Количественные методы описания систем
Количественные методы (методы формализованного представления систем) используются, прежде всего, для анализа и количественной оценки вариантов, описания законов их функционирования, установления связи показателей эффективности и основных факторов влияния, определения точности, корректности используемых моделей систем. К подобным методам относят [1, 3 – 7]:
— аналитические методы (методы классической математики, включая интегральное и дифференциальное исчисления, методы поиска экстремумов функций, вариационное исчисление и т.д.; методы математического программирования, методы многокритериальной оптимизации, методы теории игр и др.);
— статистические методы (теория вероятностей, математическая статистика, корреляционно-регрессионный и дисперсионный анализ, факторный и компонентный анализ, теория временных рядов и др.; направления прикладной математики, использующие стохастические представления – теорию массового обслуживания, методы статистических испытаний (основанные на методе Монте-Карло), методы выдвижения и проверки статистических гипотез А. Вальда и другие методы статистического имитационного моделирования);
— теоретико-множественные методы (общая теория абстрактных множеств, реляционная алгебра, теория категорий, теория нечетких множеств и т. п.);
— графические методы (теория графов, методы сетевого планирования, разнообразные методики графического отображения объектов и процессов);
— логико-математические методы (алгебра логики, теория абстрактных автоматов, методы логического анализа и вывода и др.);
— лингвистические методы (теория формальных грамматик, методы структурно- лингвистического анализа и пр.).
Теоретико-множественные, логические, лингвистические, семиотические представления основаны на методах дискретной математики и составляют теоретическую основу разработки языков моделирования, автоматизации проектирования, информационно-поисковых языков и т.п.
Приведенная классификация, выделяющая качественные и количественные методы, как и любая другая, является условной, так как методы использования опыта и активизации интуиции специалистов часто в той или иной степени используют формализованные представления (статистический анализ данных, графическое описание задачи и т. п.).
Рассмотрим подробнее, например, аналитические методы.
Аналитическими в рассматриваемой классификации названы методы, которые отображают реальные объекты и процессы в виде точек, совершающих какие-либо перемещения в пространстве или взаимодействующие между собой, т.е. сложная система преобразуется в точку, совершающую какое-то движение (или обладающую каким-то поведением), посредством оператора (функции, функционала). Причем поведение точек, их взаимодействие описывается строгими соотношениями, имеющими силу закона.
Аналитические методы используются как в классическом математическом анализе(методы исследования функций, их вида, способов представления, поиска экстремумов функций и т.д.), так и в разделах современной математики, таких как математическое программирование (линейное, нелинейное, динамическое и т.д.), теория игр (матричные игры с чистыми стратегиями, дифференциальные игры и т.д.).
Большинство из направлений математики не содержит средств постановки задачи и доказательства адекватности модели, которая чаще всего доказывается экспериментально, но это дорого и не всегда реализуемо.
Математическое же программирование содержит средства постановки задачи и методы решения слабо формализованных задач (планирования, распределения работ и ресурсов, загрузки оборудования и т.д.).
Рассмотрим пример постановки задачи математического программирования. Для изготовления различных изделий А, В и С предприятие использует три различных вида сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида – aij, 
, цена одного изделия А, В и С – cj, 
, общее количество сырья каждого вида – bi, 
, которое может быть использовано предприятием, приведены в таблице 4.1.
Таблица 4.1 – Исходные данные задачи
| Вид сырья | Нормы затрат сырья (кг) на одно изделие, aij | Общее количество сырья (кг), bi |
| А | В | С |
| S1 | ||
| S2 | ||
| S3 | ||
| Цена одного изделия (руб.), cj |
Необходимо составить такой план производства изделий, при котором общая стоимость произведенной предприятием продукции является максимальной, учитывая, что изделия А, В и С могут производиться в любых количествах, а производство ограничено запасами сырья.
Составим математическую модель этой задачи. Пусть необходимо выпустить изделий А в количестве x1 штук, изделий В – x2, изделий С – x3. Учитывая, что стоимость каждого вида изделий известна, запишем выражение целевой функции, представляющей собой общую стоимость произведенной предприятием продукции, в виде:
 | (4.1) |
Необходимо найти максимум этой функции при ограничениях, которые запишем в виде системы неравенств, так как количество сырья каждого вида ограничено:
 | (4.2) |
Так как количество продукции не может быть отрицательным числом, то переменные x1, x2 , x3 принимают только неотрицательные значения:
| x1³0, x2 ³0, x3³0 | (4.3) |
Таким образом, приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений системы неравенств (4.2) требуется найти такое, при котором функция (4.1) принимает максимальное значение.
Рассмотренная задача относится к задачам линейного программирования и является задачей распределительного типа, суть которых заключается в следующем. Пусть рассматриваемая система характеризуется наличием п видов производственной деятельности, для осуществления которых имеются различные ресурсы с номерами 
. Возможный объем потребления i-го ресурса ограничен неотрицательной величиной bi,а его расход для производства единицы продукта j-говида производственной деятельности равен aij, где 
, причем, единица продукта j-говида производственной деятельности характеризуется величиной cj,называемой удельной прибылью.Необходимо определить объемы хj, 
,производственной деятельности каждого вида, обеспечивающие максимальный суммарный доход от производственной деятельности системы в целом без нарушения ограничений, накладываемых на использование ресурсов.
Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции:
→max(min) (4.4)
, (4.5)
, (4.6)
, (4.7)
где aij, bi и cj – заданные постоянные числа, причем k ≤ m ≤l ≤ n, а bi ≥ 0
При этом система линейных уравнений (4.6) и неравенств (4.5), (4.7), определяющая допустимое множество решений задачи, называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция F(x) называется целевой функцией задачи (4.4) – (4.7) или критерием оптимальности.
Задачи линейного программирования представляют собой оптимизационные задачи из сферы планирования и управления производством. По некоторым источникам [73], 80 – 85 % всех решаемых на практике задач относятся к задачам линейного программирования.
Для решения задач линейного программирования используют симплексный метод. Процесс решения задачи линейного программирования симплекс-методом имеет итерационный характер: однотипные вычислительные процедуры в определенной последовательности повторяются до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение. Кроме определения оптимального решения, с помощью симплексного метода можно получить экономическую интерпретацию оптимального решения и провести анализ математической модели на чувствительность.
Источник
Качественные и количественные методы описания систем
Методы описания систем классифицируются в порядке возрастания формализованности – от качественных методов до количественного системного моделирования с применением ЭВМ. Хотя разделение методов на качественные и количественные носит условный характер.
В качественных методах основное внимание уделяется организации постановки задачи, новому этапу ее формализации, формированию вариантов, выбору подхода к оценке вариантов, использованию опыта человека, его предпочтений, которые не всегда могут быть выражены в количественных оценках. Для постановки задач эти методы не имеют средств, почти полностью оставляя осуществление этих этапов за человеком.
Количественные методы связаны с анализом вариантов, с их количественными характеристиками корректности, точности и т.п.
Между этими крайними классами методов системного анализа имеются методы, которые стремятся охватить оба этапа: этап постановки задачи, разработки вариантов, этап оценки и количественного анализа вариантов.:
1) кибернетический подход базируется на развитии основных идей классической теории автоматического управления и регулирования и теории адаптивных систем;
2) информационно-гносеологический подход, основан на общности процессов отражения, познания в системах различной физической природы;
3) существуют также системно-структурный подход, метод ситуационного моделирования, метод имитационного динамического моделирования, который мы будем рассматривать в следующем семестре.
Качественные методы: разбивка на стадии и этапы, блочно-иерархический подход, методы типа мозговой атаки или коллективной генерации идей, методы типа сценариев, методы экспертных оценок, морфологические методы, методы типа дерева целей и другие.
При системном анализе систем удобным инструментом является инструментарий качественного анализа систем, получивший название когнитивной структуризации. Когнитология — междисциплинарное научное направление изучающее методы и модели формирования знания, познания, универсальных структурных схем мышления, которое используется в философии, нейропсихологии, психологии, лингвистике, информатике, математике, физике и др.
Цель когнитивной структуризации — формирование и уточнение гипотезы о функционировании исследуемой системы, т.е. структурных схем причинно- следственных связей, их количественной оценки.
Причинно-следственная связь между системами (подсистемами, элементами) А и В положительна (отрицательна), если увеличение или усиление А ведёт к увеличению или усилению (уменьшению или ослаблению) В.
Пример. Когнитивная структурная схема для анализа проблемы энергопотребления может иметь следующий вид:
Рис. Пример когнитивной карты.
Кроме когнитивных схем могут использоваться когнитивные решетки (шкалы, матрицы), которые позволяют определять стратегии поведения (например, производителя на рынке).
Количественные методы описания систем. При создании и эксплуатации сложных систем требуется проводить многочисленные исследования и расчеты, связанные:
1) с оценкой показателей, характеризующих различные свойства систем;
2) с выбором оптимальной структуры системы;
3) с выбором оптимальных значений ее параметров.
Выполнение таких исследований возможно лишь при наличии математического описания процесса функционирования системы, т.е. ее математической модели (ММ).
Т.к. ММ сложной системы может быть сколь угодно много, и все они определяются принятым уровнем абстрагированием, то рассмотрение задач на каком-либо одном уровне абстракции позволяет дать ответы на определенную группу вопросов, а для получения ответов на другие вопросы необходимо провести исследование уже на другом уровне абстракции. Для достижения максимально возможной полноты сведений необходимо изучить одну и ту же систему на всех целесообразных для данного случая уровнях абстракции.
Одним из высших уровней описания систем является теоретико-множественный. Построение сложных систем на теоретико-множественном уровне вполне уместно и целесообразно. Множества образуются из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящихся в некоторых отношениях между собой и элементами других множеств. АСУ вполне подходят под такое определение. На теоретико-множественном уровне абстракции можно получить только общие сведения о реальных системах, а для более конкретных целей необходимы другие абстрактные модели, которые позволили бы производить более тонкий анализ различных свойств реальных систем. Эти более низкие уровни абстрагирования являются частными случаями по отношению к теоретико-множественному уровню формального описания системы.
Источник
