Комбинаторные задачи
олимпиадные задания по алгебре (5 класс) на тему
Представлено 30 комбинаторных задач с решениями для учащихся 5-7 классов
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| kombinatornye_zadachi_s_resheniyami.docx | 33.25 КБ |
Предварительный просмотр:
Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы слова «полка»?
Решение: в этом слове две гласные буквы (о, а) и три согласные (п, л, к). Каждый искомый выбор задается картежом (а(1), а(2)), где а(1) – гласная буква, а(2) – согласная. Так как а(1) можно выбрать двумя способами, а а(2) тремя способами, то кортеж (а(1), а(2)) можно по правилу произведения выбрать 2*3=6 способами. Ответ: 6 способов.
Продают две игральные кости (каждая кость – кубик с отмеченным на его гранях точками). Одной до шести, причем на различных гранях разное число точек. Сколько различных пар точек может появиться на верхних гранях костей?
Решение: Для каждого случая составим таблицу вариантов:N = 3*3 =9 N = 3*4 = 12 Ответ: 1) N = 9; 2) N = 12.
Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?
Решение: Решим задачу с помощью полного графа с четырьмя вершинами А,Б,В,Г. Обозначенными первыми буквами имени каждого из мальчиков. В полном графе проводятся всевозможные ребра. В данном случае отрезки ребер обозначают органные шахматные партии. Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит, и партий было сыграно 6. Ответ: 6 партий.
Антон, Борис, Василий купили 3 билета на 1,2,3 места первого ряда на футбольный мачт. Сколькими способами они могут занять имеющиеся места?
Решение: на 1-е место может сесть любой из трех друзей, на 2 любой их двух оставшихся, а на 3 последний. Сказанное изобразим с помощью дерева, помещая в вершины графа первые буквы А,Б и В: 1 место 2 место 3 место упорядочная тройка друзей. Ответ: 6.
Из города А в город В ведут 5 дорог, а из города В в город С – 3 дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из АВС?
Решение: Каждый путь школою видов задается картежом (а(1), а(2)), где а(1) – один из путей, соединяющих В и С. Так как по условию а(1) можно выбрать 5 способами, а(2) – 3способами, то картеж (а(1), а (2)) можно по правилу произведения составить 5*3 = 15 способами. Ответ: 15 путей.
Имеется 6 перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?
Решение: Эту задачу тоже можно решить по правилу произведения. Перчатка на левую руку может быть выбрана 6 способами. После того как она выбрана, перчатку на правую руку можно выбрать лишь 5 способами. (Размеры перчаток должны быть разными). Поэтому всего имеет 6*5= 30 способов. Ответ: 30 способов.
сколькими способами могут быть распределены золотая и серебренная медали по итогам первенства по футболу, если число команд 12. Решение: На золотую медаль претендуют 12 команд, на серебренную 11 команд. (одна получит золотую медаль). По правилу произведения получаем 12 * 11 = 132 способа. Ответ: 132 способа.
Задачи, на перебор вариантов происходящих событий.
В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе – мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье – чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?
1 способ: Перечислим возможные варианты.
2 способ: Дерево возможностей
3 способ: Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В, т.е. в нашей задаче имеется 3 элемента: первое, можно выбрать 3 раза, второе – 3 раза и третье – 2раза, получаем: 3х3х2=18.Ответ: 18.
Мисс Марпл, расследуя убийство, заметила отъезжающее от дома мистера Дэвидсона такси. Она запомнила первую цифру «2». В городке номера машин были трехзначные и состояли из цифр 1, 2, 3, 4 и 5. скольких водителей, в худшем случае, ей придется опросить, чтобы найти настоящего убийцу?
Используя правило умножения, получаем: 5*5=25.Ответ: 25 водителей.
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
Реш. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами, т.к. после выбора остается три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4 * 3 * 2=24.Ответ: 24.
Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9? Используя правило умножения, получаем: 5*3=15 Ответ: 15
Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?Используя правило умножения, получаем: 2*4*5=40.Ответ:40.
Задачи на перестановки.
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Число перестановок из n элементов обозначается символом Рn (Р из n элементов). Например.
в книжном шкафу на полке стоят 3 книги, как эти книги можно переставить?
Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?
Р 5 = 5! = 5*4*3*2*1 = 120.
Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц, финального забега, на восьми беговых дорожках?
Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле числа перестановок находим, что Р 8 =8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.
Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0,2,4,6?
Решение: из цифр 0,2,4,6 можно получить Р 4 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не может начинаться с цифры 0. Число таких перестановок равно Р 3 . значит, искомое число четырехзначных чисел равно Р 4 -Р 3 = 4!-3! = 24 – 6= 18.
Задачи на размещения.
Размещением из n элементов по k (k меньше или равно n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов. Обозначение : ( читают: «А из n по k).
Например : Пусть имеется три шара и две пустых ячейки. В пустые ячейки можно разместить по два шара.
Решение: из трех элементов по два будут наборы (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2).Размещения считаются различными, если они отличаются самими элементами или порядком их расположения. Например: (1,2), (2,1), (1,3), (3,1) в нашем примере.Число размещений можно найти не выписывая сами размещения. Будем рассуждать так: первый элемент можно выбрать тремя способами, т.к. им может быть любой из трех, для каждого выбранного первого элемента можно двумя способами выбрать второй.В результате получаем: = 3*2 = 6.
Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?
