Каким числом способов три человека

Каким числом способов три человека (Алик, Борис и Витя) могут сесть в 5 вагонов поезда независимо друг от друга?

Математика | 5 — 9 классы

Каким числом способов три человека (Алик, Борис и Витя) могут сесть в 5 вагонов поезда независимо друг от друга?

123 124 125 132 142 152 153.

Ответ : четыре способа.

Представь, что ты с другом путешествуешь на суперпоезде?

Представь, что ты с другом путешествуешь на суперпоезде.

Вы едете в соседних вагонах.

Друг едет в 17 вагоне с начала поезда, а ты в 134 с конца.

Сколько вагонов в поезде?

Независимо друг от друга3 человека садятся в по­езд, содержащий 12 вагонов?

Независимо друг от друга3 человека садятся в по­езд, содержащий 12 вагонов.

Найдите вероятность того, что по крайней мере двое из них окажутся в одном вагоне.

За квадратный сто могут сесть 4 человека, по одному с каждой стороны?

За квадратный сто могут сесть 4 человека, по одному с каждой стороны.

Шесть таких столов составили в один ряд вплотную один к другому.

Сколько человек могут сесть за полученный стол.

В одну лодку могут сесть 4 человека, а в другую на 6 больше?

В одну лодку могут сесть 4 человека, а в другую на 6 больше?

Могут ли в двух лодка разместиться 14 человек?

Двое друзей , чтобы ехать вместе, договорились сесть в пятый вагон поезда?

Двое друзей , чтобы ехать вместе, договорились сесть в пятый вагон поезда.

Но один сел в пятый вагон этого поезда с конца, а другой в пятый вагон с начала.

Сколько должно быть всего вагонов этого поезда, чтобы друзья были в обном вагоне.

Четыре спортсмена бежали на перегонки ?

Четыре спортсмена бежали на перегонки .

Алик отстал от Бори, а Витя от Гены.

Кто прибежал первым, если Алик и Гена финишировали одновременно?

А) Алик и Гена б) Боря В) Витя Г) Боря и Витя д) Алик, Гена и Боря.

Двое друзей, чтобы ехать вместе, договорились сесть в пятый вагон поезда?

Двое друзей, чтобы ехать вместе, договорились сесть в пятый вагон поезда.

Но Один сел в пятый вагон этого поезда с конца, а другой — в пятый вагон с начала.

Сколько должно быть всего в этом поезде вагонов, чтобы друзья действительно оказались в одном вагоне?

В одну лодку могут сесть 4 человека, в другую — на 6 больше?

В одну лодку могут сесть 4 человека, в другую — на 6 больше.

Могут ли в двух лодках разместиться 14 человек?

Я запуталась, пожалуйста помогите решить эту задачку?

Я запуталась, пожалуйста помогите решить эту задачку.

Два друга договорились сесть в четвёртый вагон электропоезда.

Но один мальчик сел в четвёртый вагон от начала, а другой — в четвёртый вагон от конца электропоезда.

В одном ли вагоне едут оба мальчика, если вагонов 8?

Сколько вагонов должно было быть в поезде, чтобы мальчики оказались в одном вагоне?

Представь что ты с другом путешествуешь на супер поезде вы едете в соседних вагонах друг едет в 17 — м вагоне сначала поезда а ты в 134 — м с конца сколько вагонов в поезде запиши ответы свои рассужде?

Представь что ты с другом путешествуешь на супер поезде вы едете в соседних вагонах друг едет в 17 — м вагоне сначала поезда а ты в 134 — м с конца сколько вагонов в поезде запиши ответы свои рассуждения.

Вы открыли страницу вопроса Каким числом способов три человека (Алик, Борис и Витя) могут сесть в 5 вагонов поезда независимо друг от друга?. Он относится к категории Математика. Уровень сложности вопроса – для учащихся 5 — 9 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Математика, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

Источник

ПРИЛОЖЕНИЕ Элементы комбинаторики Комбинаторика

Комбинаторика – это наука о том, сколько различных комбинаций, удовлетворяющих определенным условиям, можно составить на элементах конечного множества.

