Карты раздаются 4 м игрокам каждому по 13 карт сколькими способами их можно раздать если

Содержание

52 карты раздаются 4-м игрокам, каждому по 13 карт. Сколькими способами их можно раздать, если
Лучший ответ
20 Футбольных команд, среди которых 4 призёра предыдущего первенства, по жеребьевке разбиваются на 4 занумерованные подгруппы по 5 команд.
Решение:
52 Карты раздаются четырём игрокам (каждому по 13 карт)
Решение:
4) Картошки, 5) наполеон, 6) невские.
Решение:
§3 Задачи для самостоятельного решения.

52 карты раздаются 4-м игрокам, каждому по 13 карт. Сколькими способами их можно раздать, если

Posted Февраль 19, 2014 by Полинский Артем Владиславович

Категория: Комбинаторика

Всего просмотров: 19257

52 карты раздаются 4-м игрокам, каждому по 13 карт.
Сколькими способами их можно раздать, если

1. Каждый игрок получит туза;
2. Один из игроков получит все 13 карт единой масти ;
3. Все тузы попадут к одному из игроков;
4. 2 определенных игрока не получат ни одного туза

Лучший ответ

52 карты раздаются 4-м игрокам, каждому по 13 карт. Сколькими способами их можно раздать, если

1. Каждый игрок получит туза;
Способ 1.
Согласно условия задачи, каждый игрок получает по тузу, т.е. может получить один туз из 4-х разных мастей. Возможно 4 комбинации $n_0=4$
Осталось 48 карт, которые и мы должны раздать по 12 карт каждому игроку
1-й игрок получает еще 12 карт (одну уже получил это туз), учтем, что уже 4 туза выбрано, т.е. в колоде осталось 52-4 = 48 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний (порядок следования карт не учитываем) $n_1 = C_<48>^ <12>= \frac<48!> <12!36!>$
2-й игрок получает еще 12 карт, учтем, что уже 4 туза +12 карт выбрано, т.е. осталось в колоде 52-4-12=36 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний $n_2 = C_<36>^ <12>= \frac<36!> <12!24!>$
3-й игрок получает еще 12 карт (а четвертому все что осталось), учтем, что уже 4 туза +12 +12 карт выбрано, т.е. осталось в колоде 52-4-12 -12=24 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний $n_3 = C_<24>^ <12>= \frac<24!> <12!12!>$
4-й игрок, как я указывал в п.3, забирает автоматически все что осталось, т.е. количество комбинаций равно $n_4=1$
Для ответа на вопрос «сколькими способами можно раздать 52 карты 4-м игрокам по 13, при этом каждый игрок получит по тузу» применим правило произведения

Правило произведения. Если объект A можно выбрать из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать $n$ способами, то пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана $ m*n$ способами.

Получаем $n$ способов $$n = n_0*n_1*n_2*n_3*n_4 => $$$$n = 4* \frac<48!><12!36!>*\frac<36!><12!24!>*\frac<24!><12!12!>*1 = $$$$ = 4* \frac<48!> <12!12!12!12!>\approx 9.43 × 10^ <26>$$
Способ 2.
Можно было сразу применить формулу перестановок c повторениями, которую мы фактически вывели и правило произведения.

Число перестановок c повторениями (k различных элементов, где элементы могут повторяться $m_1, m_2, …, m_k$ раз и $m_1 + m_2 +… + m_k = n$, где n — общее количество элементов) вычисляется по формуле: $$P(m_1,m_2. m_k) = \frac$$ т.е. получили $n_0 = 4$, а остальные комбинации получаем по формуле перестановок с повторениями, где колода 48 карт делится на части 12+12+12+12 (по 12 карт каждому игроку) $$n_1 = \frac<48!><12!12!12!12!>$$ а по правилу произведения получаем $$n = n_0*n_1 = 4*\frac<48!> <12!12!12!12!>\approx 9.43 × 10^<26>$$

