Когда применяется способ сложения

Решение системы уравнений методом сложения

23 октября 2015

Этим видео я начинаю цикл уроков, посвящённых системам уравнений. Сегодня мы поговорим о решении систем линейных уравнений методом сложения — это один из самых простых способов, но одновременно и один из самых эффективных.

Способ сложения состоит из трёх простых шагов:

1. Посмотреть на систему и выбрать переменную, у которой в каждом уравнении стоят одинаковые (либо противоположные) коэффициенты;
2. Выполнить алгебраическое вычитание (для противоположных чисел — сложение) уравнений друг из друга, после чего привести подобные слагаемые;
3. Решить новое уравнение, получившееся после второго шага.

Если всё сделать правильно, то на выходе мы получим одно-единственное уравнение с одной переменной — решить его не составит труда. Затем останется лишь подставить найденный корень в исходную система и получить окончательный ответ.

Однако на практике всё не так просто. Причин тому несколько:

• Решение уравнений способом сложения подразумевает, что во всех строчках должны присутствовать переменные с одинаковыми/противоположными коэффициентами. А что делать, если это требование не выполняется?
• Далеко не всегда после сложения/вычитания уравнений указанным способом мы получим красивую конструкцию, которая легко решается. Возможно ли как-то упростить выкладки и ускорить вычисления?

Чтобы получить ответ на эти вопросы, а заодно разобраться с несколькими дополнительными тонкостями, на которых «заваливаются» многие ученики, смотрите мой видеоурок:

Этим уроком мы начинаем цикл лекций, посвященный системам уравнений. А начнем мы из самых простых из них, а именно из те, которые содержат два уравнения и две переменных. Каждое из них будет являться линейным.

Системы — это материал 7-го класса, но этот урок также будет полезен старшеклассникам, которые хотят освежить свои знания в этой теме.

Вообще, существует два метода решения подобных систем:

1. Метод сложения;
2. Метод выражения одной переменной через другую.

Сегодня мы займемся именно первым методом — будем применять способ вычитания и сложения. Но для этого нужно понимать следующий факт: как только у вас есть два или более уравнений, вы вправе взять любые два из них и сложить друг с другом. Складываются они почленно, т.е. «иксы» складываются с «иксами» и приводятся подобные, «игреки» с «игреками» — вновь приводятся подобные, а то, что стоит справа от знака равенства, также складывается друг с другом, и там тоже приводятся подобные.

Результатами подобных махинаций будет новое уравнение, которое, если и имеет корни, то они обязательно будут находиться среди корней исходного уравнения. Поэтому наша задача — сделать вычитание или сложение таким образом, чтобы или $x$, или $y$ исчез.

Как этого добиться и каким инструментом для этого пользоваться — об этом мы сейчас и поговорим.

Решение легких задач с применением способа сложения

Итак, учимся применять метод сложения на примере двух простейших выражений.

Задача № 1

Заметим, что у $y$ коэффициент в первом уравнении $-4$, а во втором — $+4$. Они взаимно противоположны, поэтому логично предположить, что если мы их сложим, то в полученной сумме «игреки» взаимно уничтожатся. Складываем и получаем:

Решаем простейшую конструкцию:

Прекрасно, мы нашли «икс». Что теперь с ним делать? Мы вправе подставить его в любое из уравнений. Подставим в первое:

\[-4y=12\left| :\left( -4 \right) \right.\]

Ответ: $\left( 2;-3 \right)$.

Задача № 2

Здесь полностью аналогичная ситуация, только уже с «иксами». Сложим их:

Мы получили простейшее линейное уравнение, давайте решим его:

Теперь давайте найдем $x$:

Ответ: $\left( -3;3 \right)$.

Важные моменты

Итак, только что мы решили две простейших системы линейных уравнений методом сложения. Еще раз ключевые моменты:

1. Если есть противоположные коэффициенты при одной из переменных, то необходимо сложить все переменные в уравнении. В этом случае одна из них уничтожится.
2. Найденную переменную подставляем в любое из уравнений системы, чтобы найти вторую.
3. Окончательную запись ответа можно представить по-разному. Например, так — $x=. y=. $, или в виде координаты точек — $\left( . ;. \right)$. Второй вариант предпочтительней. Главное помнить, что первой координатой идет $x$, а второй — $y$.
4. Правило записывать ответ в виде координат точки применимо не всегда. Например, его нельзя использовать, когда в роли переменных выступают не $x$ и $y$, а, к примеру, $a$ и $b$.

В следующих задачах мы рассмотрим прием вычитания, когда коэффициенты не противоположны.

Решение легких задач с применением метода вычитания

Задача № 1

Заметим, что противоположных коэффициентов здесь нет, однако есть одинаковые. Поэтому вычитаем из первого уравнения второе:

\[10x-\left( -6x \right)-3y-\left( -3y \right)=5-\left( -27 \right)\]

\[16x=32\left| :16 \right.\]

Теперь подставляем значение $x$ в любое из уравнений системы. Давайте в первое:

Ответ: $\left( 2;5 \right)$.

Задача № 2

Мы снова видим одинаковый коэффициент $5$ при $x$ в первом и во втором уравнении. Поэтому логично предположить, что нужно из первого уравнения вычесть второе:

\[6y=-18\left| :6 \right.\]

Одну переменную мы вычислили. Теперь давайте найдем вторую, например, подставив значение $y$ во вторую конструкцию:

\[5x-2\cdot \left( -3 \right)=-4\]

\[5x=-10\left| :5 \right.\]

Ответ: $\left( -3;-2 \right)$.

Нюансы решения

Итак, что мы видим? По существу, схема ничем не отличается от решения предыдущих систем. Отличие только в том, что мы уравнения не складываем, а вычитаем. Мы проводим алгебраическое вычитание.

Другими словами, как только вы видите систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, первое, на что вам необходимо посмотреть — это на коэффициенты. Если они где-либо одинаковые, уравнения вычитаются, а если они противоположные — применяется метод сложения. Всегда это делается для того, чтобы одна из них исчезла, и в итогом уравнении, которая осталась после вычитания, осталась бы только одна переменная.

Разумеется, это еще не все. Сейчас мы рассмотрим системы, в которых уравнения вообще несогласованны. Т.е. нет в них таких переменных, которые были бы либо одинаковые, либо противоположные. В этом случае для решения таких систем применяется дополнительный прием, а именно домножение каждого из уравнений на специальный коэффициент. Как найти его и как решать вообще такие системы, сейчас мы об этом и поговорим.

Решение задач методом домножения на коэффициент

Пример № 1

Мы видим, что ни при $x$, ни при $y$ коэффициенты не только не взаимно противоположны, но и вообще никак не соотносятся с другим уравнением. Эти коэффициенты никак не исчезнут, даже если мы сложим или вычтем уравнения друг из друга. Поэтому необходимо применить домножение. Давайте попытаемся избавиться от переменной $y$. Для этого мы домножим первое уравнение на коэффициент при $y$ из второго уравнения, а второе уравнение — при $y$ из первого уравнения, при этом не трогая знак. Умножаем и получаем новую систему:

Смотрим на нее: при $y$ противоположные коэффициенты. В такой ситуации необходимо применять метод сложения. Сложим:

Теперь необходимо найти $y$. Для этого подставим $x$ в первое выражение:

\[-9y=18\left| :\left( -9 \right) \right.\]

Ответ: $\left( 4;-2 \right)$.

Пример № 2

Вновь коэффициенты ни при одной из переменных не согласованы. Домножим на коэффициенты при $y$:

\[\left\< \begin& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end \right.\]

Наша новая система равносильна предыдущей, однако коэффициенты при $y$ являются взаимно противоположными, и поэтому здесь легко применить метод сложения:

Теперь найдем $y$, подставив $x$ в первое уравнение:

\[11\cdot \left( -2 \right)+4y=-18\]

Ответ: $\left( -2;1 \right)$.

Нюансы решения

Ключевое правило здесь следующее: всегда умножаем лишь на положительные числа — это избавит вас от глупых и обидных ошибок, связанных с изменением знаков. А вообще, схема решения довольно проста:

1. Смотрим на систему и анализируем каждое уравнение.
2. Если мы видим, что ни при $y$, ни при $x$ коэффициенты не согласованы, т.е. они не являются ни равными, ни противоположными, то делаем следующее: выбираем переменную, от которой нужно избавиться, а затем смотрим на коэффициенты при этих уравнениях. Если первое уравнение домножим на коэффициент из второго, а второе, соответственное, домножим на коэффициент из первого, то в итоге мы получим систему, которая полностью равносильна предыдущей, и коэффициенты при $y$ будут согласованы. Все наши действия или преобразования направлены лишь на то, чтобы получить одну переменную в одном уравнении.
3. Находим одну переменную.
4. Подставляем найденную переменную в одно из двух уравнений системы и находим вторую.
5. Записываем ответ в виде координаты точек, если у нас переменные $x$ и $y$.

Но даже в таком нехитром алгоритме есть свои тонкости, например, коэффициенты при $x$ или $y$ могут быть дробями и прочими «некрасивыми» числами. Эти случаи мы сейчас рассмотрим отдельно, потому что в них можно действовать несколько иначе, чем по стандартному алгоритму.

Решение задач с дробными числами

Пример № 1

Для начала заметим, что во втором уравнении присутствуют дроби. Но заметим, что можно разделить $4$ на $0,8$. Получим $5$. Давайте второе уравнение домножим на $5$:

Вычитаем уравнения друг из друга:

$n$ мы нашли, теперь посчитаем $m$:

\[4m-3\cdot \left( -4 \right)=32\]

Пример № 2

\[\left\< \begin& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end \right.\]

Здесь, как и в предыдущей системе, присутствуют дробные коэффициенты, однако ни при одной из переменных коэффициенты в целое число раз друг в друга не укладываются. Поэтому используем стандартный алгоритм. Избавится от $p$:

Применяем метод вычитания:

Давайте найдем $p$, подставив $k$ во вторую конструкцию:

\[2p-5\cdot \left( -2 \right)=2\]

\[2p-5\cdot \left( -2 \right)=2\]

Нюансы решения

Вот и вся оптимизация. В первом уравнении мы не стали домножать вообще ни на что, а второе уравнение домножили на $5$. В итоге мы получили согласованное и даже одинаковое уравнение при первой переменной. Во второй системе мы действовали по стандартному алгоритму.

Но как найти числа, на которые необходимо домножать уравнения? Ведь если домножать на дробные числа, мы получим новые дроби. Поэтому дроби необходимо домножить на число, которое бы дало новое целое число, а уже после этого домножать переменные на коэффициенты, следуя стандартному алгоритму.

В заключение хотел бы обратить ваше внимание на формат записи ответа. Как я уже и говорил, поскольку здесь у нас тут не $x$ и $y$, а другие значения, мы пользуемся нестандартной записью вида:

Решение сложных систем уравнений

В качестве заключительного аккорда к сегодняшнему видеоуроку давайте рассмотрим пару действительно сложных систем. Их сложность будет состоять в том, что в них и слева, и справа будут стоять переменные. Поэтому для их решения нам придется применять предварительную обработку.

Система № 1

\[\left\< \begin& 3\left( 2x-y \right)+5=-2\left( x+3y \right)+4 \\& 6\left( y+1 \right)-1=5\left( 2x-1 \right)+8 \\\end \right.\]

Каждое уравнение несет в себе определенную сложность. Поэтому с каждым выражением давайте поступим как с обычной линейной конструкцией.

\[3\left( 2x-y \right)+5=-2\left( x+3y \right)+4\]

\[6\left( y+1 \right)-1=5\left( 2x-1 \right)+8\]

Итого мы получим окончательную систему, которая равносильна исходной:

Посмотрим на коэффициенты при $y$: $3$ укладывается в $6$ два раза, поэтому домножим первое уравнение на $2$:

Коэффициенты при $y$ теперь равны, поэтому вычитаем из первого уравнения второе: $$

Теперь найдем $y$:

Ответ: $\left( 0;-\frac<1> <3>\right)$

Система № 2

\[\left\< \begin& 4\left( a-3b \right)-2a=3\left( b+4 \right)-11 \\& -3\left( b-2a \right)-12=2\left( a-5 \right)+b \\\end \right.\]

Преобразуем первое выражение:

\[4\left( a-3b \right)-2a=3\left( b+4 \right)-11\]

Разбираемся со вторым:

\[-3\left( b-2a \right)-12=2\left( a-5 \right)+b\]

Итого, наша первоначальная система примет такой вид:

Посмотрев на коэффициенты при $a$, мы видим, что первое уравнение нужно домножить на $2$:

Вычитаем из первой конструкции вторую:

Теперь найдем $a$:

Ответ: $\left( a=\frac<1><2>;b=0 \right)$.

