Какими способами можно определить объемы тел правильной формы

ГДЗ учебник по физике 7 класс Перышкин. №4 Измерение объема тела. Номер №1

Цель работы:
Научиться определять объём тела с помощью измерительного цилиндра.
Приборы и материалы:
Измерительный цилиндр (мензурка), тела неправильной формы небольшого объёма (гайки, фарфоровые ролики, кусочки металла и др.), нитки.
Указания к работе:
1 . Определите цену деления мензурки.
2 . Налейте в мензурки столько воды, чтобы тело можно было полностью погрузить в воду, и измерьте её объём.
3 . Опустите тело, объём которого надо измерить, в воду, удерживая его за нитку (рис. 201 ), и снова измерьте объём жидкости.
4 . Проделайте опыты, описанные в пунктах 2 и 3, с некоторыми другими имеющимися у вас телами.
5 . Результаты измерений запишите в таблицу 9 .
Дополнительное задание.
Если тело неправильной формы не входить в мензурку, то его объём можно определить с помощью отливного сосуда (рис. 202 ). Перед измерением сосуд наполняют водой до отверстия отливной трубки. При погружении в него тела часть воды, равная объёму тела, выливается. Измерив мензуркой её объём, определяют объём погружённого в жидкость тела.

Таблица 9 .

рис. 201

рис. 202

Решение

Объём тела неправильной формы точно измерить с помощью измерительных приборов нельзя. Поэто­му для измерения объема воспользуемся мензуркой. Тело, полностью погружён­ное в жидкость, вытесняет объём жидкости, кото­рый равен объёму самого тела. Воспользуемся этим законом и найдем объёмы некоторых тел следую­щим образом. Нальем достаточное количество воды в мензурку, а затем погрузим полностью туда наше тело. Разница между первоначальным объёмом и объёмом жидкости, в которое погружено тело, равна объёму этого тела.
$V = V_ <2>— V_<1>$ , где $V_<2>$ − объём воды и тела, $V_<1>$ − начальный объём воды в мензурке.

1. Прежде чем проводить измерения физической величины с помощью измерительного прибора нужно определите цену деления его шкалы.
   Для определения цены деления необходимо взять 2 соседних числа, найти их разницу (от большего отнять меньшее), а затем разделить полученное число на количество маленьких штрихов между этими числами.
   На шкале цилиндра возьмём, к примеру, числа 20 и 30 .
   Таким образом, цена каждого деления будет равна
   $\frac<30 - 20><2>= \frac<10><2>$ = 5 мл.
2. В мензурку нальём столько воды, чтобы тело можно было полностью погрузить в воду. Начальный объём воды равен 70 $см^<3>$ .
3. Опустим тело, объём которого надо измерить (шарик, брусок, цилиндр), в воду, удерживая его за нитку, и снова измерим объём жидкости.
   Вычисления.
   $V_ <бр>= 95 — 70 = 25 см^<3>$
   $V_ <ц>= 85 — 65 = 20 см^<3>$
   $V_ <ш>= 75 — 60 = 15 см^<3>$
4. Результаты измерений запишем в таблицу 9 .

№ опыта	Название тела	Начальный объём воды в мензурке $V_<1>, см^<3>$	Объём воды и тела $V_<2>, см^<3>$	Объём тела V, $см^<3>$ $V = V_<2>-V <1>$
1	Брусок	70	95	25
2	Цилиндр	65	85	20
3	Шарик	60	75	15

Вывод. В ходе лабораторной работы мы научились измерять объёмы тел с помощью измерительного цилиндра и выяснили, что объём тел равен разнице объёма воды, в которое погружено тело, и первоначального объёма воды.

Источник

Определение объема тел правильной и неправильной формы

7. 3 А. Плотность.

Определение объема тел правильной и неправильной формы.

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

7.2.2.6 -использовать измерительный цилиндр (мензурка) для измерения объема жидкости или твердого тела различной формы .

— знать физический смысл объема, единицы измерения ;

— выработать навыки определения объема тела с помощью измерительного цилиндра (мензурки);

— определять практическую значимость объема;

— использовать измерительный цилиндр (мензурка) для измерения объема жидкости или твердого тела различной формы;

— описывать, методы определения объема жидкости и твердого тела правильной и неправильной формы

— научить практически применять знания, полученные на уроках физики в жизни.

— показать практическую значимость понятия объема;

— проводить различные измерения для определения объема;

— измерять объем тел неправильной формы при помощи измерительного цилиндра;

— практически применять знания, полученные на уроках физики в жизни.