2. Один из игроков получит все 13 карт единой масти.
Способ 1.
Применяем рассуждения первого пункта:
1-й игрок получил 13 карт одной масти. Количество комбинаций, получить все карты одной масти, но мастей всего 4 равно $n_1 = 4$
2-й игрок получает 13 карт, учтем, что уже 13 карт выбрано, т.е. осталось в колоде 52-13=39 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний $n_2 = C_<39>^ <13>= \frac<39!> <13!26!>$
3-й игрок получает 13 карт, учтем, что уже два игрока получили свои карты 13 +13, т.е. осталось в колоде 52-13 -13=26 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний $n_3 = C_<26>^ <13>= \frac<26!> <13!13!>$
4-й игрок игрок забирает автоматически все что осталось — 13 карт, т.е. количество комбинаций равно $n_4=1$

Для ответа на вопрос «сколькими способами можно раздать 52 карты 4-м игрокам по 13, при этом один из игроков получит 13 карт одной масти» применим правило произведения, получаем $n$ способов $$n = n_1*n_2*n_3*n_4 => $$$$n = 4*\frac<39!><13!26!>*\frac<26!><13!13!>*1 = $$$$ = 4*\frac<39!> <13!13!13!>= 3.38 × 10^ <17>$$

Способ 2.
Можно было сразу применить формулу перестановок c повторениями и правило произведения.
т.е. получили $n_1 = 4$, а остальные комбинации получаем по формуле перестановок с повторениями, где колода 39 карт делится на части 13+13+13$$n_2 = \frac<39!><13!13!13!>$$ а по правилу произведения получаем $$n = n_1*n_2 = 4*\frac<39!> <13!13!13!>\approx 3.38 × 10^<17>$$

3. Все тузы попадут к одному из игроков.
Способ 1.
Применяем рассуждения предыдущих пунктов:
1-й игрок получил 13 карт из которых 4 — тузы + 9 любых карт. Количество комбинаций, чтобы получить 4 туза равно $n_<11>=1$. Осталось 48 карт и нужно выбрать из них еще 7. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний $n_ <12>= C_<48>^ <9>= \frac<48!> <9!39!>$ , тогда общее количество комбинаций 4 туза + 9 карт будем искать по формуле произведения и получим $n_1= n_<11>*n_ <12>= 1*\frac<48!><9!39!>$
2-й игрок получает 13 карт, учтем, что уже 13 карт выбрано, т.е. осталось в колоде 52-13=39 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний $n_2 = C_<39>^ <13>= \frac<39!> <13!26!>$
3-й игрок получает 13 карт, учтем, что уже два игрока получили свои карты 13 +13, т.е. осталось в колоде 52-13 -13=26 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний $n_3 = C_<26>^ <13>= \frac<26!> <13!13!>$
4-й игрок игрок забирает автоматически все что осталось — 13 карт, т.е. количество комбинаций равно $n_4=1$

Для ответа на вопрос «сколькими способами можно раздать 52 карты 4-м игрокам по 13, при этом все тузы попадут одному игроку» применим правило произведения, получаем $n$ способами $$n = n_1*n_2*n_3*n_4 => $$$$n = 1*\frac<48!><9!39!>*\frac<39!><13!26!>* \frac<26!> <13!13!>*1 = $$$$ = 1*\frac<48!> <9!13!13!13!>\approx 1.42 × 10^ <26>$$

Способ 2.
Можно было сразу применить формулу перестановок c повторениями и правило произведения.
т.е. получили $n_ <11>= 1$, а остальные комбинации получаем по формуле перестановок с повторениями, где колода 48 карт делится на части 9+13+13+13 $$n_2 = \frac<48!><9!13!13!13!>$$ а по правилу произведения получаем $$n = n_<11>*n_2 = 1*\frac<48!> <9!13!13!13!>\approx 1.42 × 10^<26>$$