Вот и все. Надеюсь, этот видеоурок поможет вам разобраться в этой нелегкой теме, а именно в решении систем простых линейных уравнений. Дальше еще будет много уроков, посвященных этой теме: мы разберем более сложные примеры, где переменных будет больше, а сами уравнения уже будут нелинейными. До новых встреч!

Источник

Сложение как способ словообразования. Примеры

Сложение — это мор­фо­ло­ги­че­ский спо­соб обра­зо­ва­ния слож­ных слов путем соеди­не­ния целых слов, их частей, началь­ных букв и зву­ков. Способом сло­же­ния в рус­ском язы­ке обра­зу­ют­ся суще­стви­тель­ные и прилагательные.

Выясним, что такое сло­же­ние как спо­соб обра­зо­ва­ния новых слов, рас­смот­рев спо­со­бы соеди­не­ния двух про­из­во­дя­щих основ в еди­ное целое.

Наиболее пло­до­твор­но сло­ва обра­зу­ют­ся мор­фо­ло­ги­че­ским спо­со­бом, кото­рый осу­ществ­ля­ет­ся при­со­еди­не­ни­ем к про­из­во­дя­щей осно­ве раз­лич­ных аффик­сов (при­став­ки, суф­фик­са, пост­фик­са) и их ком­би­на­ций. Новое сло­во мож­но полу­чить более слож­ным спо­со­бом, а имен­но сложением.

Что такое сложение в словообразовании?

Рассмотрим суть мето­да сло­же­ния как одно­го из эффек­тив­ных мор­фо­ло­ги­че­ских спо­со­бов сло­во­об­ра­зо­ва­ния. Сам тер­мин «сло­же­ние» про­зрач­но гово­рит о том, что что-то с чем-то складывается.

С помо­щью сло­же­ния воз­ни­ка­ют толь­ко слож­ные сло­ва. В сло­во­твор­че­стве участ­ву­ют как целые сло­ва, так и их части и даже началь­ные бук­вы и зву­ки сло­во­со­че­та­ний. В свя­зи с этим мож­но ука­зать сле­ду­ю­щие виды словосложения:

1. в еди­ное целое скла­ды­ва­ют­ся два само­сто­я­тель­ных сло­ва. Этот про­цесс сло­во­об­ра­зо­ва­ния осу­ществ­ля­ет­ся дву­мя способами:

а) без соеди­ни­тель­ной гласной

• вагон-ресторан;
• физик-ядерщик;
• грусть-тоска;
• друзья-приятели;

б) с соеди­ни­тель­ной гласной

• пен о стек­ло;
• шлак о блок;
• звук о режис­сёр;
• хлеб о завод;
• бур е вест­ник;
• юг о -восток;

2. соеди­не­ние части сло­ва с целым словом

• заве­ду­ю­щий скла­дом → завскладом;
• заме­сти­тель дека­на → замдекана;
• тан­це­валь­ный зал → танцзал;
• вете­ри­нар­ный врач → ветврач;

3. сло­же­ние сокра­щен­ных основ слов

• физи­че­ский факуль­тет → физфак;
• заве­ду­ю­щий гара­жом → завгар;
• город­ской отдел здра­во­охра­не­ния → горздрав;

4. сло­же­ние назва­ний началь­ных букв словосочетаний

• авто­ма­ти­че­ская теле­фон­ная стан­ция → АТС (а, тэ, эс);
• неза­ви­си­мое телевиде­ние → НТВ (эн, тэ, вэ);
• военно-воздуш­ные силы → ВВС (вэ, вэ, эс);
• морской воен­ный флот → МВФ (эм, вэ, эф);
• жизнь знаме­ни­тых людей → ЖЗЛ ( жэ, зэ, эл);

5. сло­же­ние началь­ных зву­ков слов

• госу­дар­ствен­ный инсти­тут теат­раль­но­го искус­ства → ГИТИС;
• москов­ский авто­мо­биль­ный завод → МАЗ;
• сред­ства массо­вой инфор­ма­ции → СМИ

Сложение сокра­щён­ных основ слов, букв и зву­ков обра­зу­ет новое сло­во, кото­рое назы­ва­ет­ся аббревиатурой.