Чтобы проводить комбинаторные рассуждения необходимо знать основные правила, схемы и формулы комбинаторики.

Пусть X – конечное множество, а – количество элементов в нем. Будем в этом случае говорить, что объект x из X может быть выбран n способами.

Пусть , , … , – попарно непересекающиеся множества, т.е. при . Тогда, очевидно, выполняется равенство

Этот факт в комбинаторике называется «правилом суммы» .

«Если объект x может быть выбран m способами и после каждого из таких выборов объект y в свою очередь может быть выбран n способами, то выбор упорядоченной пары может быть осуществлен mn способами».

Доказательство. Воспользуемся правилом суммы. Пусть – множество элементов, из которых выбирается объект x . Для каждого рассмотрим множества , в которых первая компонента совпадает с . Множества попарно не пересекаются и . Тогда множество всех пар есть и (по правилу суммы)

Замечание. В общем случае правило произведения формулируется следующим образом: «Если объект может быть выбран способами, после чего объект может быть выбран способами и для любого i , где , после выбора объектов объект может быть выбран способами, то выбор упорядоченной последовательности может быть осуществлен способами».

Доказательство проводится методом математической индукции.

Размещения и сочетания

Определение 1 . Набор элементов , ,…, из множества называется выборкой объема r из n элементов (или, иначе, — выборкой ).

Выборка называется упорядоченной , если порядок следования элементов в ней задан.

Замечание. Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются различными.

Если порядок следования элементов не является существенным, то выборка называется неупорядоченной .

В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов.

Определение 2 . Упорядоченная -выборка, в которой элементы могут повторяться, называется — размещением с повторениями .

Определение 3 . Упорядоченная -выборка, элементы которой попарно различны, называется — размещением без повторений (или, иначе, — размещением ).

Замечание. -размещения без повторений называются перестановками множества X .

Определение 4 . Неупорядоченная -выборка, в которой элементы могут повторяться, называется — сочетанием с повторениями .

Определение 5 . Неупорядоченная -выборка элементы, которой попарно различны, называется — сочетанием без повторений (или, иначе, — сочетанием ).

Замечание. Любое -сочетание можно рассматривать, как r -элементное подмножество n -элементного множества.

Пример 1. Пусть , т.е. . Найти какое-либо -сочетание без повторений.

Пример 2. Пусть . Найти все -размещения и -сочетания (с повторениями и без повторений).

а) – множество всех -размещений с повторениями (9 упорядоченных пар);

б) – множество всех -размещений без повторений (6 упорядоченных пар);

в) – множество всех -сочетаний с повторениями (6 неупорядоченных пар);

г) – множество всех -сочетаний без повторений (3 неупорядоченные пары, являющиеся двухэлементными подмножествами трехэлементного множества).

Число -размещений с повторениями будем обозначать , а без повторений – через . Число перестановок n -элементного множества будем обозначать через (т.е. ). Число -сочетаний с повторениями будем обозначать через , а без повторений – через .

Доказательство. Каждое -размещение с повторениями является упорядоченной последовательностью длины r , причем каждый элемент этой последовательности может быть выбран n способами. По правилу произведения получаем

Доказательство. Каждое -размещение без повторений является упорядоченной последовательностью длины r , члены которой попарно различны и выбираются из множества с n элементами. Тогда первый член этой последовательности может быть выбран n способами, после каждого выбора первого члена последовательности второй член может быть выбран способами и так далее до r -го члена последовательности, который может быть выбран способами. По правилу произведения получаем

Доказательство. Каждое -сочетание без повторений можно упорядочить r ! способами. Объединение получаемых таким образом попарно непересекающихся множеств -размещений без повторений для всевозможных -сочетаний без повторений, даст все -размещения без повторений. Тогда (здесь суммирование производится по всевозможным -сочетаниям без повторений), т.е. . Отсюда

Доказательство. Каждому -сочетанию В с повторениями, составленного из элементов множества поставим в соответствие такой вектор длины ( ), состоящий из r единиц и ( ) нулей, что число единиц находящихся между -м и i -м нулями, где , будет равно числу элементов , входящих в сочетание В . Число единиц, стоящих перед первым нулем равно числу элементов , а число единиц, стоящих после -го нуля равно числу элементов , входящих в сочетание В .

Это соответствие между В и будет взаимно однозначным. Поэтому, чтобы подсчитать количество -сочетаний с повторениями, достаточно подсчитать количество векторов .

Количество векторов равно числу r -элементных подмножеств (номеров единичных компонент в этих векторах) ( )-элементного множества (всех номеров компонент в этих векторах), т.е. числу -сочетаний без повторений:

Пример 3. Пусть , , , – -сочетание с повторениями, тогда .

Пример 4. Пусть , , , , тогда .

Правила комбинаторики

В меню столовой имеется 7 первых, 9 вторых и 4 третьих блюда. Сколькими способами можно выбрать обед из трех блюд (первое, второе и третье)?

Допустим, что у вас есть 4 пары туфель, 3 брюк и 2 свитера. Каким числом способов вы можете одеться?

На гору ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее, если подъем и спуск должны осуществляться по разным дорогам?

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 2 ладьи (белую и черную) так, чтобы они не били друг друга?

Размещения и перестановки без повторений

Сколько слов длиной 4 можно составить, используя только 7 различных букв, если буквы в слове не повторяются?

В чемпионате участвует 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены на финише 10 первых мест?

Сколькими способами 4 юношей могут пригласить на танец 4 из 6 девушек?

В чемпионате участвует 16 команд. Сколькими способами могут они быть распределены на финише турнира?

Сколькими способами на шахматной доске можно расставить 8 одинаковых ладей так, чтобы они не били друг друга?

Сколько существует таких перестановок чисел 1, 2, …, n , в которых число 1 стоит перед числом 2, причем числа 1 и 2 не обязательно соседние?

Сочетания без повторений

На чемпионате мира по легкой атлетике проводится полуфинальный забег на 100 метров, в котором участвует 8 спортсменов. Четверо лучших выходят в финал. Сколько существует способов выхода в финал?

У вас есть 15 непрочитанных книг. Каким числом способов вы можете взять с собой в дорогу 3 книги?

На плоскости даны 6 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Комбинированные задачи на правила «суммы» и «произведения»,

схемы размещений и сочетаний без повторений

Сколькими способами 6 различных конфет можно разделить поровну между тремя детьми?

Сколькими способами можно разделить 28 костей домино четырем игрокам так, чтобы каждый получил 7 костей?

Сколькими способами можно расселить 8 студентов по трем комнатам в общежитии: одноместной, трехместной и четырехместной?

Из 10 роз и 8 георгинов составляется букет, содержащий 2 розы и 3 георгина. Сколько можно составить различных букетов?

Сколькими способами в группе из 23 человек можно выбрать старосту, двух его заместителей, физорга и культорга (совмещение должностей невозможно)?

Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников, 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, 2 защитников и 3 нападающих?

Перестановки с повторениями

Сколько различных слов можно образовать, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА»?

Четыре автора должны написать книгу из 17 глав, причем первый и третий авторы должны написать по 5 глав, второй – 4, а четвертый – 3 главы книги. Сколькими способами можно распределить главы между авторами?

Сколько существует восьмизначных чисел, в которых цифра 1 встречается три раза, а цифры 2, 3, 4, 5, 6 по одному разу?

У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение 9 дней подряд она выдает сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано, если фрукты одного вида неотличимы друг от друга?

Сколько различных слов можно образовать, переставляя буквы в слове «ВОДОРОД», но так, чтобы три буквы «О» не шли подряд?

Размещения с повторениями

Сколько слов длиной 4 можно составить, используя только 7 различных букв, если буквы в слове могут повторяться?

Сколькими способами 6 различных конфет можно разделить между тремя детьми (не обязательно поровну)?

Сколько существует семизначных телефонных номеров в Москве?

Сколькими способами k различных шаров можно разложить по n различным урнам?