4. 2 определенных игрока не получат ни одного туза
Способ 1.
Применяем рассуждения предыдущих пунктов:
Известно, что два определенных игрока получат 2 туза. Количество комбинаций раздать 4 туза по 2 равна $n_0 = C_4^2 = \frac<4!><2!2!>$
1-й игрок уже получил 2 туза, ему осталось получить 11 карт, а в колоде осталось 52-4=48 карт. Количество комбинаций, чтобы получить 11 карт $n_<1>= C_<48>^ <11>= \frac<48!><11!37!>$.
2-й игрок тоже получил 2 туза из 13 карт, т.е нужно выбрать еще 11 карт, учтем, что уже 13 + 2 карты выбрано, т.е. осталось в колоде 52-13-2=37 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний $n_2 = C_<37>^ <11>= \frac<37!> <11!26!>$
3-й игрок получает 13 карт, учтем, что уже два игрока получили свои карты 13 +13, т.е. осталось в колоде 52-13 -13=26 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний $n_3 = C_<26>^ <13>= \frac<26!> <13!13!>$
4-й игрок игрок забирает автоматически все что осталось — 13 карт, т.е. количество комбинаций равно $n_4=1$
Для ответа на вопрос «сколькими способами можно раздать 52 карты 4-м игрокам по 13, при этом все 2 определенных игрока не получают ни одного туза» применим правило произведения, получаем $n$ способами $$n = n_0*n_1*n_2*n_3*n_4 => $$$$n = \frac<4!><2!2!>*\frac<48!><11!37!>* \frac<37!><11!26!>* \frac<26!> <13!13!>*1 = $$$$ = \frac<4!><2!2!>*\frac<48!> <11!11!13!13!>\approx 1.21 × 10^ <27>$$

Способ 2.
Можно было сразу применить формулу перестановок c повторениями и правило произведения.
т.е. получили $n_0 = \frac<4!><2!2!>$, а остальные комбинации получаем по формуле перестановок с повторениями, где колода 48 карт делится на части 11+11+13+13 $$n_1 = \frac<48!><11!11!13!13!>$$ а по правилу произведения получаем $$n = n_0*n_1 = \frac<4!><2!2!>* \frac<48!> <11!11!13!13!>\approx 1.21 × 10^<27>$$

Источник

20 Футбольных команд, среди которых 4 призёра предыдущего первенства, по жеребьевке разбиваются на 4 занумерованные подгруппы по 5 команд.

Найти вероятности события:

Решение:

n(Ω) = =(смотр формулу (*))

Т.к. точно по одному призёру в каждой группе, то распределяем 16 команд по 4-м подгруппам, а затем учтём число перестановок призёрных команд

n(A)=4!=

p(A)=

52 Карты раздаются четырём игрокам (каждому по 13 карт)

Найти вероятности следующих событий:

Решение:

Опыт: раздача 52 карт между 4-ми игроками поровну.

n(Ω)==1

n(A) = (

(1-й игрок) (2-й игрок) (3-й игрок)

Упростим: n(Ω) =

n(A)=

p(A)=

2) n(B)=С 1 ₄ · С 1 ₄ · С 13 ₃₉ · С 13 ₂₆ · С 13 ₁₃ ≤1

выбор выбор 2-ой 3-й 4-й

масти игрока игрок игрок игрок

Р(В)===≈8,4*10 -12

3) n(C)= С 1 ₄ · С 4 ₄ · С 9 ₄₈ · С 13 ₃₉ · С 13 ₂₆ · С 13 ₁₃ =1

выбор 1-ый 2-ой 3-й 4-й

игрока игрока игрок игрок игро

P(C)===≈0,01056

4) ) n(D)=С 13 ₄₈ · С 13 ₃₅ · С 13 ₍₂₂₊₄₎ · С 13 ₁₃ =1

1-й без 2-ой без 3-й с 4-й с

тузов тузов тузами

n(D)==

P(D)==≈0,0552

В магазине имеется шесть сортов пирожных:1) эклеры, 2) буше,3) корзиночки,

4) Картошки, 5) наполеон, 6) невские.

1. Сколько различных наборов из 10 пирожных можно получить?

2. Найти вероятность события:

Решение:

Элементарные исходы — это сочетания с повторениями.

n(Ω)= 10 ₆ = C 10 _(10+6-1) =C 10 ₁₅

n()==3003

(вычисления проводим на калькуляторе)

2. =

n()= 10 ₅ = C 10 ₁₄ = = 1001

P()=--= = 1/3

§3 Задачи для самостоятельного решения.

Команда участников КВН состоит из 8 студентов. При этом: 4 студента I курса, 2 студента II курса, 1 студент III курса и 1 студент IV курса.

Для участия в конкурсе случайно выбирают четырех человек.

Найти вероятности следующих событий: 1) А= <все учатся на разных курсах >,

Ответ:1) Р(А)= 4/35; 2) Р(В)=3/14; 3) Р(С)=69/70

Шесть студентов случайным образом выстроились в буфете в очередь.

Найти вероятности событий:1) А=

Ответ:1) Р(А)=1/30; 2) Р(В)=1/3

Случайным образом набирают шестизначный код сейфа.