При сло­во­об­ра­зо­ва­тель­ном раз­бо­ре сло­ва, а так­же выпол­няя тесто­вое зада­ние по рус­ско­му язы­ку, важ­но не при­нять любое слож­ное суще­стви­тель­ное или при­ла­га­тель­ное за обра­зо­ва­ние спо­со­бом сложения.

Многие лек­се­мы явля­ют­ся про­из­вод­ны­ми от слож­ных слов с помо­щью суф­фик­сов. Например, назва­ние воен­ной про­фес­сии «мино­мёт­чик» очень похо­же на слож­ное сло­во, обра­зо­ван­ное сло­же­ни­ем с помо­щью соеди­ни­тель­ной глас­ной -о-. А так ли это?

Определим, кто такой мино­мет­чик. Минометчик — это стре­лок из мино­ме­та. Вот и про­зву­ча­ло про­из­во­дя­щее сло­во «мино­мёт». Значит сло­же­ние было рань­ше, на преды­ду­щем эта­пе сло­во­об­ра­зо­ва­ния. Чтобы понять это, соста­вим сло­во­об­ра­зо­ва­тель­ную цепочку:

мин а, мета ть → мино­мёт → мино­мет чик

Приведем ана­ло­гич­ные при­ме­ры суф­фик­саль­но­го спо­со­ба обра­зо­ва­ния слов:

• пар , ходи ть → паро­ход → паро­ход ств о;
• желез о, бетон → желе­зо­бе­тон → желе­зо­бе­тон н ый;
• сад , води ть → садо­вод → садо­вод ческ ий;
• перв ый, откры­ва­тель → пер­во­от­кры­ва­тель → пер­во­от­кры­ва­тель ниц а.

Сложносуффиксальный способ образования слов

Очень часто сло­же­ние про­из­во­дя­щих основ слов с помо­щью соеди­ни­тель­ной глас­ной сопро­вож­да­ет­ся суффиксацией.

Сложносуффиксальным спо­со­бом обра­зу­ют­ся новые лек­се­мы, когда две про­из­во­дя­щие осно­вы свя­зы­ва­ют­ся в одно сло­во соеди­ни­тель­ной мор­фе­мой с добав­ле­ни­ем суф­фик­са к послед­ней части сложения:

бел ый снег → бел о снеж н ый.

Такой спо­соб сло­во­об­ра­зо­ва­ния явля­ет­ся очень продуктивным:

• земл я, про­хо­ди ть → земл е про­ход ец ;
• рук а, плес­ка ть → рук о плес­ка ни е;
• левый, берег → лев о береж н ый.

Сложение сле­ду­ет так­же отли­чать от дру­го­го спо­со­ба сло­во­об­ра­зо­ва­ния слож­ных лек­сем — сра­ще­ния, или слияния.

Сложение или слияние?

Слияние (сра­ще­ние) — это лексико-синтаксический спо­соб обра­зо­ва­ния новых слов. Суть его состо­ит в том, что новая лек­се­ма обра­зу­ет­ся путем «скле­и­ва­ния» его компонентов:

• наре­чия + прилагательного;
• наре­чия + причастия.

Понаблюдаем:

• мно­го, обе­ща­ю­щий → мно­го­обе­ща­ю­щий взгляд;
• низ­ко, летя­щий → низ­ко­ле­тя­щий самолёт;
• быст­ро, рас­тво­ри­мый → быст­ро­рас­тво­ри­мый кофе;
• высо­ко, точ­ный → высо­ко­точ­ный станок.

При этом спо­со­бе в сло­во­об­ра­зо­ва­нии участ­ву­ют наре­чия с конеч­ным суф­фик­сом -о/-е:

• мног о — мал о ;
• высок о — низк о ;
• далек о — близк о ;
• быстр о — мед­ленн о ;
• легк о — трудно;
• выш е — ниж е ;

В слож­ных сло­вах нет соеди­ни­тель­ной глас­ной в отли­чие от лек­сем, обра­зо­ван­ных сло­же­ни­ем. Обратим вни­ма­ние, что подав­ля­ю­щее боль­шин­ство слов, обра­зо­ван­ных сли­я­ни­ем, явля­ют­ся при­ла­га­тель­ны­ми. А сло­же­ние обра­зу­ет слож­ные существительные.

Видеоурок «Способы образования слов. Сложение основ»

Источник