— объяснить, как определить объемы тел правильной геометрической формы (куб, параллелепипед)

— описывать, методы определения объема твердого тела правильной и неправильной формы

Предметная лексика и терминология, специфичная для предмета:

масса, объем, весы, мензурка, плотность , объем тел правильной

формы, плотность тела неправильной формы, единицы измерения объема …

Полезные выражения для диалога и письма:

чтобы экспериментально определить объем тела необходимо…

Сотрудничество через работу в группе.

Развитие критического мышления.

Развитие умений сравнивать, обобщать информацию, определять причинно-следственные связи.

Урок закрепления знаний и формирование умений и навыков по пройденной теме

3. Набор лабораторного оборудования

Межпредметная интеграция на уроке реализуется посредством содержания:

Связь с геометрией – формулы определения объемов тел, математикой – перевод единиц измерения, запись числа в стандартном виде.

Навыки использования ИКТ

работа с онлайн ресурсами, презентацией.

Учащиеся знают «Первоначальные сведения о строении вещества», «Масса тела. Плотность вещества», знакомы с величинами и единицами измерения объема, масса, плотность.

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Организационный момент, приветствие.

Актуализация знаний учащихся по физике:

( W ) 1. Какой объем имеют тела, с разной плотностью, но одинаковой массы?

(разное значение объема)

2. Могут ли тела, иметь равные объемы, имея разные массы?

(да могут, если плотности разные)

3.

(Т) Сегодня на уроке мы будем говорить о величине, которая в словаре Ожегова представлена как:

а) количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом;

б) определяется формой и размерами;

в) в информатике используют в переносном значении для обозначения общего количества или текущей величины;

г) в изобразительном искусстве – это иллюзорная передача пространственных характеристик изображаемого предмета художественными методами;

д) с ним тесно связано понятие вместимость, то есть внутреннее пространство сосуда, упаковочного ящика и т. п.

Запись темы урока и определение целей совместно с учащимися.

Предоставление критериев оценивания.

Слайды презентации №1 – 3

Рефлексия Конец урока

Актуализация знаний по математике:

Фронтальная работа – устное повторение пройденного материала: понятие куба или прямоугольного параллелепипеда, его граней, ребер, формула нахождения объема фигуры, единиц измерений объема. Блиц-игра «Верю — не верю»

Вопросы к классу: «Толстые и тонкие вопросы»

Как рассчитать объем данной комнаты?

(учащиеся из математики знают, что объем это произведение длины, ширины и высоты).

Как записывается формула для определения объема?

(Учащиеся записывают формулу V = abc )

Какую еще формулу можно использовать для определения объема?

(Так как длина умноженная на ширину это формула площади, то V = Sh ).

В каких единицах может изменяться объем?

( D ) Раздать учащимся деревянные бруски правильной формы, линейку, они в паре должны рассчитать объем бруска.

Проверить правильность выполнения данного задания.

Постановка проблемного вопроса:

Фронтальная работа – учитель показывает тело неправильной формы и предлагает обучающимся найти способ определения объема тела неправильной формы.

( G ) Учащиеся делятся на 3 группы по следующим категориям:

1) внесистемные единицы измерения объема — ведро, литр, галлон, баррель, штоф, бочка и др.

2) перевод единицы измерения объема – 1000л; 1м 3 ; 10 6 см 3 ;

3) перевод единицы измерения объема — 10 -3 м 3 ; 1л; 1дм 3 ;1000см 3 .

Из набора оборудования, находящегося на столах необходимо выбрать необходимое для выполнения задания. Обсудить, каким образом можно правильно провести измерение объема.

Определение алгоритма действий при определении объема тела неправильной формы по данной ссылке: http://files.school-collection.edu.ru

( W ) определение цены деления приборов по слайдам презентации.

Выполнение лабораторной работы.

1.Перед проведением этой части учитель проводит короткий инструктаж по правилам техники безопасности в обращении с приборами, также учащимся напоминают, как пользоваться весами, мензуркой.

2. Учитель дает задания группам:

Все группы будут определять объемы тел правильной и неправильной формы. Для этого им необходимо, провести измерения, заполнить таблицу, рассчитать объем и ответить на поставленные вопросы.

( f ) Группы обмениваются результатами своей работы. Учитель демонстрирует на слайде обучающимся правильные ответы, полученные в ходе лабораторной работы, и предлагает детям оценить свои работы.

( f ) Диагностика на понимание: выполнить любое из предложенных заданий, онлайн ресурса http://learningapps.org

Дифференцированное домашнее задание:

Где в жизни нам необходимо находить объемы тел и сосудов.

Уровень А – В вашем распоряжении находится только кувшин, весы с гирьками и сосуд с водой. Объясните, как бы вы поступили, используя лишь эти тела, чтобы определить вместимость кувшина?

Уровень В — Предложите способ, которым можно найти на опыте объем тела неправильной формы, если оно растворяется в воде.

Уровень С — Из крана капает вода. Предложите способы определения объема одной капли и интервала времени между падением капель.

Возврат к целям урока: учащиеся анализируют смогли ли они достичь целей урока и на стикерах пишут рефлексию и отмечают себя на «Лестнице успеха»

Источник

Объемы геометрических тел

Объемы геометрических тел

Раньше для определения объемов геометрических тел традиционно использовались интегралы. Сегодня есть и другие подходы, которые подробно представлены в учебниках нашей корпорации. В одном из вебинаров «Российского учебника» учитель высшей категории Алексей Доронин рассказал о методах определения объема разных геометрических тел с помощью принципа Кавальери и других аксиом.

Определение объема

Объем можно определить как функцию V на множестве многогранников, удовлетворяющую следующим аксиомам:

• V сохраняется при движениях.
• V удовлетворяет принципу Кавальери.
• Если внутренности многогранников M и N не пересекаются, то V(M ∪ N) = V(M) + V(N).
• Объем прямоугольного параллелепипеда V = abc.

Принцип Кавальери (итальянского математика, ученика Галилея). Если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях этих тел любой из плоскостей получаются фигуры, площади которых относятся как m : n, то объемы данных тел относятся как m : n.

В открытом банке заданий ЕГЭ есть много задач для отработки этого способа определения объема.

Примеры

Задача 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Задача 2. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задача 3. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Разберем, как можно вычислять объемы изучаемых в школе фигур.

Объем призмы

В представленном случае известны площадь основания и высота призмы. Чтобы найти объем, используем принцип Кавальери. Рядом с призмой (Ф₂) поместим прямоугольный параллелепипед (Ф₁), в основании которого — прямоугольник с такой же площадью, как у основания призмы. Высота у параллелепипеда такая же, как у наклонного ребра призмы. Обозначим третью плоскость (α) и рассмотрим сечение. В сечении виден прямоугольник с площадью S и, во втором случае, многоугольник тоже с площадью S. Далее вычисляем по формуле:

Объем пирамиды

Лемма: две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики. Докажем это, используя принцип Кавальери.

Возьмем две пирамиды одинаковой высоты и заключим их между двумя параллельными плоскостями α и β. Обозначим также секущую плоскость и треугольники в сечениях. Заметим, что отношения площадей этих треугольников связаны непосредственно с отношением оснований.

Известно, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Данной теоремой апеллируют довольно часто. Однако откуда в формуле объема пирамиды появляется коэффициент 1/3? Чтобы понять это, возьмем призму и разобьем ее на 3 треугольные пирамиды:

Объем цилиндра

Возьмем прямой круговой цилиндр, в котором известны радиус основания и высота. Рядом поместим прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат. Рассмотрим:

Объем конуса

Конус лучше всего сравнивать с пирамидой. Например, с правильной четырехугольной пирамидой с квадратом в основании. Две фигуры с равными высотами заключаем в две параллельные плоскости. Обозначив третью плоскость, в сечении получаем круг и квадрат. Представления о подобиях приводят к числу π.

Объем шара

Объем шара — одна из наиболее сложных тем. Если предыдущие фигуры можно продуктивно разобрать за один урок, то шар лучше отложить на последующее занятие.

Чтобы найти объем шара, шар часто предлагается сравнить со сложным геометрическим телом, которое связано с конусом и цилиндром. Но не стоит строить цилиндр, из которого вырезан конус, или вроде того. Возьмем половину шара с высотой R и радиусом R, а также конус и цилиндр с аналогичными высотами и радиусами оснований. Обратимся к полезным материалам на сайте «Математические этюды» , где объем шара рассматривается с использованием весов Архимеда. Цилиндр располагается на одной стороне уравновешенных весов, конус и половина шара — на другой.

Заключаем геометрические фигуры в две параллельные плоскости и смотрим, что получается в сечении. У цилиндра — круг с площадью πR 2 . Как известно, если внутренности геометрических тел не пересекаются, то объем их объединения равен сумме объемов. Пусть в конусе и в половине шара расстояние до плоскости сечения будет x. Радиус — тоже x. Тогда площадь сечения конуса — π ∙ x 2 . Расстояние от середины верха половины шара к краю сечения — R. Площадь сечения половины шара: π(R 2 — x 2 ).

Итак, чтобы найти объем нового, не изученного геометрического тела, нужно сравнить его с тем телом, которое наиболее на него похоже. Многочисленные примеры заданий из открытого банка задач показывают, что в работе с фигурами имеет смысл использовать представленные формулы и аксиомы.

Источник