Найти вероятности событий :

Ответ:1)Р(А)=10 -6 ; 2)Р(В)=1/151200; 3) Р(С)=1/4096

В тесте 5 заданий и 4 варианта ответов (1 верный). Студент случайным образом выбирает ответы.

Найти вероятности событий:

Ответ:1) Р(А)=1/1024;2) Р(В)=27/1024;3) Р(С)=243/1024; 4) Р( D)=781/1024

Для подготовки к экзамену студент получил 5 вопросов по теме I, 3 вопроса по теме II, 2 вопроса по теме III и 1 вопрос по теме IV.Все вопросы по теме I студент знал на «отлично», вопросы темы II на «хорошо», вопросы темы III на «удовлетворительно», а тему IV не успел подготовить. Экзаменатор задает три вопроса.

Найти вероятности событий:

Ответ:1) Р(А)=8/11; 2)Р(В)=2/33; 3)Р(С)=2/11

Пять студентов случайным образом оказались в очереди в библиотеку.

Ответ: 1) Р(А)=0,4; 2) Р(В)=0,05

Случайным образом набирают шестизначный телефонный номер.

Ответ:1) Р(А)=0,1512; 2) Р(В)=(0,4) 6 =0,004096; 3) Р(С)=9 4 /10 6 =0,006561

В лотерее 10 билетов:1 билет — выигрыш 1000 рублей;2билета-по 500 рублей,3 билета -по 100 рублей, а 4 билета — без выигрыша. Студент купил три билета.

Ответ: 1) Р(А)=1/12,2) Р(В)=0.1; 3) Р(С)=29/30

Шесть студентов (3 юноши и 3 девушки) случайным образом садятся за круглый стол.

Найти вероятности событий:

Ответ:1) Р(А)==1/30; 2)Р(В)=

Для подготовки к контрольной работе преподаватель выдал 12 задач. Студент смог решить только шесть. Контрольная состоит из шести выданных для подготовки задач. Если решены все шесть задач, то оценка «отлично»; если пять, то оценка «хорошо»; если четыре, то оценка «удовлетворительно»; а в остальных случаях студент получит «незачет».

1)= 2)P(B)=; 3)P(C)= 1-P(A)=

На полке 5 красных, 4 белых и 3 синих шара, которые случайным образом переставляют.

Найти вероятности событий:

Ответ: 1) Р (А)= 2) Р(В)=.

Ответы: 1) P(A)= 2) P(B)=3)P(C)=

Для получения повышенной стипендии на факультете менеджмента отобрали 10 кандидатов: три студента 1го курса, 4 студента второго курса, 2 студента третьего курса и одного студента 4 курса. Фонд стипендий рассчитан только на пять студентов. Случайным образом отобрали пять студентов для получения стипендии.

Ответ: 1) P(A)= 2) P(B)=3) P(C)=

На книжной полке стояли книги одного автора, при этом : I том – 4 экземпляра, II том – 2 экземпляра, III том – 5 экземпляров, IV том – 1 экземпляр. Книги случайным образом переставили

Ответ: 1) P(A)=; 2) P(B)=.

В новогодней лотерее 12 билетов: один билет – 10000 рублей, два билета по 5000 рублей, 3 билета по 1000 рублей, четыре билета по 100 рублей, а два без выигрыша. Студенту предложили наудачу выбрать четыре билета.

Найти вероятности событий:

Ответ: 1) P(A) = 2) P(B) =3) P(C)=1.

Брошены две игральные кости.

Найти вероятности следующих событий:

Ответ: 1) P(A) = 2) P(B)=3) P(C)=.

Буквы А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т написаны на определенных карточках. Каждая карточка берется в случайном порядке и прикладывается одна к другой.

Ответ: P(B)=

Десять студентов, среди которых Иванов и Петров, размещаются в гостинице в два трехместных и один четырехместный номер. Сколько существует способов их размещения?

Ответ: n(Ω)=

P(A)=

После первой волны зачисления в ВУЗ по результатам ЕГЭ оказалось, что в группе №1 есть три вакантных места, в группе №2 есть четыре вакантных места, а в группе №3 есть два вакантных места.

1) Сколько способов распределить новых 9 абитуриентов по трем группам?

Ответ: 1) n(Ω)=