Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения.
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения, т.е. уравнения с правой частью:
определяется следующей теоремой:
Если u = u (x) — частное решение неоднородного уравнения, а y1 , y2 , . . . , yn – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид y = u + C1y1 + C2y2 + . . . + Cnyn; иными словами, общее решение неоднородного уравнения равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.
Следовательно, для построения общего решения неоднородного уравнения надо найти одно его частное решение (предполагая уже известным общее решение соответствующего однородного уравнения).
Метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов). Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и только в том случае, когда его правая часть имеет следующий вид:
(или является суммой функций такого вида). Здесь а и β — постоянные, Рп (х) и Qт(x) — многочлены от х соответственно n-й и т-й степени.
Частное решение уравнения n-го порядка
(где f (х) имеет указанный вид, а a1 , a2 , . . . , an — действительные постоянные коэффициенты) следует искать в виде
Здесь r равно показателю кратности корня α + βi в характеристическом уравнении
(если характеристическое уравнение такого корня не имеет, то следует положить r = 0);
Pl (x) и Ql (x) — полные многочлены от х степени l с неопределенными коэффициентами, причем l равно наибольшему из чисел п и т (1 = п≥т, или l = m≥n):
Неопределенные коэффициенты можно найти из системы линейных алгебраических уравнений, получаемых отождествлением коэффициентов подобных членов в правой и левой частях исходного уравнения после подстановки в него и (х) вместо у.
Проверку правильности выбранной формы частного решения дает сопоставление всех членов правой части уравнения с подобными им членами левой части, появившимися в ней после подстановки и (х).
Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различных функций рассматриваемой структуры, то для отыскания частного решения такого уравнения нужно использовать теорему наложения решений: надо найти частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части, и взять их сумму, которая и является частным решением исходного уравнения (т. е. уравнения с суммой соответствующих функций в правой части).
Частными случаями функции f (х) рассматриваемой структуры (при наличии которых в правой части уравнения применим метод подбора частного решения) являются следующие функции:
Источник
Приёмы нахождения частного и остатка способом подбора
Тема: Приёмы нахождения частного и остатка.
Учитель: Ожогина С.В.
Цели: учить выполнять деление с остатком методом подбора; закреплять вычислительные навыки, умение решать задачи изученных видов.
Планируемые результаты: учащиеся научатся выполнять деление с остатком разными способами и оформлять запись в столбик; решать задачи изученных видов; работать в парах; выполнять задания творческого и поискового характера.
1) Организационный момент. Мотивационный настрой.
-Ребята, класс – это одна семья, а в семье необходимо друг друга поддерживать. Давайте дружно потрудимся, совместно преодолевая трудности. Сегодня на уроке нам нужно показать всё то, чему мы научились на уроках математики.
-Вы готовы к работе? Удачи вам.
-Свои математические умения, оценивать вы будете самостоятельно на листе самооценки. Подпишите их.
Знание таблицы умножения
Знание названий компонентов умножения и деления
Умение выполнять деление с остатком
Умение решать задач
Умение находить значение числовых выражений
Умение дружно трудиться
Оценка за урок, которую поставил бы я себе
2) Актуализация теоретических знаний.
-О каком математическом действии больше всего мы говорили на последних уроках математики? (делении)
-Какое математическое действие является основой для действия деления? (умножение)
-Давайте вспомним названия компонентов действия деления. (делимое, делитель, частное)
3) Устный счёт. Минутка чистописания.
-Давайте немного разомнёмся, как спортсмены перед началом демонстрации своих умений. Проведём устный счёт, совместив его с минуткой чистописания. Запишите в тетрадях число, классная работа. Я диктую примеры, ваша задача правильно и аккуратно записывать ответы в тетрадь. (Проверка: после записи каждого ответа, один ученик называет ответ)
7*4, 5*3, 8*8, 9*2, 48:6, 4*5, 30*1, 14:2, 25:5, 7*7, 0*1, 17:17, 54:6, 18:3, 3*3, 4*2, 56:7, 24:6, 50:10, 8*9, 3*2, 30:3, 40:2, 8*5.
-Какие знания пригодились? (знания таблицы умножения)
-Оцените свои умения в оценочном листе в графе «Знание таблицы умножения и названий компонентов».
4) Самоопределение к деятельности.
-Ребята, на доске записан пример 34:9 . В чём его особенность? (пример на деление с остатком)
-По какому правилу, алгоритму мы с вами находим значение таких числовых выражений? (Подбираем самое большое число к делителю, которое делится на делитель без остатка. Сколько не поделилось нацело, т.е. остаток, ищем вычитанием.)
-Два ученика решали этот пример. У них завязался спор, один сказал, что самое большое число, которое делится нацело без остатка – это 30. А другой сказал, что это 32. Как вы думаете, почему у ребят могли возникнуть разные варианты? ( Кто-то из них не смог вспомнить самое большое число)
-А у вас могут возникнуть такие затруднения?
— Какой вы предложите выход из данного спора?
-Как вы думаете, чем мы сейчас заниматься? (Искать выход из таких ситуаций)
5) Работа по теме урока.
5.1 Знакомство с новым способом.
— Когда вы не можете вспомнить самое большое число, тогда можно воспользоваться способом подбора частного.
— Прочитайте, как выполнить деление с остатком методом подбора, на с. 29.
— Как определить, правильно ли подобрано частное?
— Какой должен получиться остаток?
9*2=18, 34-18=16, 16>9 (не подходит)
— Когда можно воспользоваться этим способом? (когда не можешь вспомнить самое большое число)
— А ещё, ребята, такой способ можно применять, когда случай не табличный.
5.2 Применение нового способа.
— На доске примеры: 53:8, 78:9, 25:10, 38:11, 50:20.
— Давайте решим данные примеры, где нужно, будем применять способ подбора частного.
5.3 Самостоятельная работа в парах.
-Решите примеры самостоятельно, работая в парах: 43:8=, 64:7=
— Давайте оценим себя на листах самооценки в графе «Умение выполнять деление с остатком»
5.4 Решение задач.
— Назовите общее количество самолетов.
— Что значит «сколько троек может подняться в небо»? По сколько их надо разделить?
— Сделаем схематический рисунок.
— Сколько троек самолетов поднялось в небо? (6.)
— Сколько самолетов осталось? (2.)
— Запишите решение задачи выражением. (20:3 = 6(ост. 2).)
— Какими еще способами можно узнать, сколько троек в 20 самолетах? (Вспомнить наибольшее число до 20, которое делится на 3, или найти частное методом подбора.)
— Как оформить краткую запись? (С помощью таблицы.)
— Что надо узнать в задаче? (На сколько дней хватит 80мешков муки.)
— Что такое 48 мешков, 80 мешков? (Общий расход муки.)
— Что обозначает число 3? (Количество дней, за которые расходуют 48 мешков.)
— Какого столбца не хватает? (Расход муки в день.)
Расход муки в день
Общий расход муки
— Составьте программу решения.
— Запишите решение задачи одним выражением. (80:(48:3) = 5 (д.).)
( Тем, кто справится с заданием быстрее остальных, дополнительно можно предложить выполнить № 6 (с. 29). Ответ:1-ая ваза у Пети, 2-ая ваза у Кати, 3-ья — у Оли.)
— Давайте оценим себя на листах самооценки в графе «Умение решать задачи»
5.4 Решение числовых выражений на порядок действий.
№ 5 (с.29) – три ученика у доски, представители каждого ряда. Решаем по строкам: 1-ый ряд -1-ая строка, 2-ой ряд –вторая строка, 3-ий ряд – третья строка.
