Какими 3 способами задается зависимость между величинами

Математика. 3 класс

Связь между величинами: масса одного предмета, количество предметов, масса всех предметов

Величины

Необходимо запомнить

Анализировать текстовую задачу и выполнять краткую запись задачи можно разными способами, в том числе в табличной форме. Табличная форма задачи позволяет рассмотреть зависимость между пропорциональными величинами: масса одного предмета, количество предметов, масса всех предметов. При решении необходимо объяснять выбор действий для нахождения массы одного предмета, всех предметов.

Интересные факты

Вы хорошо знаете такие единицы измерения, как грамм, килограмм, тонна. С помощью них мы измеряем вес предмета, т.е. массу. Но такие единицы измерения были не всегда.

Во времена Древней Руси обязательно были единицы для измерения массы. Без них невозможно было вести торговлю, хозяйство.

Какие же старинные меры измерения массы существовали?

Единицей была небольшая золотая монетка. Её вес сравнивали с другими драгоценными изделиями.

Пуд равнялся 3840 золотникам и соответствовал приблизительно 16 кг. Иван Грозный приказывал взвешивать любой товар только у пудовщиков.

А с 1797 г. на Руси, после выхода Закона о мерах и весах, стали изготавливать шаровидные гири, вес которых был равен одному и двум пудам.

Эта единица измерения на Руси была самой мелкой. Её вес составлял приблизительно 0,044 г. Доля использовалась на Руси в работе монетных дворов.

Сначала эта единица измерения массы носила название «гривна». Её величина соответствовала 96 золотникам. С 1747 г. фунт стал эталонным весом и использовался вплоть до 1918 г.

Источник

Прямая и обратная пропорциональность

О чем эта статья:

Основные определения

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

• Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.
• Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.

Зависимости также можно классифицировать по формам: функциональная и статистическая.

Функциональная зависимость между двумя переменными величинами характеризуется тем, что каждому значению одной из них соответствует вполне определенное и единственное значение другой.

В математике функциональной зависимостью переменной Y от переменной Х называют зависимость вида y = f(x), где каждому допустимому значению X ставится в соответствие по определенному правилу единственно возможное значение Y.

Статистическая зависимость — это зависимость случайных величин, когда изменение одной переменной приводит к изменению другой.

Если изменение одной из случайных величин влечет изменение среднего другой случайной величины, то статистическую зависимость называют корреляционной. Сами случайные величины, связанные корреляционной зависимостью, оказываются коррелированными.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

• Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одно числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.
• Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

• при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;
• периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;
• стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.

Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.

Формула прямой пропорциональности

y = kx,

где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Графиком прямо пропорциональной зависимости величин является прямая линия.

Например, при k = 2 график выглядит так:

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

1. Вспомним формулу для определения пути через скорость и время: S = V * t.
2. Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений: 70 * 2 = V * 7
3. Найдем скорость второго автомобиля: V = 70 * 2/7 = 20

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.

Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:

• х = 1 (блогер) * 30 (раз) : 12/8 (дней).
• х = 1 * 30 : 12/8
• х = 20

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».

Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

• время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;
• при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;
• количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.

Формула обратной пропорциональности

где y и x — это переменные величины,

k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

Графиком обратно пропорциональной зависимости величин является гипербола.

Свойства функции обратной пропорциональности:

1. Область определения — множество всех действительных чисел, кроме x = 0.

Область значений — все действительные числа, кроме y = 0.

Не имеет наибольших и наименьших значений.

Является нечетной, и ее график симметричен относительно начала координат.

Непериодическая.

Ее график не пересекает оси координат.

Не имеет нулей.

Если k > 0 (аргумент возрастает), функция пропорционально убывает на каждом из своих промежутков. Если k 0) отрицательные значения функции находятся в промежутке (-∞; 0), а положительные — (0; +∞). При убывании аргумента (k

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.
3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

1. Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию: 30 : 24 = 5 : х
2. Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член: х = 24 * 5 : 30; х = 4
3. Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.

Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

Подставим известные значения: 75/52 = t2/13

Источник

Зависимости между величинами.Задание зависимостей между величинами с помощью формул

Краткосрочный план урока по математике №

Класс : 6 «____» класс.

Зависимости между величинами.Задание зависимостей между величинами с помощью формул

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу):

использовать целые числа при описании величин;

составлять выражения с переменными и формулы при решении текстовых задач;

приводить примеры зависимостей между величинами;

знать способы задания зависимостей между величинами;

записывать формулу зависимости по её описанию;

знают строение и функции корня и умеют устанавливать связь между ними.

умений выбирать эффективные способы решений математических задач, формированию навыков самоконтроля и самооценки, обогащению словарного запаса учащихся, упражнять в решении устных примеров; содействовать

Ценности, основанные на национальной идее «Мәңгілік ел»: казахстанский патриотизм и гражданская ответственность; уважение; сотрудничество; труд и творчество; открытость; образование в течение всей жизни.

Взаимосвязь с предметами:, самопознание, познание мира, естествознание, музыка.

На данном уроке учащиеся используют флеш-презентацию, которую можно загрузить на планшет или мобильный телефон через QR -код

Учащиеся могут использовать правила умножените дроби

Запланированная деятельность на уроке

Организационный момент . Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает успеха

Мотивация к изучению нового материала.

