Каковы основные способы задания поверхностей

Каковы основные способы задания поверхностей

Поверхность рассматривается как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют некоторому заданному уравнению вида F(x,y,z)=0 (рис. 48, а, б, в). Порядок уравнения соответствует порядку поверхности. Порядок поверхности можно определить и геометрически, как порядок кривой, по которой плоскость пересекает поверхность, или как число точек пересечения прямой с поверхностью.

б – гиперболоид однополостный

в – гиперболический цилиндр

Аналитический способ задания поверхности находит широкое применение в практике, особенно если требуется исследовать свойства поверхности.

Кинематическую поверхность можно рассматривать как непрерывную совокупность последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по некоторым неподвижным линиям. Таким образом, на любой кинематической поверхности можно выделить два семейства линий: семейство образующих и семейство направляющих. Направляющие и образующие обладают следующим свойством: никакие две линии одного семейства не пересекаются между собой, но каждая линия одного семейства пересекает все линии другого.

Рассмотрим формирование конической поверхности (рис. 49). Такая поверхность образована движением прямой образующей l, постоянно проходящей через точку S и во всех своих положениях пересекающей некоторую направляющую кривую m. Если направляющая m – окружность, каждая точка которой равноудалена от вершины S, образуется прямой круговой конус.

Совокупность точек, линий и различных условий, определяющих закон перемещения образующей, называют также определителем поверхности. Например, определителем конуса вращения могут быть ось и образующая или вершина и направляющая линия. Определителем цилиндра вращения может быть ось и образующая (прямая или кривая) или ось и направляющая (окружность). Окружность может быть и направляющей линией цилиндра и его образующей. В начертательной геометрии все поверхности рассматриваются как кинематические, то есть образованные непрерывным перемещением в пространстве какой – либо линии или поверхности.

Поверхности, к которым нельзя применить математические закономерности или поверхности с произвольными образующими называются скульптурными или поверхностями произвольных форм (рис. 50). Такие поверхности обычно задают достаточно плотной сетью линий и точек, принадлежащих этим поверхностям. Совокупность таких линий называется каркасом поверхности. При этом точки, лежащие между линиями каркаса, определяются приближенно.

Одним из наиболее распространенных в промышленности методов конструирования поверхностей является метод конструирования с помощью непрерывного каркаса. Метод каркасного конструирования используется при изготовлении кузовов автомобилей, самолетов и в судостроении, для выполнения штампов при изготовлении поверхностей из листового материала, в топографии, горном и дорожном деле.

Источник

Способы задания поверхностей

Поверхность, образованная каким-либо способом, считается заданной, если относительно произвольной точки пространства можно однозначно решить вопрос о ее принадлежности данной поверхности. Для поверхности, заданной на чертеже, это условие становится следующим: поверхность считается заданной, если по одной проекции точки, принадлежащей поверхности, можно построить вторую проекцию. Совокупность условий, необходимых для задания поверхности, называется определителем поверхности. Он состоит из геометрической и алгоритмической частей. Геометрическая часть определителя – это перечень геометрических элементов и фигур, которые участвуют в образовании поверхности. Алгоритмическая часть определителя описывает взаимосвязи между элементами и фигурами, входящими в геометрическую часть, а также представляет совокупность правил, по которым образуется поверхность. Например, поверхность сферы можно образовать, вращая некоторую точку вокруг другой неподвижной точки (центра сферы) и поворачивая при этом плоскость вращения вокруг оси, проходящей через центр сферы. В этом случае в геометрическую часть определителя войдут две точки, а в алгоритмическую часть – описание правил вращения одной точки вокруг другой.

Следует иметь в виду, что при задании поверхности можно в ряде случаев вместо геометрических элементов задавать числовые параметры. Например, сферу можно было бы задать центром и величиной радиуса. Для задания конуса вращения необходимо определить ось вращения и величину угла между образующей конуса и осью. Такие параметры поверхности принято разделять на параметры формы и положения. Параметры, изменение которых приводит к изменению формы поверхности, называются параметрами формы. Если же при изменении параметра меняется положение поверхности в пространстве, то такой параметр относят к параметрам положения. В случае задания сферы ее радиус является параметром формы, а координаты центра сферы – параметрами положения. Число независимых параметров поверхности называется ее параметрическим числом.

Существует три наиболее распространённых способа задания поверхностей: аналитический, графический и графоаналитический. Рассмотрим каждый из этих способов.

Аналитический способ. В этом случае поверхность рассматривается как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению вида:

F(x, y, z) = 0или z = Ф(х, у),

где Fи Ф — алгебраическая или трансцендентная функция.

Поверхность также может задаваться системой уравнений, определяющих зависимость координат точек поверхности от некоторого параметра:

x = X(t)

y = Y(t)

z = Z(t).

Такой способ задания называется параметрическим.