Решение: = 8*7*6*5 = 1680.
В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?
Решение: А 10 5 =10*9*8*7*6 = 30240 способов.
В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все уроки различны?
Решение: из 15 предметов 5 любых можно выбрать А 15 5 = 15*14*13*12*11= 360360.
Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?
Решение: А 8 3 =8*7*6 = 336.
Задачи на сочетания.
Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов. Обозначение: (читают С из n по k).
Пусть имеется три шара разного цвета. Нужно рассмотреть все возможные способы составления шаров, в которых сочетаются два цвета из данных трех.
Решение: из трех элементов (1;2;3) по два будут наборы (1,2),(1,3),(2,3). В отличии от размещений в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания различны, если отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Например: (1,2),(1,3). В нашем примере, в каждом сочетании выполнимы все перестановки. Число таких перестановок равно Р 2 . В результате получим все возможные комбинации из 3 элементов по 2, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов, т.е. все размещения из 3 элементов по 2. всего мы получим размещений. Значит если количество размещений разделить на количество перестановок, получим количество сочетаний из трех элементов по два. Отсюда .
из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Решение: если, каждый выбор отличается от другого хотя бы одним дежурным, значит, здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3: .
На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этой задаче нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5. В каждом сочетании выполнимы 5 перестановок т.е.Р 5 = 1*2*3*4*5, в результате получим все возможные комбинации из 20 элементов по 5: А 20 5 =20*19*18*17*16.
Источник
Урок закрепления по теме «Решение комбинаторных задач» (5-й класс)
Класс: 5
Тип урока: Урок закрепления по теме «решение комбинаторных задач».
Цели урока:
- систематизирование и обобщение знаний при решении комбинаторных задач, которые сводятся к подсчету всевозможных вариантов перестановки элементов;
- развитие мыслительной деятельности при практической работе;
- воспитание навыков самоконтроля и взаимопомощи при работе в группах.
Оборудование: карточки с заданиями, рисунки к игровой ситуации «Волк, коза и капуста», рабочие тетради.
Ход урока
I этап урока. Организационный момент.
Создание проблемной ситуации.
После каникул встретились 5 друзей и обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий?
Оформление на доске: 12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45, то есть 10 рукопожатий.
Учитель сообщает тему и цели урока.
II этап урока. Исторические сведения.
В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения.
Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называются комбинаторными. Комбинаторные задачи возникли в глубокой древности. В Древнем Китае несколько тысячелетий назад увлекались составлением логических квадратов, в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных колебаний длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата и т.д.
Комбинаторные задачи возникали и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Разгадывание шрифтов, древних письменностей.
Сегодня на уроке мы разберем комбинаторные задачи, которые встречаются в школьной жизни.
В школе проводятся соревнования «Веселые старты». В качестве призов решили использовать мячи, ракетки, клюшки и шайбы. Сколько различных призов можно составить из этих предметов, если каждому победителю решено давать по 2 разных предмета?
Решение. 1 набор – МР, 2 набор – МК, 3 набор – МШ, Набор – РК, 5 набор – РШ, 6 набор – КШ.
Ответ: 6 наборов призов.
Составьте расписание уроков в 1 классе, в котором должно быть 3 урока: русский язык, математика, физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?
1 – РМФ
2 – РФМ
3 – МРФ
4 – МФР
5 – ФРМ
6 – ФМР
Решения заданий учащиеся вывешивают на плакатах и один учащийся сообщает о ходе рассуждений.
III этап урока. Игровая ситуация.
Сценка «Волк, коза, капуста».
Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. Но лодка такова, что в ней может поместиться только крестьянин, а с ним или только волк, или только коза, или только капуста. Но если оставить волка с козой, то волк съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как перевезет свой груз крестьянин?
Решение. Ясно, что приходится начать с козы. Крестьянин, перевезя козу, возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег, где его и оставляет, но зато берет и везет обратно на первый берег козу. Здесь он оставляет ее и перевозит к волку капусту. Вслед затем, возвратившись, он перевозит козу, и переправа оканчивается благополучно.
IV этап урока.
В столовой приготовили два разных супа (гороховый и щи), три вторых (котлеты, запеканку, рыбу) и два сока (сливовый и апельсиновый). Сколько различных обедов из трех блюд можно получить в этой столовой?
Г – гороховый суп, Щ – щи, З – запеканка, Р — рыба, К – котлеты, С – сливовый сок, А – апельсиновый сок.
ЩЗА, ЩЗС, ЩРА, ЩРС, ЩКА, ЩКС.
Ответ. Из двух супов, трех вторых и двух третьих блюд можно составить 12 разных обедов из трех блюд.
Марина собрала первый урожай со своей грядки: огурец, репу и морковь – и решила угостить Наташу, Дашу и Катю. Сколькими разными способами можно разделить овощи между тремя девочками, чтобы каждая получила один целый овощ?
О – огурец, М – морковь, Р –репа.
- 1 способ – ОМР,
- 2 способ – ОРМ,
- 3 способ – МОР,
- 4 способ – МРО,
- 5 способ – РОМ,
- 6 способ – РМО.
Ответ. Три овоща можно распределить между тремя девочками 6 способами.
Подведение итогов урока.
Рефлексия. Оцените свою деятельность на уроке. Кому и в чем помог разобраться сегодняшний урок? Достигли ли вы поставленной цели на уроке.
Источник