Четыре студента пришли сдавать экзамен по теории вероятностей. Сколькими способами могут быть распределены между ними оценки, если известно, что все они экзамен сдали?

Сочетания с повторениями

В кондитерском отделе имеются пирожные 4 сортов: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно совершить покупку из 7 пирожных?

Сколькими способами 6 одинаковых конфет можно разделить между тремя детьми?

Сколькими способами k одинаковых шаров можно разложить по n различным урнам?

На фестиваль прибыла молодежь 5 континентов. Потребовалось создать делегацию из 8 человек, но так, чтобы в нее входили представители всех континентов. Сколькими способами это может быть сделано?

Разные задачи

На первой из двух параллельных прямых лежит 10 точек, на второй – 20. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

На первой из двух параллельных прямых лежит 10 точек, на второй – 20. Проводятся всевозможные отрезки, соединяющие точки первой и второй прямой. Сколько существует точек (внутренних) пересечения этих отрезков?

Сколькими способами можно рассадить за круглым столом четырех мужчин и четырех женщин, чтобы рядом не сидели двое мужчин или две женщины?

Из 12 лотерейных билетов, среди которых находятся 4 выигрышных, берут 6 билетов. Сколькими способами можно взять 6 билетов, чтобы среди них находился хотя бы один выигрышный?

Дано n различных чисел. Сколько последовательностей длины k можно составить, используя только эти числа?

Дано n различных чисел. Сколько неубывающих последовательностей длины k можно составить, используя только эти числа?

Дано n различных чисел. Сколько возрастающих последовательностей длины k можно составить, используя только эти числа ?

ВАРИАНТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

В автомобиле 7 мест. Каким числом способов 7 человек могут расположиться в автомобиле, если место водителя могут занять только трое из них?

Для несения почетного караула из 10 человек могут быть приглашены офицеры пехотных войск, авиации, артиллерии и морского флота. Сколькими способами можно избрать состав почетного караула?

Сколько 7-значных телефонных номеров не содержат других цифр, кроме 5, 3, 2?

Сколькими способами семья из 4 человек может расположиться за обеденным столом с 6 различными местами для сидения?

У одного человека имеется 11 книг, а у другого – 15. Все книги разные. Каким числом способов они могут обменяться 3 книгами?

Сколькими способами можно разложить 100 одинаковых гвоздей по 5 коробкам?

Имеются 3 экземпляра одной книги, 4 – другой и 8 – третьей. Каким числом способов эти книги можно вручить 15 детям, чтобы каждому досталось по одной книге?

Сколько букетов из 11 гвоздик можно составить, имея гвоздики 3 цветов (гвоздики одного цвета неотличимы друг от друга)?

Сколькими способами можно распределить 7 преподавателей на проверку 20 заочных работ, если каждая работа должна проверяться одним преподавателем?

ВАРИАНТ 4

Сколькими способами 5 человек могут занять места в маршрутном такси с 14 посадочными местами?

Каким числом способов можно купить 10 тетрадей, если в продаже имеются тетради 5 типов?

У дедушки есть 5 различных конфет, которые он дает своим 8 внукам, причем каждый получает или одну конфету, или ничего. Сколькими способами это можно сделать?

ВАРИАНТ 5

На конференции должны выступить докладчики А , В , С и D , причем В не может выступать раньше А . Сколькими способами можно установить очередность выступлений?

У бабушки есть 5 различных фруктов, которые она дает своим 8 внукам. Сколькими способами это можно сделать?

На полке стоят 12 книг в черных переплетах и 8 книг в красных переплетах, причем все книги разные. Сколькими способами можно расставить книги так, чтобы книги в черных переплетах стояли рядом?

Сколько имеется перестановок цифр 0, 1, 2, …, 9 в которых цифра 1 следует непосредственно за цифрой 0?

Для работы в школьном саду необходимо выбрать группу из 15 учеников (девяти-, десяти- и одиннадцатиклассников). Сколькими способами это можно сделать?

Прямоугольная сетка состоит из 5 горизонтальных и 6 вертикальных линий. Сколько прямоугольников в этой сетке?

Источник