Широкое распространение в последнее время получила векторная форма задания поверхности, в этом случае поверхность определяется вектор-функцией R некоторой точки N, принадлежащей поверхности. Эта функция зависит от двух скалярных аргументов u и v:

R = R(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k,

где x,y,z – координаты вектор-функции. Параметры u и v называются криволинейными координатами поверхности. Каждой паре значений u, v из области их изменения соответствует точка поверхности, координаты которой определяются функциями

x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v).

Если один из параметров принять постоянным, например, задаться v=v₁, то вектор функции R=R(u,v₁) опишет на поверхности некоторую линию v₁=const, называемую координатной линией. Переходя к другому значению v=v₂, получим следующую линию семейства v₂=const. Совокупность линий v_i=const (i=1, …, m) образует линейный каркас поверхности (линейным каркасом поверхности называется множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит в общем случае одна линия этого множества).

Аналогично, фиксируя u и изменяя v, можно получить координатную линию u=const.Множество линий u_j=const (j=1, . n) образует другой линейный каркас той же поверхности. Через каждую точку поверхности можно провести две координатные линии (одну – семейства u_j=const, другую – v_i=const).Совокупность двух линейных каркасов образует сетчатый каркасповерхности или сеть.

Векторная форма задания поверхностей часто используется для задания кинематических поверхностей. Действительно, пусть образующая линия поверхности задана параметрически в виде r = r(u). Вводя второй параметр v, определяющий перемещение образующей в пространстве, можно получить сетчатый каркас поверхности, описывающийся уравнением r =r (u,v). Причем линии каркаса v_i = const в этом случае представляют собой семейство образующих, а линии каркаса u_j =const — семейство направляющих линий поверхности (рис.9.2).

Графический способзадания поверхностей предполагает задание поверхности на комплексном чертеже. При этом, как уже было сказано выше, поверхность считается заданной, а ее чертеж – метрически определенным, если по одной проекции точки, лежащей на поверхности, можно построить другую ее проекцию. Чаще всего поверхность задается на чертеже проекциями элементов своего определителя, т.е. тех геометрических объектов, с помощью которых поверхность была образована. Алгоритмическая часть определителя поверхности переводится при этом в алгоритм графических и аналитических операций, которые необходимо осуществить над проекциями элементов определителя, чтобы построить проекции произвольных точек или линий поверхности. Однако наглядность такого чертежа поверхности очень низкая. Для улучшения наглядности чертеж поверхности приходится дополнять проекциями наиболее характерных или важных точек и линий поверхности, в том числе очерковымилиниями ее проекций. Очерковыми линиями (или очерком) проекций поверхности называются линии, ограничивающие области ее проекций (рис.9.3).

Часто поверхность задается на чертеже некоторой совокупностью ее точек (называемой точечным каркасом поверхности) или линий (линейный или сетчатый каркас). Например, поверхность, образованная кинематическим способом, может задаваться на чертеже проекциями семейства направляющих линий и семейства образующих линий. Однако в этом случае поверхность будет не вполне определена, так как между точками и линиями каркаса поверхность не задается. Поэтому построить промежуточные точки и линий поверхности можно лишь приближенно. Для придания однозначности чертежу поверхности обычно пользуются одним из двух способов:

1. Задается алгоритм графических операций перехода от заданных линий каркаса к промежуточным линиям.

2. С помощью аналитических методов аппроксимации и какого-либо класса моделирующих функций рассчитывают математическую модель поверхности, содержащую заданные точки и линии каркаса. Эту модель в дальнейшем используют для получения промежуточных точек и линий. Однако нужно иметь в виду, что точность результата во многом определяется выбранным классом моделирующих функций.

Графоаналитический способ. При этом способе задания поверхности часть линий (например, образующая поверхности) может задаваться аналитически в виде уравнения

где – параметры образующей, а направляющие линии задаются графически, в виде графиков изменения параметров в зависимости от значения третьей координаты z (рис.9.4). Тогда при необходимости получения положения некоторой образующей для определяют сначала значения параметров , которые затем подставляются в уравнение образующей.

Источник

Способы задания поверхности на чертеже

а). Аналитический способ – поверхность рассматривают как множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению, т.е. поверхность задается уравнением.

б). Каркасный способ –поверхность задается множеством принадлежащих линий, которое называется каркасом (рис. 4.2.1). Каркас может быть непрерывным, если множество линий сплошь заполняют данную поверхность, и дискретный – совокупность отдельных линий данной поверхности, например – поверхность обшивки самолета, корпуса судна, кузова автомобиля, рельеф земной поверхности (рис. 4.2.2).

Рис. 4.2.1 Рис. 4.2.2

в). Кинематический – поверхность рассматривается как совокупность всех положений движущейся линии и задается определителем.

Определитель – это совокупность геометрических элементов, определяющих поверхность. Он состоит из геометрической (перечень геометрических фигур, образующих поверхность) и алгоритмической (закон перемещения образующих) частей. Общий вид определителя можно записать так Φ (Г) [A], где Г – геометрическая часть, А – алгоритмическая часть. Например: Θ (l ∩ b) – плоскость, заданная пересекающимися прямыми, так как плоскость – это элементарная поверхность алгоритмическая часть определителя отсутствует. Помимо этого поверхность на чертеже задается очерком. Очерк это линия пересечения плоскости проекций с проецирующей поверхностью, которая огибает заданную (рис. 4.2.3).

