Непосредственный подсчет вероятностей событий
Способы определения вероятностей событий
Основные понятия
Теория вероятностей является математической наукой, изучающей закономерности поведения случайных событий, случайных величин и случайных процессов. Случайным событием называют такое событие, которое при определенных условиях может происходить, а может и не происходить.
Например: 1 Попадание баскетбольного мяча в корзину.
2 Поражение мишени при стрельбе из пистолета.
3 Продолжительность работы некоторых однотипных приборов, изделий и др.
События подразделяют на следующие виды: достоверные, возможные (случайные) и невозможные.
Вероятностью случайного события называют численную меру степени объективной возможности появления этого события.
Событие, которое в результате опыта обязательно произойдет, относят к достоверным событиям. Вероятность достоверного события принимается равной единице.
Невозможное событие в результате опыта произойти не может, поэтому вероятность его появления считается равной нулю.
Например. Вынуть белый шар из урны с красными шарами – событие невозможное; вынуть красный шар из этой же урны – событие достоверное.
Следовательно, вероятность случайного события 
численно определяется значениями между нулем и единицей, т.е.
Несколько событий образуют полную группу, если при проведении опыта появится хотя бы одно из них.
Например. По мишени производится три выстрела. А0 — событие, что в мишень не попадает ни одна пуля. А1 – событие, что в мишень попадает одна пуля. А2 — событие, что в мишень попадает две пули. А3 — событие, что в мишень попадает три пули.
Если в одном и том же опыте появление одного события исключает появление других событий, то такие события называют несовместными. Кроме того события могут быть равновозможными и не равновозможными событиями. Несколько событий в данном опыте называют равновозможными, если ни одно из них объективно не может появляться чаще других.
Кроме приведенных понятий часто применяют понятие благоприятный случай. Случай называют благоприятным для появления данного события, если появление этого случая влечет за собой появление интересующего события.
При выборе способа расчета вероятности событий используют понятие схема случаев. Если при проведении опыта все исходы равновероятны, несовместны и образуют полную группу событий, то в этом случае опыт сводится к схеме случаев.
К способам определения вероятностей относят:
а) непосредственный подсчет вероятностей;
б) статистический способ определения вероятностей;
в) геометрический способ определения вероятностей;
г) определение вероятностей одних событий через известные вероятности других событий путем составления равенств.
Непосредственный подсчет вероятностей событий
Данный способ применяется в том случае, если опыт сводится к схеме случаев. Тогда вероятность события A определяется как отношение числа благоприятных случаев этому событию к общему числу равновозможных и несовместных исходов опыта, составляющих полную группу событий, т.е.
где m – число исходов, благоприятных событию;
n – число всех равновозможных и несовместных исходов опыта.
Пример 1: В ящике имеются 4 транзистора, из них 1 транзистор неисправен. Какова вероятность того, что взятый наугад транзистор будет исправным?
A – событие того, что в результате опыта взятый наугад транзистор будет исправным.
P(A) — вероятность события A.
Так как опыт сводится к схеме случаев, число исходов конечно и m=3 , а n=4, то
Как понимать этот результат?
Только при многократном повторении опыта в 75% случаев будет браться исправный транзистор.
Пример 2:В условиях примера 1 наугад берутся два транзистора. Требуется определить вероятность того что, что оба будут исправны.
Обозначим. B – событие соответствующее тому, что оба взятых транзистора будут исправны. P (B) — вероятность события B.
Для подсчета вероятности события обозначим транзисторы в ящике: Н – неисправный транзистор; И(1), И(2), И(3) — исправные транзисторы, и составим таблицу размещения их из 4 элементов по 2 элемента.
| 1тр. | Н | Н | Н | И(1) | И(1) | И(1) | И(2) | И(2) | И(2) | И(3) | И(3) | И(3) |
| 2тр. | И(1) | И(2) | И(3) | Н | И(2) | И(3) | Н | И(1) | И(3) | Н | И(1) | И(2) |
Из таблицы легко определить числа: m=6, n=12. Откуда вероятность события B будет равна P(B)=m/n=6/12=0,5.
Вместе с этим исходы, показанные в таблице, можно толковать как размещения или как сочетания из 4 элементов по 2 т.е.
Через размещения вероятность события B можно определить следующим образом:
С помощью сочетаний вероятность события B определяется как
Классическим определением вероятности пользуются лишь в том случае, когда можно произвести непосредственный подсчет тех и других случаев, т.е. когда число исходов конечно. Однако на практике встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. Кроме того, часто невозможно представить исходы испытания в виде равновозможных и несовместных событий.
Дата добавления: 2016-04-19 ; просмотров: 4498 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Источник
Вероятность случайного события: определение, способы вычисления вероятности.
*Событие – результат (исход) испытания.
*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.
СПОСОБЫ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Классический
Если исходы опыта можно представить в виде полной группы событий кот несовместны и равновозможны,то вероятность события А м.б. вычислена по формуле:
m-общее число возможных случаев(общ число случаев)
n-число исходов благоприятствующих событию А(общ число благопр случаев)
благоприятствующий случай-если его появление влечет за собой событие
1) №:в урне 3 белых и 4 черных шара
А-событие вынуть белый шар.
2) Вероятность появл-я четного числа очков при однокр брос кости
А-событие выпад-я четн числа очков
m-благопр случай 3(2,4,6-четн цифры на кости)
Геометрический
Исп-ся д/вычисл вероятностей события в том случае,когда рез-т испыт-я определ-ся случайным полож-ем точек в некот обл-ти,причем любые полож-я точек в этой обл-ти равновозможны.
Wm-размер всей площади
Wn-мера обл-ти,попад в кот благоприятствует событию А.
Единицы измерения обл-тей м.б. самые различн,в завис-ти от смысла задачи(S,V,t)
1) В некот точке С телеф линии АВ длиной L. Определ вероятность того,что С удал от А на расст не m =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
1) Информация кодируется словами из 4 цифр,цифры в словах не повтор. Сколько м сост слов д/кодир-я информ.
Сочетаниями из n элементов по m элементов (m m = Аn m : Pm=n!:(m!×(n-m)!)
1) в урне 3 белых и 7 черных шаров.Скольк сущ возм-тей вынуть из урны 2 шара одного цвета?
C3 2 -число возм-тей вытянуть 2 белых шара
C7 2 -число возм-тей вытянуть 2 черных шара
Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и следствия из нее.
*Событие – результат (исход) испытания.
*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.
Теорема сложения.
Суммой 2х событий А и В называют событие С состоящее в появлении хотя бы одного из событий А ИЛИ В
1) А-событие вынуть из колоды красную карту
В-событие вынуть туза
(рисуются 2 раза 2 кружка, первый раз события несовпад и кружки не пересек, второй раз вынут красный туз-кружки пересек)
Теорема 1.Сложение вероятностей 2х несовместных событий
Вероятность суммы двух несовм событий А и В равна сумме вероятностей этих событий.
Если число несовм событий не 2, а более,то данная теорема справедлива,т.е.:
1) Произв выстрел по мешени сост из 3х зон
Вероятность попадания в первую зону-0,1
Определ вероятность попадания в мешень.
1. Обозначение событий и их вероятностей.
А1-событие попадания в первую зону
А-событие попадания в мешень
2. Составим расчетную формулу:
Противоположные события-если они несовместные и образуют полную группу.
А(с – сверху)-противоположное событие
Следствие 1 из теоремы 1:
Сумма вероятностей противоположных событий равна еденице: А(с – сверху)=1
Р(А+А с черточкой)=Р(U)=1 (как вероятность достоверного события)
* Событие назыв достоверным ,если в результате опыта оно обязат произойдет (№:при бросании 2 кубиков выпадет сумма >=2)
События А и А с черточкой – несовместны, тогда по теореме 1:
Р(А+А с черточкой)=Р(А)+Р(А с черточкой)=1
Запись формулы Р(А)+Р(А с черточкой)=1 Р(А)+Р(А с черточкой)=1 в других обозначениях:
где р— вероятность того, что событие А произошло; q — вероятность того, что событие А не произошло.
Следствие 2 из теоремы 1:
Если событие А1,А2, … Аn образуют полную несовм группу событий, то сумма их вероятностей:
* сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице
1) Определить вероятность промаха в условия предудущ задачи:
Теорема 2. Сложение вероятностей 2 совместных событий.
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления (т.е. вероятность произведения)
Произведением (∩) 2х событий А и В называется событие С,состоящее в проявлении А И В одновременно.
Произведение событий. Теорема умножения вероятностей для независисмых событий и следствия из нее.
*Событие – результат (исход) испытания.
*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.
Теорема умножения вероятностей.
О. событие А независимое от В, если вероятность события А не зависит от того,появ ли событие В или нет. В противном случае событие А зависимо от В.
Условная вероятность-Р(А/В)-вероятность события А выше при условии что событие В произошло.
Условная независимость событий.
Если выпад соотношение что:
Р(В/А)=Р(В/Ас черточкой)=Р(В) – независимые события.
1) В урне 10 шаров. 7-белых. 3-черных.
Наугад берется 1 шар, потом другой. Найти вероятность того,что оба шара белые.
1. Обозн событий:
А-событие что второй шар белый
В-событие что первый шар белый.
Р(А/В) ≠Р(А/Вс черточкой)→А,В зависимые.
Теорема 3. Умножение вероятностей 2 независимых событий.
Вероятность произведения 2х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисляемую при усл что первое событие имело место.
Если А и В независимы,то вероятность 2х событий равна произведению их вероятностей:
Если событий больше 2х,то:
Р(∩-сверху n снизу i=1 ×Аi)=∩-сверху n снизу i=1Р(Аi)
Следствие 1
Если события А1,А2, … Аn-равновероятны, т.е. вероятность
Следствие 1 (совместны)
Если события А1,А2, … Аn-независимы, но м.б. совместны, то вероятность появл хотя бы одного из них определ формулой:
1) Определить вероятность исправной работы цепочки состоящей из 2х элементов.
а) случай параллельного соединения
если вероятность исправной работы первого 0.5, второго 0,6
1. Обозн событий:
А1-событие исправной работы 1ого элемента
2. Расчет формулы:
а) А=А1+А2(или 1 или 2 событие, события совсм могут произойти одноврем) необх применить формулу вероятности суммы 2х совм событий:
Вероятность двух независ событий равна произведению их вероятностей.
Условная вероятность. Условие зависимости событий. Теорема умножения вероятностей.
*Событие – результат (исход) испытания.
*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.
Формула полной вероятности.
*Событие – результат (исход) испытания.
*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.
Пусть треб определ вероятность события А,кот может произойти только вместе с одним из событий:Н1,Н2, … Hn образующих полную группу несовместных событий
Данные события называются ГИПОТЕЗЫ поэтому формула полн вер им вид:
Полн вероятность события А равна сумме произведения вероятностей гипотез на условные вероятности событий.
По данным событиям требования к гипотезам: несовместные,сост полн группу
Пример:
1) Имеется 3 урны. В первой-4 белых,6 черных шаров,во второй-3 и 5,в третьей только белые. К одной из урн подх и выним шар. Какова вероятность вытащить белый?
1. Обозн событий:
А-событие, что вынутый шар белый
Н1— гипотеза,шар вынут из 1 урны, Н2-из второй, Н3-из третьей.
2. Расчет формула:
*59% означают,что при проведении достаточно большого кол-ва опятов в одинак условиях в средем в 59 случаях из 100 будет вынут белый шар.
2) Из 2х швейных фабрик поступ на базу внешне одинак изделия. С 1ой фабрики поступ втрое больше изделий,чем со второй. Вероятность брака изд с первой фабрике 0,1, со второй 0,05. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделии окаж НЕ браков.
1. А-событие, что изделие вытащ из урны БЕЗ брака
Н1-гипотеза,что изд будет с первой фабрики, Н2-со второй
2. Расчетная формула: Р(А)=S(сверху 2,снизу i=1) Р(Нi)× Р(А/Нi) *2-т.к. 2 фабрики
Р(А/Н1)=1-0,1=0,9 – вероятность без брака, а нам дан брак, значит 1-…
3) Предприятие выпуск за смену изделие 3х видов в кол-ве 160,430,360 шт. каждого вида. ОТК ставит штамп «Брак» или «Экспорт». Найти вероятность того,что наудачу взятое изделие пойдет на экспорт,если вероятность этого для каждого изделия вида 1,2,3=0.9, 0,8 и 0,6 соотв-но.
1. А-событие, что изделие пойдет на экспорт
Н1-гипотеза,изделие 1ого вида Н2-2ого вида Н3-3его вида
2. Р(А)=S(сверху 3,снизу i=1) Р(Нi)× Р(А/Нi) *3-т.к. 3 вида изделий
Теорема гипотез (формула Байеса)
*Событие – результат (исход) испытания.
*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.
Формула Байеса исп д/определ вероятности гипотезы после испытания,когда событие А УЖЕ имело место.
Если событие А уже произошло,какие-то гипотезы отпадут,значит уменьшится их кол-во. А след-но каким-то образом изменятся их вероятности.
Теорема. Вероятность гипотезы после испытания собятия А,кот уже произошло опред по формуле:
Вероятность равна произведению вероятности до испытания на условную вероятность события делить на полную вероятность события.
1) В пирамиде 5 винтовок.3-с оптикой,2-без.Вероятность попад из оптич винт-0,95,без-0,7. После выстрела из наугад взятой винтовки мишень оказалась поражена. Что вероятнее: стреляли из винт с оптикой или без?
1. Обозн событий и их вероятностей:
А-событие попадания в цель
Н1-гипотеза,из опт винтовки
2. Расчетн формулы:
Вероятность гипотезы Нi до испытания на условную вероятность события,делить на полн вероятность события:
Р(Н1)=3/5 *3-винт с оптикой,5-всего винтовок
Ответ:Вероятнее что стреляли из оптич винтовки.
2) С 3х конвееров поступ на склад детали в кол-ве 150,300,350 шт. вероятность брака 0,3 0,2 0,2. Наудачу взятая дет НЕбрак. Найти вероятность того,что деталь с третьего конвеера.
1. А-событие что деталь небрак
Н1-гипотеза,что с первого конвеера
Р(А/Н3)=1-0,2=0,8 *0,7 0,8 0,8-имела место та или иная гипотеза.
Источник
