Каким количеством способов можно выбрать две диагонали граней куба не принадлежащие одной грани

а) Выбраны 6 различных цветов; требуется раскрасить 6 граней куба, каждую в особый цвет из числа избранных. Сколькими геометрически различными способами можно это сделать? Геометрически различными называются две такие расцветки, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.
б) Решить ту же задачу для случая раскраски граней додекаэдра в 12 различных цветов.

Решение

а) Первый способ. Предположим, что процедура окраски куба происходит следующим образом: непокрашенный куб устанавливают в станок в некоторое фиксированное положение, а затем последовательно красятся его грани в определённом порядке. Таких способов столько же, сколько перестановок 6 цветов, то есть 6!. Но установить куб в фиксированное положение можно 24 различными способами: куб можно поставить на любую из 6 граней и затем повернуть вокруг вертикальной оси любым из четырёх способов. Поэтому геометрически различных раскрасок в 24 раза меньше, то есть 6! : 24 = 30.
Второй способ. Куб всегда можно повернуть гранью нужного (скажем, белого) цвета вниз, поэтому можно считать, что всегда в белый цвет красится именно нижняя грань. После этого у нас есть 5 способов выбрать цвет для противоположной грани. Из оставшихся четырёх цветов зафиксируем один и окрасим в него переднюю грань (другие варианты раскраски можно не рассматривать, поскольку всегда можно повернуть куб вокруг вертикальной оси в такое положение). Остаётся 3! вариантов для окраски трёх оставшихся граней.
Всего получаем 5·3! = 30 способов.

б) Рассуждения совершенно аналогичны а) (первый способ).
Количество всех раскрасок равно 12!. Установить додекаэдр в фиксированное положение можно 60 способами: поставить на любую
из 12 граней и затем повернуть одним из пяти способов. Поэтому ответ – 12! : 60.

Ответ

а) 30; б) 12! : 60 = 11! : 5 раскрасок.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	09
Дата	1986
задача
Номер	15
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	1
Год	1935
вариант
Тур	2
Серия	C
задача
Номер	1

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Материалы для дистанционного обучения

Преподаватель Таранина Е.И

Задание для I курса

Группы 11 – ТОР, 12 – ТОР, 12 – ТОД

Выполнить в срок до 28 марта 2020

Выполненную работу отправьте по email l entar 1959@ mail .ru

в виде файла MS WORD.

Для этого создайте новый документ MS Word. Оформите решения в виде формул (вкладка ВСТАВКА –> )

Или оформите решения в тетради в вышлите фото на email преподавателя.

Работа должна быть выполнена до 28 марта.

Не забудьте указать свои Фамилию Имя и группу!

Ознакомьтесь с примерами решений задач и выполните задания

1) Вводятся элементы многогранников: грани, ребра, вершины, диагонали граней, диагонали многогранника (в соответствии с п. 25). Вопрос: из чего состоит поверхность многогранника? (Ответ: из многоугольников.)

Вывод: многоугольники — это грани.

Вопрос: что такое многоугольник? (Ответ: это плоская фигура, образованная замкнутым рядом прямоугольных отрезков.)

Вывод: прямолинейные отрезки — это ребра, а концы ребер — это вершины.

Отрезок, соединяющий две несоседние вершины одной грани, называется диагональю грани, а отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, — это диагональ многогранника.

2) В школе изучаются многогранники, Эйлерова характеристика которых равна 2, то есть В — Р + Г, где В — число вершин, Р — число ребер, Г — число граней.

Для закрепления понятий элементов многогранников следует с учащимися заполнить таблицу уже известных многогранников.

3) Вводится понятие призма, что это тоже многогранник, а также ее элементов: высота призмы, боковые грани, боковые ребра (в соответствие с п. 27).

Раздать на парту модели пирамиды или призмы и дать возможность самостоятельно подсчитать Эйлерову характеристику.

Затем сделать вывод на основании вычислений, как подсчитать число вершин, ребер и граней для любой пирамиды и любой призмы и продолжить заполнение таблицы.

n — угольная пирамида

n + 1 – 2n + n + 1 = 2

n — угольная призма

2n – 3n + n + 2 = 2

Равенство, которое выражает Эйлерову характеристику, было им доказано в 1752 году.

И оно верно для произвольного выпуклого многогранника. Наряду с ними существуют невыпуклые многогранники.

Дается определение в соответствие с п. 25 и рис. 67, 68, 69.

4) В любом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360°.

Доказать это можно с помощью разверток, например, тетраэдр. Очевидно, что φ1 + φ2 + φ3

Вопрос: Сколько углов имеют общую вершину? (Ответ: три, причем все по 90°.)

Вывод: 90° + 90° + 90° = 270°

1) Объясните, что такое: а) многогранник; б) поверхность многогранника.

2) Какой многогранник называется выпуклым?

3) Дан куб — выпуклый многогранник (проверьте). Как, имея пилу, получить из деревянного куба модель невыпуклого многогранника?

4) Дан выпуклый многогранник. Что называют а) его гранью; б) его ребром; в) его вершиной?

5) Назовите известные вам многогранники.

а) Выпуклым или не выпуклым является каждый из них? б) Сколько граней, ребер и вершин у каждого?

6) Дан квадрат. На нем как на основании построены куб и пирамида. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым?

В = 9; Г = 9; Р = 16; 9 — 16 + 9 = 2. Да.

7) Два тетраэдра имеют общую грань и расположены по разные стороны от нее. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым?

В = 5; Г = 6; Р = 9; 5 — 9 + 6 = 2. Да.

8) Сколько трехгранных, двугранных и плоских углов: а) у тетраэдра; б) у параллелепипеда.

Призма — многогранник , 2 грани это конгруэнтные (равные) многоугольники, которые лежат в

параллельных плоскостях, а оставшиеся грани — параллелограммы , имеющие общие стороны с

этими многоугольниками. Либо (что тоже самое) — это многогранник, основаниями которого

являются равные многоугольники, а боковыми гранями — параллелограммы.

Призма является разновидностью цилиндра .

Основания (ABCDE, KLMNP) – 2 грани, являющиеся

конгруэнтными многоугольниками, которые лежат

в плоскостях, параллельных друг другу.

Боковые грани (ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP) – каждая

из граней, не считая оснований. Все боковые грани – это

Боковая поверхность – сумма боковых граней.

Полная поверхность – сумма основания и боковой

Боковые ребра (AK, BL, CM, DN, EP) – общие стороны

Высота (KR) – отрезок, который соединяет плоскости, в них лежат основания призмы. Он

перпендикулярен этим плоскостям.

Диагональ (BP) – отрезок, который соединяет 2 вершины призмы, которые не принадлежат одной

Диагональная плоскость – плоскость, которая проходит через боковое ребро призмы, а также

Диагональное сечение (EBLP) – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении получается

Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной

боковому ребру призмы.

Основания призмы – это равные многоугольники.

Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.

Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Площадь полной поверхности призмы = сумме площади её боковой поверхности и двойной

где P — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра.

Площадь боковой поверхности прямой призмы :

где P — периметр основания призмы, h — высота призмы.

Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым рёбрам призмы.

Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих

Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым граням.

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:

где V — объем призмы,

S _o — площадь основания призмы,

h — высота призмы.

Привальная четырехугольная пирамида.

Свойства правильной четырехугольной призмы.

Основания правильной четырехугольной призмы – это 2 одинаковых квадрата;

Верхнее и нижнее основания параллельны;

Боковые грани имеют вид прямоугольников;

Все боковые грани равны между собой;

Боковые грани перпендикулярны основаниям;

Боковые ребра параллельны между собой и равны;

Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям;

Углы перпендикулярного сечения — прямые;

Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы является прямоугольником;

Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям.

Формулы для правильной четырехугольной призмы.

Призма , у которой в основании лежит параллелограмм, является параллелепипедом .

Прямая призма — это призма, с перпендикулярными боковыми ребрами относительно плоскости основания.

Остальные призмы являются наклонными .

Правильная призма — прямая призма, в основании у нее лежит правильный многоугольник. Боковые

грани такой призмы — одинаковые прямоугольники.

Правильная призма, у которой боковые грани – квадраты (высота равна стороне основания), называется

Выполнить №220,223 Атанасян Л.С. Геометрия. 10-11 кл. М.: Просвещение, 2014 г.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 812 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 286 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 599 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1072417

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Студентам вузов могут разрешить проходить практику у ИП

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

В Минпросвещения предложили организовать телемосты для школьников России и Узбекистана

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Российские адвокаты бесплатно проконсультируют детей 19 ноября

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник