Китайское умножение
В азиатских странах принято умножать числа не в столбик, а рисуя линии. Для восточных культур важно стремление к созерцанию, и визуализации, поэтому, наверное, они и придумали такой красивый метод, позволяющий перемножать любые числа. Сложен этот способ только на первый взгляд. На самом деле, большая наглядность позволяет использовать этот способ гораздо эффективнее, чем умножение в столбик.
Кроме того, знание этого древнего восточного этюда повышает Вашу эрудицию. Согласитесь, не каждый может похвастаться тем, что знает древнюю систему умножения, которой китайцы пользовались еще 3000 лет назад.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| kitayskaya_sistema_umnozheniya.pptx | 252.88 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Китайская система умножения Большинство способов умножение базируются на знании таблицы умножения. Но есть несколько способов, не требующих этого навыка. Яркий этому пример китайское умножение. Работу выполнил ученик 5 класса Купалов Павел
Китайская система умножения . Суть китайского метода состоит в визуализации произведения с помощью графического изображения процесса умножения. Другими словами, числа изображаются в виде прямых линий, сотни, десятки и единицы отделяются промежутками и располагаются параллельно друг другу на плоскости. Один из множителей располагается горизонтально сверху вниз, второй — вертикально слева направо. Количество пересечения линий, образующих десятки при умножении двузначных чисел, будет первой цифрой в произведении. Точки пересечения десятков и единиц — вторая цифра результата, количество точек, образовавшихся при пересечении всех единиц — третья цифра .
Китайская система умножения . Двухзначные числа Перемножим два двузначных числа: 13*12=156 Шаг 1 Горизонтально рисуем линии первого числа 13: Единицу – одной линией. Тройку – чуть ниже тремя параллельными линиями Шаг 2 Вертикальными линиями слева направо рисуем второе число 12: Единицу – одной линией Двойку – чуть отступив вправо двумя линиями Шаг 3 Подсчитываем количество точек в трех группах: Левый верхний угол – 1 (Сотни) Правый верхний и левый нижний углы (Диагональ) – 5 (Десятки) Правый нижний угол – 6 (Единицы) Шаг 4 Подсчитываем результат:
Китайская система умножения. Трёхзначные числа. Перемножим два трехзначных числа:123 * 321 = 39483 Шаг 1 Горизонтально рисуем линии первого числа: Единицу – одной линией Двойку — чуть ниже двумя параллельными линиями Тройку – чуть ниже тремя параллельными линиями Шаг 2 Вертикальными линиями слева направо рисуем второе число: Тройку – чуть отступив вправо тремя линиями Двойку – чуть отступив вправо двумя линиями Единицу – чуть отступив вправо одной линией Шаг 3 Подсчитываем количество точек в пяти группах: Первая – 3 (десятки тысяч) Вторая — 8 (тысячи) Третья – 14 (сотни) – 1 плюсуется к 8 Четвертая – 8 (десятки) Пятая – 3 (единицы ) Шаг 4 Подсчитываем результат — 39483
Источник
Китайский алгоритм умножения
В Китае существуют множество техник вычисления, которые можно использовать по сей день, например:
«Китайский» алгоритм умножения трехзначных чисел, имеющий популярность на сайте Youtube, основан на законе дистрибутивности операции умножения, относительно операции сложения:
Рассмотрим этот алгоритм на примере умножения 242 и 121
Или, к примеру, чтобы устно умножить на 4, число дважды нужно умножить на два. Например: 51*2*2= 102*2=204
А если умножать на 5, то сначала умножают на 10, а после делят на 2.
Если число четное, легче сначала поделись на 2, а затем умножить на 10.
Например: 23*10:2 = 230:2=115; 16:2*10= 8*10=80
Чтобы устно умножить на 1,5, прибавляют множимому его половину.
Деление чисел происходит примерно так же, но в обратную сторону, т.е. если нам надо разделить на 4, число нужно дважды разделить на 2.
Для деления на 5, число нужно умножить на 2 и разделить на 10.
А для только что бы разделить на 1,5, число умножается на 2 и делится на три.
Запись цифр
Согласно данным, собранным при изучении надписей на иньских гадательных костях, уже в XIV–XIII вв. до н.э. китайцы обладали достаточно развитой десятичной системой счисления с зачатками применения позиционного принципа. В такой же системе записаны числа на чжоуских монетах и бронзовых сосудах. Однако при этом частично использовались другие по форме цифровые знаки (рис. 1).
Все иньские и чжоуские цифры можно разделить на две группы. В первую входят цифры, обозначающие числа от 1 до 9 («и», «эр», «сань», «сы», «у», «лю», «ци», «ба», «цзю»). Число 1 символизируется одной горизонтальной чертой, а числа от 2 до 4 (иногда и 5) – количественно соответствующими сочетаниями горизонтальных черт. Для чисел от 5 до 9 выбраны знаки, происхождение которых неясно. Во вторую группу входят цифры 10, 100, 1000 и 10 000 («ши», «бай», «цянь», «вань»). Цифра 10, представляющая собой вертикальную черту, возникла, возможно, как поворот на 90 градусов цифры 1, поскольку такой же принцип, но только в противоположной записи, встречается в выражении чисел 1 и 10 с помощью счетных палочек. Происхождение цифр 100, 1000 и 10 000 неясно.
Запись всех чисел, применявшихся китайцами в эпохи Шан-Инь и Чжоу, осуществлялась с помощью указанных цифр путем их сочетаний, варьирующихся по положению и допускающих вариации форм исходного набора знаков. Например, числа 11, 12 и 13 записывались с помощью вертикальной черты и помещенных справа или слева от нее соответственно одной, двух и трех горизонтальных. Числа 20, 30 и 40 записывались как сочетания двух, трех и четырех вертикальных черт, подобных цифре 10, но изогнутых и соединяющихся книзу так, что они образуют знаки в форме вил соответственно с двумя, тремя и четырьмя зубьями. В чжоускую эпоху те же числа записывались еще как цифра 10, перечеркнутая соответственно двумя, тремя и четырьмя горизонтальными чертами. Цифры 100 и 1000 являются, по сути, сочетаниями единицы (горизонтальная черта) и неких знаков, обозначающих соответственно сотый и тысячный разряды и не встречающихся в «свободном состоянии». Так, числа 200 и 300 обозначаются символом 100, у которого сверху добавляются соответственно одна и две горизонтальные черты, а числа 2000 и 3000 – символом 1000, который дополнительно перечеркивается одной или двумя горизонтальными чертами. В общем случае исходные знаки для 100 и 1000 без горизонтальных черт дополняются той или иной цифрой из набора 1–9 при необходимости выразить соответствующее число сотен и тысяч. За исключением упомянутой выше разновидности записи чисел 20, 30 и 40, числа десятичного разряда выражаются схожим способом, отличающимся лишь тем, что знак этого разряда и цифра 10 не различаются (насколько известно по найденным образцам иньской и чжоуской цифровой записи), хотя внутренняя логика системы этого требовала. Таким образом, сочетая в горизонтальной или вертикальной записи, составленные указанным способом цифры, древние китайцы могли записать любое число от 1 до 99 999.
После реформ письменности, осуществлявшихся во время царствования династий Цинь и Ранняя Хань, в Китае установилась иероглифическая форма цифр, которой китайцы пользуются до сих пор при записи чисел и которая базируется на старом написании, но является полностью именованной.
Она десятичная, непозиционная, с мультипликативным принципом записи чисел. Это значит, что в ней существуют девять цифр и обозначения десятичных разрядов (рис. 2,1-я колонка таблицы).
Всякое число любого разряда за исключением единичного может быть записано и произнесено с помощью этих знаков (двух иероглифов): сначала ‒ цифра, обозначающая число единиц разряда, за ней ‒ название самого разряда. Например, число 1234 записывается как «и» «цянь» «эр» «бай» «сань» «ши» «сы», что в буквальном переводе означает «одна тысяча две сотни три десятка четыре» (в русском языке «одна тысяча двести тридцать четыре»). А число 38071 ‒ как «сань» «вань» «ба» «тянь» «чи» «ши» «и» и представляется так (см. рисунок слева).
Такого рода нумерацию, один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии Древнего мира Б. Л. ван дер Варден называет именованной позиционной. Стоит в ней только опустить названия разрядов и ввести нуль, как она превратится в позиционную.
Большие числа
Для счета древнему китайцу сначала было достаточно четырех разрядов, которые и образовали первый класс: единицы «и», десятки «ши», сотни «бай», тысячи «чень». Свидетельством этого служит фраза из «Истории Ранней Хань» 1 , приписываемая исторической традицией Бань Гу: «Счет ведут единицами, десятками, сотнями, тысячами и ванями».
Действительно, «вань», то есть 10 000 первоначально считался предельным числом. В «Цзо чжуань» 2 говорится: «Вань есть полное число».
В иньских числовых записях всегда указывалось: один десяток или первый из десяти, одна сотня, одна тысяча, но «вань» писали без слова «один». Современные иероглифы для десятков, сотен, тысяч ‒ комбинации единицы с древним иероглифом для этих разрядов (см. рис. 4) и в более поздние времена, «ванъ» употреблялся для выражения неопределенно больших количеств (к сравнению ‒ даже современное «ваньсуй», означающее десять тысяч лет в смысле «да здравствует»), часто с эпитетами: «большой», «громадный», «огромный». Например, в «Исторических записках» Сыма Цяня (II в. до н. э.) говорится: «В казначействе скоро будут сотни громадных ваней золотых монет».
В «Истории Ранней Хань», сообщается: «Расходы исчислялись десятками, сотнями огромных ваней», ‒ фраза, которая цитировалась и в нашем столетии, когда говорили о безумных тратах. «На работы потратили больших ваней более сотни».
Иногда же просто говорили: «Умершие исчислялись ванями, так что реки не могли течь» ( фраза из «Истории Поздней Хань»).
Или там же: «Клеветники исчислялись ванями».
Но границы человеческой деятельности постепенно раздвигались, и наступило время, когда потребовались еще большие числа. Начиная со II‒III вв. до н.э., а в отдельных случаях гораздо раньше в Китае стали применять числа, бóльшие ваня.
Сначала, по-видимому, название давали каждому новому разряду ваня: 10 5 , 10 6 , 10 7 , . . . , 10 12 (см. столбец I табл. 1).
Иногда это делали, начиная с третьего разряда, однако это было неэкономно. Поэтому стали использовать для высоких классов порядок построения первого класса, употребляя названия его разрядов, и тогда каждое новое название надо было давать только единицам очередного нового класса 10 4 , 10 8 , 10 12 . . . . , 10 36 (см. столбец III табл. 1). Пример такого числа содержится в тексте «Цзю чжансуань шу» i : 1 644 866 437 500 (объем сферы в «чи»). Иероглифами это число записывается следующим образом: 1 «вань» 6 тысяч 4 сотни 4 десятка 8 «и» 6 тысяч 6 сотен 4 десятка 3 «ваня» 7 тысяч 5 сотен.
В четвертом классе этого числа новая единица не названа, в третьем ‒ это «и», хотя в более ранних текстах она обозначается иероглифом «чжао». «И» и «чжао» обнаружены в исторических книгах «Лицзи» и «Цзочжуань» (около IV в. до н. э.).
В эпоху Тан (VII‒IX вв. н. э.) эти две системы именовали «большим» и «малым» счетом ‒ так называл их Кун Ин-да, комментатор «Лицзи».
Еще более экономный способ построения системы больших чисел состоит в том, чтобы до 10 8 поступать, как следует по правилам второго столбца таблицы, а далее в следующих классах использовать всякий раз все названия вплоть до 10 8 . Приведенный выше пример из «Математики в девяти книгах», вероятно, выражен в такой системе. В этом случае новые названия потребуются лишь через восемь разрядов: 10 8 , 10 16 , 10 24 , . . . , 10 80 (см. столбец IV табл. 1). Самый быстрый рост степеней ‒ это когда всякий раз удваивается их счет: 10 4 , 10 8 , 10 м , 10 32 , 10 64 , . . . , 10 122 (eta. столбец V табл. 1). В математических трактатах указывалось несколько систем, так что пользующийся мог применять любую из них. Например, в «Математическом трактате Сунь-цзы» указаны «обычная система» и «большой счет» (дату, см. столбцы II и IV табл. 1). А в книге «Шу ту цзи и» (VI в. н. э.) указаны три класса (см. столбец II табл. 1) счета: «нижний», «средний», «верхний», что можно перевести также как «малый», «средний», «большой» (см. столбцы I, III, V табл.1). Это часто поясняет Чжэнь Луань в своих комментариях к древним текстам в трактатах «Десятикнижья».
Подобный разнобой в наименованиях разрядов больших чисел наблюдался у других народов.
Из всего разнообразия систем в Китае утвердилась система, в которой показатели степеней основания составляют арифметическую прогрессию с разностью, равной четырем (см. столбец III табл. 1).
Источник
Обмен опытом
Суть китайско-японского метода
Суть китайского метода состоит в визуализации произведения с помощью графического изображения процесса умножения. Другими словами, числа изображаются в виде прямых линий, сотни, десятки и единицы отделяются промежутками и располагаются параллельно друг другу на плоскости. Один из множителей располагается горизонтально сверху вниз, второй — вертикально слева направо. Количество пересечения линий, образующих десятки при умножении двузначных чисел, будет первой цифрой в произведении. Точки пересечения десятков и единиц — вторая цифра результата, количество точек, образовавшихся при пересечении всех единиц — третья цифра.
Перемножим два двузначных числа: 13*12=156
Шаг 1 Горизонтально рисуем линии первого числа 13:
Единицу – одной линией. Тройку – чуть ниже тремя параллельными линиями
Шаг 2 Вертикальными линиями слева направо рисуем второе число 12:
Единицу – одной линией
Двойку – чуть отступив вправо двумя линиями
Шаг 3 Подсчитываем количество точек в трех группах:
Левый верхний угол – 1 (Сотни)
Правый верхний и левый нижний углы (Диагональ) – 5 (Десятки)
Правый нижний угол – 6 (Единицы)
Шаг 4 Подсчитываем результат:
Перемножим два двузначных числа: 15*23=345
Источник