Линия контура делит поверхность на видимую и невидимую части. Видима на плоскости проекций та часть поверхности, которая расположена между наблюдателем и линией контура, та часть поверхности, которая расположена за линией контура – невидима. На плоскостиП₂ точка В видима, а точка А невидима, а на плоскости П₁ наоборот.

Условная классификация поверхностей

Поверхности по их определенным признакам могут быть разбиты на ряд отдельных классов, причем это деление условное, так как одна и та же поверхность может быть отнесена к двум и более классам.

1. По форме образующей поверхности: поверхности линейчатые, которые образуются движением прямолинейной образующей и нелинейчатые, которые образуются движением криволинейной образующей.

2. По закону движения образующей поверхности: поверхности вращения, поверхности с поступательным перемещением образующей, винтовые поверхности.

3. По признаку развертываемости: развертываемые, которые можно совместить с плоскостью проекций без складок и разрывов и неразвертываемые, не совмещающиеся с плоскостью без складок и разрывов.

4. По закону образования: закономерные, если известен закон ее образования и незакономерные, если закон образования неизвестен.

5. Поверхности с постоянной образующей, образующая которых не изменяет своей формы в процессе образования поверхности и поверхности с переменной образующей, образующая которых изменяет свою форму в процессе образования поверхности.

Линейчатые развертывающиеся поверхности

Гранные поверхности

Гранные поверхности образуются перемещением прямолинейной образующей по ломаной направляющей.

Гранные поверхности делятся на пирамидальные и призматические.

Пирамидальные образуются перемещением прямолинейной направляющей по ломаной образующей, причем все образующие имеют одну общую неподвижную точку, которая называется вершиной пирамидальной поверхности (рис. 4.4.1.1). Определитель поверхности: Φ_{п (}l,m, S) [l ∩ m, S∈l].

Если вершина перемещена в несобственную точку, то образуется призматическая поверхность, у которой все ребра параллельны друг другу. Призматическая поверхность образуется перемещением прямолинейной образующей по ломаной направляющей, причем се образующие перемещаются параллельно некоторому заданному направлению (рис. 4.4.1.2). Определитель:Φ_пр (l, m, S) [l ∩ m, l // S].

Поверхности называются открытыми, если направляющая незамкнута. В противном случае поверхности открытые (рис. 4.4.1.1, 4.4.1.2).

Рис. 4.4.1.1 Рис. 4.4.1.2

Если направляющая замкнется, то образуются призма и пирамида. Пирамида – многогранник, в основании которого лежит многоугольник (правильный или неправильный, а боковые грани – треугольники, имеющие общую точку. Призма – многогранник, в основании которого лежат многоугольники, а боковые грани являются прямоугольниками.

Точка принадлежит поверхностям, если она принадлежит образующей (рис. 4.4.1.1, 4.4.1.2, 4.4.1.3 а) или линии параллельной основанию (рис. 4.4.3 б), принадлежащим поверхностям.

На рис. 4.4.1.4 показано построение линии, принадлежащей боковой поверхности призмы.

Торсовые поверхности

Торсовые поверхности относятся к линейчатым развертывающим поверхностям. Они образуются перемещением прямолинейной образующей по криволинейной направляющей. Они делятся на конические, цилиндрические и торсы.

Коническая поверхность образуется движением прямолинейной образующей по криволинейной направляющей, причем все образующие имеют неподвижную общую точку, которая называется вершиной конической поверхности (рис. 4.4.2.1). Точка принадлежит конической поверхности, если она принадлежит образующей, лежащей на этой поверхности (рис. 4.4.2.1, 4.4.2.2).

Рис. 4.4.2.1 Рис. 4.4.2.2

На рис. 4.4.2.2 показаны ортогональные проекции конической поверхности. Определитель поверхности Φ_к (l, m, S) [l ∩ m, S∈l].

Цилиндрическая поверхность образуется перемещением прямолинейной образующей по криволинейной направляющей, причем все образующие перемещаются параллельно заданному направлению (рис. 4.4.2.3). Точка принадлежит цилиндрической поверхности, если принадлежит образующей лежащей на этой поверхности (рис.4.4.2.3, 4.4.2.4).

Рис. 4.4.2.3 Рис. 4.4.2.4

На рис. 4.4.2.4 показаны ортогональные проекции цилиндрической поверхности. Определитель поверхности: Φ_ц (l, m, S) [l ∩ m, l//S].

На рисунках показаны открытые поверхности. Если направляющая замкнется, то образуются конус и цилиндр, которые иначе называют поверхностями вращения.

Торс – поверхность, образованная движением прямолинейной образующей, которая во всех своих направлениях является касательной к некоторой пространственной кривой, называемой ребром возврата (рис. 4.4.2.5).

Источник