38:19+42:3= (47+8):11= 3*(72-60)=
28:2*3+8= 90-9:9= 82-25:5=
— Оцените свою работу на уроке. Ответьте на вопрос. Над чем мне ещё нужно поработать, чтобы преодолеть трудности……
— Оцените своё умение дружно работать, поставьте себе оценку за урок. Сдайте листы самооценки учителю.
VIII . Подведение итогов урока
— Какой метод деления с остатком мы использовали сегодня на уроке?
— Как проверить, правильно ли подобрано число?
— Почему остаток не может быть больше делителя?
— Полезен ли вам новый способ деления с остатком?
Учебник: № 5 (с. 29)- если не успеем на уроке.
— Рабочая тетрадь: № 95 (с. 36).
— Творческое задание по желанию: придумать примеры на деление с остатком для своих одноклассников.
Источник
Когда используется способ подбора частного
За оценкой животных и отбором самых лучших из них на племя следует работа по составлению наилучшим образом сочетающихся пар, то есть по подбору. Под подбором в животноводстве понимают наиболее целесообразное составление из отобранных животных родительских пар с намерением получить от них потомство желательных качеств. Именно с помощью целеустремленного подбора накапливаются, закрепляются ценные наследственные качества животных, обеспечивая при каждой смене поколений непрерывное совершенствование стада и породы. Подбор — наиболее действенный прием улучшения существующих и создания новых, более ценных пород сельскохозяйственных животных.
По форме практического осуществления подбор может быть индивидуальным и групповым.
При индивидуальном подборе решается вопрос, каким из имеющихся в хозяйстве или на племпредприятии производителем осеменить ту или иную матку, чтобы получить приплод наилучшего качества. При этом учитывают количественные и качественные показатели продуктивности матки, ее конституцию, экстерьерные формы, происхождение и другие признаки, а также сочетаемость всех этих особенностей с качествами производителя. Анализ происхождения матки и производителя и знание результатов подбора прошлых лет позволяют лучшим образом использовать при подборе генеалогическую сочетаемость.
Индивидуальный подбор дает возможность обеспечить наиболее эффективное развитие наследственных качеств приплода от умело подобранных родителей и, как правило, при индивидуальном подборе получают наиболее ценное потомство. Но он отличается большой сложностью, требует систематического ведения учета всех индивидуальных качеств значительного числа производителей. Поэтому индивидуальный подбор, как основной, используют в племенных хозяйствах. В товарных хозяйствах используется, где хорошо организована племенная работа и по отношению к отдельным, наиболее ценным по продуктивным и племенным качествам маткам. Применяют его при совершенствовании пород крупного рогатого скота и лошадей, в свиноводстве и овцеводстве его использование ограничено, а при работе с другими видами животных индивидуальный подбор не применяют.
Групповой подбор состоит в том, что к группе маток, относительно сходных по общим или отдельным особенностям, подбирают одного или двух производителей определенного качества и происхождения. Например, в табунном коневодстве в косяк маток пускают подобранного жеребца-производителя, где он находится в течение всего случного периода. В молочном и молочно-мясном скотоводстве за всем стадом фермы закрепляют одного, двух производителей, находящихся на племпредприятии. В условиях массового применения искусственного осеменения животных групповой подбор является основным для товарных ферм.
Какие бы формы подбора не использовались, они решают общую задачу — получать в каждом последующем поколении животных более высокого качества по сравнению с предыдущими поколениями. В связи с этим нужно ориентироваться на общие принципы подбора: « лучшее с лучшим производит лучшее». Использование этого принципа не потеряло своего значения и в настоящее время и направлено на то, чтобы, отбирая лучших маток и подбирая к ним еще более ценных производителей, получать каждое новое поколение животных самого высокого качества не хуже, а по возможности лучше своих матерей. Поэтому при подборе руководствуются требованием, чтобы производитель по своим племенным качествам был выше маток, с которыми он спаривается.
В практике племенной работы приходится считаться с тем, что не все животные стада являются «лучшими», кроме них, нужно работать и с худшими. Поэтому существует еще один принцип подбора — «худшее с лучшим улучшается». Задача племенной работы состоит в том, чтобы, кроме использования самых лучших животных, получать и от худшей части стада более качественное потомство путем подбора лучших, чем матки, производителей.
2. Методы подбора
В начале 19 века были определены два основных метода подбора:
1) гомогенный (однородный);
2) гетерогенный (разнородный).
Гомогенный (однородный) подбор. Сущность его заключается в том, что матки и подбираемые к ним производители относительно сходны по главным признакам подбора. Гомогенный подбор применяют с целью сохранения, закрепления и усиления выраженности в потомстве ценных, наиболее желательных наследственных качеств. Такой подбор увеличивает в каждом последующем поколении однородность животных по выраженности желательных продуктивных качеств и повышает наследуемость, улучшая их племенные достоинства. Такой подбор чаще обеспечивает получение препотентных животных, т.е. животных, стойко передающих свои качества потомству.
Степень сходства между подобранными друг к другу животными может быть различной. Чем она больше, тем в значительной мере сказывается закрепляющее действие гомогенного подбора и выше степень наследования признаков. Крайним вариантом гомогенного подбора является родственное спаривание — инбридинг.
Однородность (сходство) спариваемых животных может быть по одному и нескольким признакам. Например, в молочном и молочно-мясном скотоводстве гомогенным подбором можно закреплять и усиливать способность животных к большим удоям, но можно одновременно консолидировать высокую молочность и жирномолочность. Для накопления генетического потенциала в стаде и породе в целом имеет значение использование потомства животных с рекордной продуктивностью. Немалую роль в получении таких животных играет гомогенный подбор. Но при наличии у животных, даже отобранных на племя, существенных недостатков (например, пониженная жирность молока при высоких удоях) исправить их гомогенным подбором нельзя. Более того, такие недостатки при гомогенном подборе могут накапливаться и усиливаться в стаде. Поэтому нельзя спаривать животных, имеющих одинаковые недостатки и пороки.
Иногда на отдельных этапах племенной работы ставится задача не только сохранения и усиления характерных для породы ценных признаков, но и получения животных с дополнительными новыми качествами, которыми не обладали в нужной степени даже лучшие животные стада. К таким качествам относится, например, улучшение экстерьера у некоторых ценных специализированных пород молочного скота, улучшение свойств молокоотдачи и приспособленности к прогрессивной технологии животных молочных и молочно-мясных пород. В таких случаях обойтись использованием только гомогенного подбора невозможно. Нельзя его применять и для быстрого повышения в стаде жизнеспособности, конституциональной крепости и плодовитости.
Гетерогенный (разнородный) подбор. Его суть состоит в том, что спариваемые животные заведомо различаются по признакам подбора. Основными признаками подбора служат продуктивные качества животных и связанные с ними экстерьерно-конституциональные особенности, а также породность и происхождение. Кроме того, спариваемые животные могут различаться по возрасту. Степень гетерогенности может быть неодинаковой. Различаясь по одному или нескольким признакам, животные могут быть сходны по другим.
Использование гетерогенного подбора дает возможность получить потомство, в котором удачное сочетание наследственности одного и другого родителя обусловливает развитие наиболее желательных качеств. Такое потомство обладает обогащенной, но менее устойчивой наследственностью. Оно в массе своей характеризуется меньшей однородностью, чем при гомогенном подборе, а повышенная изменчивость дает более богатый материал для отбора.
