Кинематический способ линий влияния

2.7. Кинематический способ построения линий влияния

Кинематический способ построения линий влияния основан на принципе возможных перемещений (принцип Лагранжа). Если система твёрдых тел, связанная между собой идеальными связями, находится в равновесии, то сумма работ всех заданных сил на любых сколь угодно малых возможных перемещениях равна нулю.

Идеальными считаются такие связи, в которых отсутствуют трение, обмятия узлов и другие аналогичные явления. Возможными считаются такие перемещения, какие допускают идеальные связи.

В соответствии с этим методом каждая линия влияния представляет собой эпюру перемещений. Рассмотрим построение линии влияния опорной реакции (рис. 2.15) для однопролётной балки АВ.Поместив подвижную единичную силуFв произвольную точку, отбрасывают опорную связь в точкеА.

Под действием силы F=1балка АВ,ставшая механизмом, повернётся вокруг опорыВна угол,а перемещение точки под силой F=1составит величину у.

В соответствии с принципом Лагранжа можно записать следующее выражение:

абота силы взята со знаком минус, так как силаR_Aпротивоположна направлению перемещения точки А.Учитывая то, что F =1,из (2.9) найдёмR_A= 1у.

Если ординаты возможных перемещений выразить как функцию угловой скорости возможного вращения вокруг шарнира В,то выражение величины опорной реакции получит такой же вид, как и выражение (2.1),

т. е. R_A=F. Исходя из это- го, когда подвижная силаF =1 будет находиться над опоройА,

станет соблюдаться равенство у=.

При построении линии влияния момента для превращения балки АВв механизм (рис. 2.16) в сечение, для которого требуется построить эту линию влияния, вводят условный шарнир. Высвободившееся усилие обозначают символомM. Введение шарнира даёт балке возможность провиснуть, и эпюра возможных перемещений такой балки охарактеризуется двумя прямыми, взаимно пересекающимися на вертикали под шарниром. Восстановление равновесия может быть достигнуто приложением в рассматриваемом сечении двух равных взаимно противоположных моментовМ.

Выражение возможной работы в этом случае примет следующий вид:

Учитывая то, что F=1,из (2.10) найдёмМ= .

Величины угловых смещений и по их малости могут быть заменены тангенсами, а именнока,тогда последнее выражение примет вид:

М = .(2.11)

По выражению (2.11) можно найти ординаты линии влияния М.

При построении линии влияния поперечной силы Qдля превращения балкиАВв механизм (рис. 2.17) в сечение, в котором требуется построить эту линию влияния, вводят условное устройство, допускающее только взаимный сдвиг звеньев балки между собой.

Выражение возможной работы в этом случае примет вид

Откуда с учётом того, что с+с ′ =, находят

Q = . (2.12)

2.8. Определение расчётного положения

подвижной системы нагрузок

Расчётное положение подвижной системы сосредоточенных сил над линией влияния усилия Sсоответствует maxили minискомой величины этого усилия. В общем случае искомое усилиеSможет иметь несколько экстремальных (maxили min)значений.

В тех случаях, когда искомое усилиеS=f(x),представляет собой функцию положения системы сил на балке, и её первая производная, являющаяся непрерывной функцией, из условияdS/dx = 0можно найти положение подвижной системы сосредоточенных сил, при которых S=f(x)достигает экстремального значения.

Рассмотрим определение экстремального значения усилия Sпри загружении треугольных линий влияния.

Для случая, когда вершина треугольника линии влияния находится в начале или в конце линии влияния (рис. 2.18), экстремальным положение подвижной системы сосредоточенных нагрузок будет тогда, когда вся наибольшая нагрузка находится над вершиной линии влияния или вся система нагрузок находится над всей линией влияния, начиная с её вершины.

То или иное расположение нагрузки зависит от количественных значений каждой из нагрузок, составляющих данную подвижную систему.

В случае, когда подвижная нагрузка представляет собой равномерно распределённую нагрузку, экстремальным будет такое (рис. 2.19) расположение этой нагрузки, когда ординаты этой линии влияния, находящиеся в начале и конце действия распределённой нагрузки у_ни у_к,будут равны между собой.

При загружении треугольной линии влияния системой сосредоточенных подвижных сил (рис. 2.20), когда вершина линии влияния находится на некотором расстоянии аот её начала, любое усилие можно найти исходя из выражения

.(2.13)

Если предположить, что вся система нагрузок сдвинулась вправо или влево, значение усилия получит приращение dS.В правой части равенства (2.13) ординаты изменятся на величинуdxtg_k.Тогда

tg_idx.(2.14)

Сумма, стоящая в правой части равенства (2.14), представляет собой значение первой производной от величины .Известно, что функция достигает своего экстремального значения, когда её первая производная равна нолю. В соответствии с этим

tg_i = 0.(2.15)

Но так как углы наклона ₁, ₂, …, _k, …, _n линии влияния остаются без изменения, выражение (2.15) может обратиться в ноль при условии, если изменяются величины некоторых силF.Последнее условие возможно только при переходе какой-либо силы, называемойF_кр,через вершину линии влияния. Исходя из этого получены условия (2.16), определяющие экстремальное положение над треугольной линией влияния системы сосредоточенных подвижных нагрузок:

(2.16)

В практике расчёта конструкций транспортных сооружений часто используют так называемую эквивалентную нагрузку. Эквивалентной называется такая равномерно распределённая нагрузка интенсивностью q_э, которая создаёт в рассматриваемом сечении такое же усилие, какое вызывает система из сосредоточенных нагрузок, установленная в экстремальном положении.

При загружении линии влияния любого усилия системой сосредоточенных нагрузок усилие может быть найдено по выражению (2.6) .По данному определению эквивалентной нагрузки усилие в соответствии с (2.7) может быть найдено по выражению .Приравнивая оба значения S,найдём

.(2.17)

Очевидно, что величина эквивалентной нагрузки зависит от вида и очертания линии влияния. Однако для подобных между собой линий влияния, которые могут быть построены одна из другой изменением всех ординат в одном и том же соотношении, эквивалентные нагрузки имеют одинаковую интенсивность

Источник

Строительная механика

Главное меню

Присоединяйтесь

Кинематический метод построения линий влияния

Кинематический способ построения линий влияния для внутренних усилий базируется на принципе возможных перемещений Лагранжа. Суть данного принципа заключается в том, что для системы, находящейся в состоянии равновесия, сумма работ всех действующих сил на возможных малых перемещениях равна нулю.

Для построения линии влияния реакции, поперечной силы или изгибающего момента для заданного сечения балки необходимо удалить связь, линию влияния внутреннего усилия для которой требуется построить, и вместо нее ввести требуемое усилие. Таким образом, заданная система станет механизмом с одной степенью свободы. В направлении рассматриваемого внутреннего усилия вводится бесконечно малое перемещение. Направление этого перемещения должно совпадать с внутренним усилием , чтобы оно совершала положительную работу. На базе принципа возможных перемещений записывается уравнение равновесия, из решения которого и определяется требуемое усилие.

Пример: построим линию влияния поперечной силы в сечении k (рис. 1, а). Для этого требуется построить эпюру перемещений балки от единичного смещения по направлению исключенной связи, как показано на рис. 1, б.

Рисунок 1. Линия влияния поперечной силы

В рассматриваемом сечении вводится шарнирно подвижная связь и балке в месте приложения этой связи вводится бесконечно малое линейное перемещение δ_k.

Записываем условие равновесия по принципу Лагранжа (знак «+» при совпадении направления силы и перемещения) :

Поскольку в полученном уравнении знаменатель является числом постоянным (задавалось в начале), то эпюру перемещений балки от единичного смещения по направлению требуемого усилия можно считать линией влияния этого усилия. Кинематический способ построения линий влияния чаще всего используется для построения моделей линий влияния усилий, что позволяют решить задачу об опасном загружении многопролетной балки временной нагрузкой при определении экстремальных усилий.

Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Линии влияния

Линией влияния в балке называется график, показывающий изменение исследуемого фактора (опорной реакции, поперечной силы, изгибающего момента и т.д.) при движении по балке единичной силы.

Любая ордината линии влияния показывает величину исследуемого фактора в тот момент, когда сила находится над этой ординатой.

Статический способ построения линий влияния в балках основан на составлении уравнений статики (уравнений равновесия). Рассмотрим простую балку на двух шарнирных опорах. По балке движется сила, равная 1. Мысленно зафиксируем силу на расстоянии z от опоры А.

1. Построение линии влияния реакции R_A. Составим уравнение моментов вокруг опоры В.

Получаем аналитическое выражение для реакции R_A.

Строим график по 2м точкам.

2. Аналогично строится линия влияния реакции R_B. Составим уравнение моментов вокруг опоры А.

Получаем аналитическое выражение для реакции R_В. Строим график по 2м точкам:

3. Построим линию влияния поперечной силы Q_K .

Возьмем произвольное сечение k, находящееся на расстоянии a от опоры A. Рассмотрим два положения силы — слева и справа от сечения.

a) сила находится слева от сечения K, находящееся на расстоянии a от опоры A, а рассматривать будем правую часть.Тогда

Это значит, что линия влияния Q_K такая же, как линия влияния R_B, но с отрицательным знаком. Строим данную линию влияния, но обводим лишь левую ее часть, так как она справедлива, когда сила слева от сечения. Значит, мы получаем левую ветвь линии влияния.

b) сила справа от сечения K, а рассматривать будем левую часть, тогда . Это значит, что линия влияния Q_K такая же, как линия влияния R_А. Строим данную линию влияния, но обводим лишь правую ее часть, так как она справедлива, когда сила справа от сечения. Значит, мы получаем правую ветвь линии влияния.

При построении линии влияния поперечной силы для простой балки следует запомнить величины ординат линии влияния в сечении, а именно и .

4. Построим линию влияния изгибающего момента М_K

a) сила находится слева от сечения K, а рассматривать будем правую часть, тогда . Это значит, что линия влияния М_K такая же, как линия влияния R_B, но в b раз больше. Строим данную линию влияния, но обводим лишь левую ее часть, так как она справедлива, когда сила слева от сечения. Значит, мы получаем левую ветвь линии влияния.

b) сила справа от сечения K, а рассматривать будем левую часть, тогда . Это значит, что линия влияния М_K такая же, как линия влияния R_А, но в а раз больше. Строим данную линию влияния, но обводим лишь правую ее часть, так как она справедлива, когда сила справа от сечения. Значит, мы получаем правую ветвь линии влияния.

При построении линии влияния моментов для простой балки следует запомнить величину наибольшей ординаты линии влияния, а именно .

Кинематический способ построения линий влияния основан на принципе возможных перемещений.

1) Для того чтобы построить линию влияния реакции какой-нибудь опоры нужно изобразить балку без этой опоры, дать данной точке возможное перемещение в положительном направлении (вверх на единицу), и зарисовать новое положение полученного механизма.

2) Для того чтобы построить линию влияния изгибающего момента M_K , нужно в данное сечение врезать шарнир и повернуть полученный механизм в положительном направлении на единичный угол.

3) Для того чтобы построить линию влияния поперечной силы Q_K, нужно в данное сечение врезать ползун и раздвинуть части балки в положительном направлении на единицу.

Построим линии влияния кинематическим методом в этой же балке. Линии влияния получились такие же.

Построим линии влияния поперечной силы и изгибающего момента в консольной балке кинематическим способом. Так как левая часть в этой балке неподвижна, то движется только правая часть в положительном направлении. При этом ордината линии влияния момента равна а, ордината линии влияния поперечной силы равна 1.

С помощью линий влияния можно определить любые усилия по формуле:

где сила считается положительной, если направлена вниз

— это ордината линии влияния под силой, берется со своим знаком,

q — нагрузка считается положительной, если направлена вниз

— это площадь в линии влияния под нагрузкой, берется со своим знаком,

М — момент считается положительным, если направлен по часовой стрелке

— это тангенс угла наклона линии влияния над моментом, равный и считается положительным, если линия влияния возрастает.

Источник