Тест по теме «Комбинаторика».
Яковлева Татьяна Петровна ,
доцент кафедры математики и физики
Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга,
кандидат педагогических наук, доцент,
г. Петропавловск – Камчатский,
Тест по теме «Комбинаторика»
в) не существует.
2. 
равно …
3. Число размещений из m элементов по k записывается …
а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
4. Число сочетаний из m элементов по k записывается …
а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
5. Число перестановок из m элементов записывается …
а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
6. 
равно …
7. Количество различных двузначных чисел, которые можно составить из пяти цифр 1, 2, 3, 8, 9 (все цифры в числе разные), равно …
8. Количество различных способов выбора (порядок не имеет значения) 3-х томов из 6-томного собрания сочинений М. Твена равно …
9. В слове «диплом» меняют местами буквы. Тогда количество всех возможных различных «слов» равно …
10. Количество перестановок из букв слова «диплом», в которых буква «п» всегда будет на первом месте равно …
11. Количество перестановок из букв слова «диплом», в которых буква «м» на первом месте, а буква «о» в конце слова равно …
12. Установить соответствие между символами и их значениями:
б) 
в) 
г) 
Источник
Лекционный материал по дисциплине «Основы теории вероятностей и математической статистики»
Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.
Основные правила комбинаторики.
1) Правило сложения.
Пример: Из А в В можно добраться самолетом, поездом или автобусом. Авиамаршрутов — один, железнодорожных — два, автобусных –три. Сколькими способами можно добраться из А в В?
Вывод: Выбор «или…или» можно произвести сложением всех случаев.(если мы хотим выполнить либо 1 действие либо 2, но не оба одновременно).
2) Правило умножения.
Пример: Сколькими различными способами можно распределить 4 шара по
двум лункам, в которые помещается ровно один шар.
Для первой лунки — 4 возможности.
Для второй лунки — 3 возможности.
Общее число способов : 3*4=12
Вывод: Выбор « и…и» осуществляется умножением количеств способов (если мы хотим сначала I действие, а затем второе).
Пусть дано множество, содержащие n элементов.
Определение. Размещением из n элементов по k ( k =1, n ) элементов называется упорядоченное подмножество, содержащие k различных элементов данного множества.
Все эти подмножества отличаются друг от друга или составом элементов, или порядком их размещения. Но число во всех этих подмножествах равно k .
Обозначение . 
– число подмножеств.
В соревнованиях принимают участие16 команд. Сколькими способами могут распределиться первые три места?
Надо выбрать 3 команды из шестнадцати. Порядок распределения мест важен. Поэтому применим формулу для вычисления количества размещений.
способов
Ответ: 3360 способов выбора.
Пусть дано множество, содержащие n элементов.
Определение. Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов.
Различные перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов.
Обозначение P n — количество перестановок.
Сколькими способами можно расставить 6 различных книг на одной полке?
Ответ: 720 способов.
Пусть дано множество, состоящие из n элементов.
Определение. Сочетанием из n элементов по k (k=1,n) элементов называются любое подмножество, которое содержит k различных элементов данного множества.
Различными считаются только те подмножества, которые отличаются составом элементов. Подмножества, отличающиеся лишь порядком следования элементов, не считаются различными.
Обозначение. 
— число сочетаний.
В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?
Порядок выбора четырёх человек не имеет значения. Поэтому применим формулу для вычисления числа сочетаний.
Ответ: 12650 способов выбора.
Сколько всевозможных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,чтобы в каждом числе содержалась только одна цифра 1 ?
(Цифры в числе не могут повторяться)
Цифра 1 может находиться либо на первом месте, либо на втором, либо на третьем, либо на четвёртом
Самостоятельно доказать следующие теоремы:
Порядок имеет значение
Порядок имеет значение
Порядок не имеет значения
Бином Ньютона . Треугольник Паскаля.
( a+b) n =C n 0 а n +C n 1 a n-1 b 1 + С n 2 а n-2 b 2 +…+C n n-2 a 2 b n-2 +C n n-1 a 2 b n-1 + С n n b n
C n k — биномиальные коэффициенты. Они вычисляются по формуле 
. Также биномиальные коэффициенты можно вычислить по треугольнику Паскаля.
C n k a n — k b k — общий член разложения.
Перестановки объектов с повторениями.
Рассмотрим, чему равно число возможных перестановок элементов множества объектов, если в этом множестве некоторые объекты совпадают. Понятно, что число возможных перестановок элементов этого множества уменьшается по сравнению с числом перестановок элементов множества без совпадающих элементов.
Например, из букв А,В,С можно образовать 3! буквенных слов, а из букв А,А,А только одно.
Пример: Сколько различных слов можно образовать из всех букв слова «атака»?
1) Если бы все буквы были различными, то слов было бы 5!.Будем временно считать различными.
2) Обозначим неизвестное нам число перестановок всех букв слова «атака» через x. Рассмотрим одну из этих перестановок а а а т к . Занумеруем каждую букву а.
[Обозначим а 1 ,а 2 ,а 3 – вместо трех букв а].
Тогда вместо исходной перестановки можем получить 3! перестановок, которые отличаются между собой только положением букв а 1 ,а 2 ,а 3 , в то время как буквы т и к стоят на фиксированных местах. Точно так же каждая из исходных перестановок даст при такой замене 3! новые перестановки. Поэтому общее число перестановок будет равно x *3!
Т.к. пять букв а 1 ,а 2 ,а 3 ,т,к теперь все различны, то х*3! Равно числу перестановок из пяти различных букв: х·3!=5! х=4*5=20(слов)
Вывод: Пусть дано множество из n элементов, в котором n 1 элемент принадлежат к первому типу, n 2 элементов принадлежат ко второму типу, и так далее до n k элементов k-того типа, причем элементы одного и того же типа неразличимы между собой. Тогда общее число перестановок данного множества n элементов равно:
где n 1 + n 2 +… n k = n
Пример:Сколько различных перестановок можно образовать из всех букв слова «Миссисипи»?
n =9 (количество букв в слове);
«
л»-1 буква
«и»-4 буквы => 
(пер.)
Ответ: 2520 перестановок.
Вам предлагаются задачи двух уровней: базового и повышенного. Задачи базового уровня напечатаны чёрным цветом, задачи повышенного уровня – зелёным. Задачи базового уровня являются исходным материалом для контрольной работы базового уровня.
1) Номер автомобиля состоит из двух английских букв, за которыми следует трехзначное число. Сколько существует различных автомобильных номеров?
2) Турист планирует поездку из Чикаго в Саутгемптон через Нью-Йорк и обратно тем же маршрутом. При этом он решает воспользоваться услугами одной из шести авиалиний между Нью-Йорком и Чикаго и одной из четырех морских линий между Нью-Йорком и Саутгемптоном. Сколькими способами он может совершить эту поездку при условии, что не воспользуется никакой линией дважды?
3) Сколько четырехзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5, если:
а) никакая цифра не повторяется более одного раза;
б) повторения цифр допустимы;
в) числа должны быть нечетными и повторений цифр быть не должно?
4) При приготовлении пиццы к сыру добавляются разные компоненты, обеспечивающие тот или иной вкус пиццы. В распоряжении Билла имеются перец, лук, сосиски, грибы и анчоусы, причем все это можно, по его мнению, добавлять к сыру. Сколько типов пиццы может приготовить Билл?
5 ) В нашем распоряжении есть три различных флага. На флагштоке поднимается сигнал, состоящий не менее чем из двух флагов. Сколько различных сигналов можно поднять на флагштоке, если порядок флагов в сигнале учитываться?
6) Сколькими способами восемь человек могут встать в очередь к театральной кассе?
7) Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 6, 7, 8, если никакую цифру не использовать более одного раза? Сколько среди этих чисел будет четных? Сколько нечетных?
8) У нас есть три письма, каждое из которых мы можем послать по шести различным адресам. Сколькими способами можно осуществить рассылку писем, если никаких два письма нельзя посылать по одному адресу? Сколькими способами можно разослать письма, если по одному адресу разрешается посылать более одного письма?
9) В автомашине семь мест. Сколькими способами семь человек могут усесться в эту машину, если занять место водителя могут только трое из них?
10) В пассажирском поезде девять вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде четырех человек при условии, что все они поедут в разных вагонах?
11) В классе тридцать одноместных парт. Сколькими способами можно рассадить за них шестерых учеников?
12 ) Из двенадцати кандидатов тренер отбирает пятерых и составляет из них баскетбольную команду. Два кандидата могут играть центровыми, четверо — только в защите, а остальные – в нападении. Сколькими способами тренер может составить команду?
13) Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых содержит не менее трех цифр. Сколько таких чисел можно составить, если повторения цифр в числах запрещены?
14) Пять мальчиков и пять девочек рассаживаются в ряд на десять подряд расположенных мест, причем мальчики садятся на места с нечётными номерами, а девочки – с четными. Сколькими способами они это могут сделать?
15) Сколькими способами три различных подарка А, В и С можно выдать каким-то трем из пятнадцати лиц, если никто не должен получить более одного подарка? Если подарок А должно получить вполне определенное лицо?
16) Сколькими различными способами из восьми книг можно отобрать несколько, но не менее одной?
17 ) Сколько сигналов можно поднять на матче, имея четыре флага различных цветов, если каждый сигнал должен состоять не менее чем из двух флагов?
18) Энциклопедия состоит из девяти томов – с первого по девятый. Сколькими способами ее можно поставить на полке в беспорядке, т.е. так, чтобы тома не следовали один за другим в порядке их номеров?
19) В группе девять человек. Сколько можно составить разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее двух человек?
20) В забеге участвуют пять мальчиков. Сколькими способами могут распределиться два первых места?
21) Сколько различных подмножеств, включая пустое подмножество и все множество, можно выделить из множества, содержащего девять элементов? Из множества содержащего n элементов?
22) Сколько пятибуквенных слов можно образовать из букв, составляющих слово «треугольник»?
23 ) Сколько различных перестановок можно получить, если брать по пять карт из колоды, содержащей 52 карты?
24) Сколько различных слов можно образовать из всех букв слова «гипербола»? Сколько среди них таких, в которых буквы «г» и «и» стоят рядом? В которых эти буквы не стоят рядом?
25) Сколько слов можно образовать из букв слова «фрагмент», если слова должны состоять :
а) из восьми букв;
26) Студенту необходимо сдать четыре экзамена в течение 10 дней. Сколькими способами можно составить ему расписание экзаменов ?
27 ) Музыкальный концерт состоит из трех песен и двух скрипичных пьес. Сколькими способами можно составить программу концерта так, чтобы он начинался и оканчивался исполнением песни и чтобы скрипичные пьесы не исполнялись одна за другой?
28) Доказать, что число трехбуквенных слов, которые можно образовать из букв, составляющих слова «гипотенуза», равно числу всех возможных перестановок букв, составляющих слова «призма»?
29) Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из пяти цифр, если первая из них не равна нулю? Если номер состоит из одной буквы, за которой следует четыре цифры, отличные от нуля?
30 ) Пассажирский поезд состоит из двух багажных вагонов, четырех плацкартных и трех купейных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находиться в начале состава, а купейные – в конце?
31) Три дороги соединяют города А и В, четыре дороги соединяют города В и С. Сколькими способами можно совершить поездку из А в С через В и вернуться в А через В?
32) Сколькими способами можно расставить на полке семь книг, если:
а)две определенные книги должны всегда стоять рядом;
б)эти две книги не должны стоять рядом?
33) В геометрии многоугольник обычно обозначается буквами, поставленными у его вершины. Сколькими способами можно обозначить треугольник, используя буквы латинского алфавита?
34) Сколькими способами читатель может отобрать три книги из четырех, обозначенных А, В, С и Д, если порядок книг его не интересует?
35) Колода игральных карт насчитывает 52 различные карты. Сколькими способами можно сдать 13 карт на руки одному игроку?
36) Сколькими способами можно составить комиссию в составе трех человек, выбирая их среди четырех супружеских пар, если:
а) в комиссию могут входить любые трое из данных восьми человек;
б) комиссия должна состоять из двух женщин и одного мужчины;
в) в комиссию не должны входить члены одной семьи?
37) Сколькими способами можно отобрать несколько книг (не менее одной) из пяти одинаковых учебников алгебры и четырех одинаковых учебников геометрии?
38) Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти человек?
39) Подрядчику нужны четыре плотника, а к нему с предложением своих услуг обратились 10. Сколькими способами он может выбрать среди них четверых?
40) Сколькими способами можно отобрать несколько фруктов из семи яблок, четырех лимонов и девяти апельсинов? (Фрукты одного вида неразличимы).
41) Сколько «слов», содержащих не менее чем одну букву, можно составить из двух букв А, пяти букв Б и десяти букв В?
42) На окружности выбрано 10 точек. Сколько можно провести хорд сконцами в этих точках? Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках? Сколько выпуклых десятиугольников?
43) Сколькими способами из девяти книг можно отобрать четыре? Сколькими способами это можно сделать, если в число отобранных должна входить определенная книга? Сколькими способами можно отобрать четыре книги так, чтобы определенная книга не входила в их число?
44) Компания из двадцати мужчин разделяется на три группы, в первую из которых входят три человека, во вторую – пять и в третью – двенадцать. Сколькими способами они могут это сделать?
45) Сколькими способами можно отобрать несколько книг (не менее одной) из пачки, содержащей четыре одинаковые поваренные книги и восемь одинаковых романов?
46) Выпишите символы, обозначающие число сочетаний из 20 элементов по 4 и число сочетаний из 100 по 98. Вычислите их числовые значения и сравните.
47) Колода карт содержит 52 различные карты. Сдача карт одному
игроку состоит из пяти карт, порядок которых не важен. Запишите
число всех возможных сдач одному игроку, используя факториалы.
48) Сколькими способами два продавца книг могут распределить между собой 300 экземпляров одной книги, 200 экземпляров другой и 100 экземпляров третьей, если никакой продавец не должен получить всех книг?
49) Колода карт содержит 13 карт пиковой масти, 13 треф, 13 бубен и 13 червей. Сколькими способами можно сдать одному игроку 5 пик, 4 черви, 2 трефы и 2 бубны?
50) В предвыборной борьбе за две одинаковые должности выступают шесть кандидатов. Каждый избиратель может занести в свой бюллетень либо одного кандидата, либо двух. Сколькими способами могут быть заполнены бюллетени?
51) Двадцать пассажиров собираются совершить поездку в двухэтажном автобусе, который вмещает 12пассажиров внизу и 8 вверху. При этом 4 пассажира не желают ехать внизу и 5 пассажиров – наверху.
Сколькими способами их можно рассадить по местам в автобусе, если:
а) порядок размещения пассажиров по местам как внизу, так и наверху не учитывается;
б) порядок размещения внизу и наверху учитывается?
52) Сколькими способами из пяти супружеских пар можно отобрать четырех человек, если:
а) в число отобранных должны входить двое мужчин и две женщины;
б) никакая супружеская пара не должна входить в это число?
53) Сколькими способами некто может выбрать 3 подарка из 10 различных предметов?
54) На железной дороге 50 станций. На каждом билете печатается названия станций отправления и прибытия. Сколько различных билетов можно напечатать?
55) На плоскости даны 20 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Через каждую пару точек проводится прямая. Сколько таких прямых можно провести?
56) Городской совет состоит из мэра и шести старейшин. Сколько различных комиссий можно сформировать из членов городского совета, если каждая комиссия состоит из четырех человек, в следующих случаях:
а) мэр города входит в каждую комиссию;
б) мэр города не входит не в одну комиссию?
57) Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова «сапфир»? Сколько слов не содержат букву «р»? Сколько слов начинаются с буквы «с» и кончаются на «р»?
58) Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из десяти. Сколькими способами он может сформировать команду, если два определенных мальчика должны в нее войти?
59) Сколько чисел, заключающихся между числами 1000 и 9999 содержит цифру 3?
60) Сколько слов, состоящих из двух гласных и двух согласных, можно образовать из букв слова «функция»?
61) Десять кресел поставлены в ряд. Сколькими способами на них могут сесть два человека ? Сколькими способами эти два человека могут сесть рядом? Сколькими способами они могут сесть так, чтобы между ними было хотя бы одно пустое кресло?
62) Сколько существует диагоналей у выпуклого двадцатиугольника? Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого 35 различных диагоналей?
63) Предприятие может предоставить работу по одной специальности четырем женщинам, по другой специальности пяти мужчинам и по третьей специальности трем работникам независимо от их пола. Сколькими способами можно заполнить эти места, если имеются 18 претендентов на них, среди которых 8 женщин и 10 мужчин?
64) Сколько шестизначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, если каждое число должно состоять из трех цифр, обозначающих четные числа, и трех цифр, обозначающих нечетные числа?
65) За каждым из двух солдат закрепляется личный номер, состоящий из трех цифр. Сколькими способами это можно сделать?
66) В течение 10 недель студенты сдают 10 экзаменов, по одному в неделю, в том числе 2 по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены по неделям так , чтобы экзамены по математике не следовали один за другим?
67) У филателиста есть 8 разных канадских марок и 10 разных марок США. Сколькими способами он может отобрать три канадские и три американские марки и наклеить их в альбом на шесть пронумерованных мест?
68) Восемь человек должны расположиться в двух комнатах , причем в каждой комнате должно быть хотя бы три человека. Сколькими способами они могут это сделать?
69) Сколько существует вариантов опроса 11 студентов на одном занятии , если ни один из них не будет опрошен дважды и на занятии может быть опрошен любое количество учащихся, причем порядок, в котором они опрашиваются, безразлично?
Источник