Гетерогенный подбор используют и для того, чтобы недостатки, свойственные одному из родителей, не повторялись у потомков. При этом нельзя один недостаток или порок исправлять подбором такого производителя, который имеет диаметрально противоположный недостаток. Нельзя также к животным, имеющим один недостаток, подбирать для его исправления производителя, улучшающего этот признак, но обладающего другим недостатком. Например, к корове, характеризующейся высокими удоями, но низким содержанием жира в молоке, не следует подбирать производителя, оцененного по качеству потомства как улучшатель жирномолочности, но является ухудшателем обильномолочности, что приведет к потере желательного хозяйственно полезного признака, которым обладает корова. Во всех этих случаях нельзя добиться улучшения потомства. Более того, различные недостатки могут «размножаться» в стаде и, кроме существующих , появятся другие. Поэтому имеющиеся у отдельных животных недостатки или пороки в развитии какого-либо признака надо исправлять подбором безукоризненного во всех отношениях производителя, характеризующегося отличной выраженностью тех свойств, которые необходимо улучшить.
Нередко при гетерогенном подборе вследствие сочетания наследственных особенностей родителей появляются новые ценные качества потомства, которых у каждого из родителей в отдельности не было. Удачные генеалогические сочетания могут привести и к гетерозису в развитии тех или иных признаков. Ценной особенностью гетерогенного подбора является повышение в потомстве жизнеспособности, конституциональной крепости и плодовитости, что обусловлено наследственным несходством, биологической разнокачественностью половых клеток спариваемых животных.
К гетерогенному подбору относят также случаи, когда при совершенствовании или создании породы для внесения новых наследственных признаков или быстрого улучшения того или иного желательного качества используют производителей другой породы. Таким образом, крайний вариант гетерогенного подбора — межпородное скрещивание.
3. Гетерозис и его использование в животноводстве
Гетерозис — свойство животных превосходить лучшую из родительских форм по жизнеспособности, энергии роста, плодовитости, конституциональной крепости, устойчивости к заболеваниям.
Некоторые ученые считают гетерозисным эффектом и те случаи, когда потомство, полученное в результате скрещивания, имеет показатели хозяйственно полезных признаков, превышающие средние между родительскими формами, не превосходя лучшие из них.
Селекция на получение гетерозиса непосредственно связана с теорией и практикой племенного отбора и подбора и служит одним из путей повышения продуктивности животных. Гетерозис по своей генетической природе противоположен инбредной депрессии. Одной из особенностей его является наибольшая степень выраженности лишь в 1 поколении гибридов или помесей. Затем гетерозис незаметно затухает и исчезает в следующих поколениях при скрещивании гибридов друг с другом, если не принимается специальных мер для сохранения эффекта гетерозиса.
Попыток вскрыть механизм самого процесса сочетаемости наследственных факторов, обусловливающего эффект гетерозиса, было много. Термин «гетерозис» в науку ввел А. Шелл (1914), под которым он понимал гибридную силу, вызванную стимулирующим действием гетерозиготности.
Ряд ученых считает, что каждый новый ген возникает в гетерозиготном состоянии и подвергается действию естественного отбора. Многие из вновь возникших изменений генов обладают множественным действием. В одном направлении это действие полезно, в другом нейтрально или даже вредно для организма. В процессе эволюции выживают те организмы, у которых положительное действие генов выявилось в гетерозиготном состоянии, а вредное оказалось в рецессивном. Возникновение генов с двойным действием является следствием эволюционного процесса. Гетерозис прежде всего полезен самому организму животного, происходящему от скрещивания. Отсюда следует, что высокая степень гетерозиготности — причина гетерозиса.
А. Шелл и О. Ист предложили гипотезу сверхдоминирования. Суть ее заключается в том, что высокая гетерозиготность лучше, чем гомозиготность, обеспечивает разнообразие и усиление физиологических функций организма. Х.Ф. Кушнер на основании большого числа экспериментов выделил пять форм проявления гетерозиса, используемого в животноводстве:
гибриды или помеси 1 поколения превосходят своих родителей по живой массе и жизнеспособности;
Контрольные вопросы
- Перечислите формы подбора
- Перечислите методы подбора
- Гетерозис и его использование в животноводстве
|
|
