрос задачи. Слайд 14.
Мы с вами изучили методы решения комбинаторных задач. Сможете вы теперь помочь Миссис Хадсон?
Предлагает учащимся воспользоваться Приложение 3. №1.
Для осуществления дифференцированного подхода в приложении есть дополнительные задачи — №2, №3, №4.
Проверяется решение задачи.
Гиперссылка. Переход к слайду 17.
Проверяет ответы дополнительных задач.
Переход к следующему слайду – гиперссылка. Отвечают на вопрос.
Предполагаемый ответ: Да сможем.
Выбирают один из способов и решают самостоятельно задачу.
Кто успевает решают дополнительные задачи. Рефлексия содержания учебного материала.
На слайде 15 появляется первый вопрос автоматически следующие два по щелчку.
Учитель предлагает учащимся ответить на вопросы. Отвечают на вопросы Самостоятельная работа (два варианта). Приложение 4. Выполняют самостоятельную работу. 7 Слайд 15 – рефлексия учебной деятельности на уроке.
По щелчку на слайде появляются рисунки.
Учитель учащимся перед уроком выдает листочки, а на магнитную доску вывешивается рисунок – дерево.
Красный цвет – наливные яблочки; зеленый цвет – листочки; желтый цвет – осенние листья.
Красный цвет – доволен собой, уроком.
Зеленый цвет – остались непонятные вопросы.
Желтый цвет – ничего не понял. Анализируют свою работу на уроке.
Проходят к доске и наклеивают листочки на рисунок.
Источник
Урок математики. 5-й класс. Комбинаторные задачи
Разделы: Математика
Класс: 5
Цели:
Обучающая:
- Познакомить с комбинаторными задачами,
- Научить решать простейшие задачи с помощью схем.
Развивающая:
- Развивать логику.
Воспитывающая
- Воспитывать интерес к предмету.
Ход урока
- Орг. момент — 2-3 мин.
- Устная работа — 7-8 мин.
- Объяснение нового материала — 15 мин.
- Закрепление — 15 мин
- Подведение итогов и постановка д/з — 5 мин.
I . Орг. момент.
Проверить готовность класса к уроку, собрать тетради .
Эпиграф урока.
II. Устная работа.
1. Вычислите устно
15*6 100-19 60-11 :8 :3 :7 *19 +23 *15 +6 *4 -25 ? ? ?
2. Вместо некоторых цифр поставлены *. Можно ли сравнить числа?
а) 32** и 31** в) **** и *** б) *1** и 8** г) *5* и 1 **
3. Подумайте, по какому правилу составлен ряд чисел и найдите три следующих числа
III. Объяснение нового материала
Сегодня мы познакомимся с новыми задачами — комбинаторными.
Живут эти задачи в особом разделе математики, который называется комбинаторика.
Комбинаторика — раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям можно составить.
Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 1 и 2.
В записи числа на первом месте (в разряде сотен) может стоять цифра 1 или 2
На втором месте (в разряде десятков) в каждом случае также может стоять одна из двух цифр 1 или 2
На третьем месте (в разряде единиц) в каждом из полученных четырех случаев также можно записать либо 1, либо 2
Получим восемь чисел:
В правлении фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами можно это сделать?
Президентом фирмы можно избрать одного из пяти человек:
После того как президент избран, вице-президентом можно выбрать одного из четырёх оставшихся членов правления:
Значит, выбрать президента можно 5-ю способами и для каждого из выбранного президента 4-мя способами можно выбрать вице-президента.
Т.о. общее число способов
IV. Закрепление.
Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются только цифры о и 7 . Найдите сумму этих чисел и разделите её на 211.
Решение (коллективная работа).
- Какая цифра может стоять на первом месте? (выполняется схема на доске)
- На втором месте?
- На третьем?
(700 + 707+ 770+ 777) : 211 = 14.
Задача 4.(решить самостоятельно, используя схему)
Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 5 и 7.
Ответ: 555; 557; 575; 577; 755; 757; 775; 777.
В футбольной команде 5-го класса 7 человек. Члены команды выбирают капитана и вратаря.сколькими способами это можно сделать?
Решение.
- Сколько человек в команде?
- Какие варианты существуют? (капитан может быть вратарем и не может)
- Рассмотрим вариант, когда вратарь не может быть капитаном.
- Сколько вариантов выбора капитана существует? (7)
- Сколько существует вариантов выбора вратаря для выбранного капитана?(6)
- Сколькими способами можно выбрать капитана и вратаря?
7 * 6 = 42. - Как изменится решение задачи, если вратарь может быть капитаном?
- Сколько способов выбора существует при этом условии?
7 * 7 = 49.
V. Подведение итогов и постановка д/з.
С каким разделом математики мы сегодня познакомились?
Что такое комбинаторика?
Домашнее задание (раздается в распечатанном виде)
Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0; 2; 4; 6; если цифры в записи числа не повторяются? Запишите все эти числа.
Для того чтобы открыть дверь подъезда, нужно набрать трёхзначный код замка. Сколькими способами можно выбрать код замка, если все его цифры должны быть различными?
Исторические сведения.
Комбинаторика — ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, возникла в XVII веке. Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики. Положение дел резко изменилось после появления быстродействующих вычислительных машин. В настоящее время комбинаторные методы применяются в теории случайных процессов, статистике, математическом программировании, вычислительной математике и др.
С задачами, которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись ещё в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов — во время битвы, инструментов — во время работы. Комбинаторные навыки оказались полезными в часы досуга. Со временем появились различные игры: нарды, шашки, шахматы, карты. В каждой из этих игр проходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.
Но не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Ещё с давних пор дипломаты. Стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других стран пытались эти шифры разгадать. Позднее стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах.
Задачи, в которых идёт речь о тех или иных комбинациях объектов, называют комбинаторными.
Комбинаторика как наука стала развиваться параллельно с возникновением теории вероятностей, т.к. для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (ок.1499-1557), Г. Галилею(1564-1642) и французским ученым Б. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 году. Он же впервые ввел термин «комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес JI. Эйлер.
В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика добилась новых успехов. Так, с помощью ЭВМ была решена комбинаторная задача, известная под названием «проблема четыpex красок»: удалось доказать, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета так, что никакие две страницы, имеющие общую границу, не будут окрашены в один и тот же цвет.
Литература.
- Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. Математика. Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. М.:Мнемозина.
- Л.П.Попова. Поурочные разработки по математике к ученому комплекту Н.Я.Виленкина 5 класс. Москва «Вако».2009
Источник