С помощью наводящих вопросов, учитель подводит учащихся к теме нового урока.

Как называется переменная х, и переменная у?

Сколько координат имеет точка на координатной плоскости?

Назовите координаты изображенных точек.

Постройте на координатной плоскости точки: А(2;-3), В(-4;0), С(-2;5), Т(1;4). В каких четвертях лежат эти точки?

Чтобы провести прямую, сколько точек нужно знать?

Решают задания на карточке, подписывают их, затем обмениваются с соседом по парте и выполняют с помощью доски взаимопроверку

Стадия вызова.Формулирование темы и целей урока. Корзина идей.

— Какую тему мы изучали на прошлом уроке? (Цена, количество, стоимость)

— Это название темы нашего урока. — Связаны ли эти понятия между собой?

— Какие задачи поставим перед собой на урок?

* Установить взаимосвязь между Ц. К. С.

* Научиться решать задачи с этими величинами.

* Определять зависимость между величинами «цена», «количество», «стоимость» путем решения задач.

— Назовите денежную единицу РК. В каких единицах будет измеряться цена и стоимость?

— Вспомним, как найти цену? Стоимость? Количество? (У всех на партах карточки)

(Цена – количество денег за единицу товара. Количество – число единиц товара.

Стоимость – сумма денег за покупку.)

С = Ц*К «Чтобы найти стоимость, надо цену умножить на количество».

Ц = С : К «Чтобы найти цену, надо стоимость разделить на количество».

К = С : Ц «Чтобы найти количество, надо стоимость разделить на цену».

— Где мы применяем эти величины в нашей жизни?

По ходу я задаю им вопросы, которые могли бы возникнуть у обучаемого.

Что такое зависимость между величинами?

Как её можно задать?

Покажите взаимосвязь между тремя видами задания зависимости: формулой, таблицей, графиком.

Где мы встречаем различные виды зависимостей между величинами?

Какие формулы известны?

Немного о формулах.

Кто — то стёр с доски часть формулы. Восстановите, пожалуйста, запись и «расшифруйте формулу»

V соб =(V по теч +?):2

Всё, что касается нового математического понятия, мне ясно. Как же я могу всё то, что услышала, применять на практике? А может быть мне это в жизни не пригодится

Карточка №1 Заполните таблицу .

Работа в группах. Разноуровневые задания.

Оценочный лист (индивидуальный, группа)

Записать данные в таблицу и решить задачу.

Ручка стоит 40 тенге. Сколько стоят 4 ручки?

Заполнить таблицу и решить задачу.

Сколько стоит один альбом, если за 4 альбома заплатили 240 тенге?

Заполнить таблицу и решить задачу.

Катя купила 3 шоколадки «Шок» по цене 60 тенге. Сколько шоколадок «Алёнка» по цене 90 тенге можно купить на эту же сумму?

«Корзина идей» Какие ещё можно задать вопросы, чтобы задача решалась в три действия?

Презентация. Взаимооценивание, индивидуальная оценка.

1гр оценивает 2,3 группу 2гр -1,3 группу 3гр. – 1,2 группу

Оценочный лист (работа в группах)

Касса цифр. Как правильно писать цифры:

умеют работать в группе, активизировать всех учащихся через игровую форму урока, формировать интерес к математике.

Решение задач по группам с озвучиванием у доски.

Месячная плата за мою квартиру составляет 1980 рублей. К сожалению, моя квартплата просрочена на 20 дней. Пеня составляет 1% квартплаты за каждый день просрочки. Сколько денег я потеряла?

Дополнительный вопрос всем: много это или мало?

Я хочу взять на полгода кредит в банке «ОВК» на сумму 100000 рублей. Сколько денег я «подарю» банку, если банк берёт 28% годовых?

Группа «Графики и табличники»

По заданному графику написать формулу зависимости y от x и составить таблицу из 5 столбиков.

— Рефлексия.
— Девиз нашего урока: «Кому ум служит, тот ни о чем не тужит»

— Нам сегодня на уроке ум служил? Никто ни о чём не тужил?

— Чему учились? Какие знания пригодятся в жизни?
— Оценка деятельности учащихся на уроке.

— В оценочном листе оцените себя. Выйдите к доске и прикрепите свой оценочный смайлик.

11. Д/З стр. 140 №5

Применяют правило умножения обыкновенных дробей и смешанных чисел при решении заданий.

Каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

Как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?

Используйте данный раздел для записи методов, которые Вы будете использовать для оценивания того, чему учащиеся научились во время урока.

Здоровье и соблюдение техники безопасности

Используемые физминутки и активные виды деятельности.

Допиши строки по образцу.

К концу урока учащиеся научатся:

Раз, два, три, четыре, пять – вышли дети погулять.

(Ходьба на месте.)

Остановились на лугу – я вперед быстрей бегу.

Лютики, ромашки, розовые кашки

Собирал наш первый класс: вот какой букет у нас!

(Разведение рук в стороны.)

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 801 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 283 человека из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 605 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1167258

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Спортивные и творческие кружки должны появиться в каждой школе до 2024 года

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

В Осетии студенты проведут уроки вместо учителей старше 60 лет

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Попова предложила изменить школьную программу по биологии

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник