Математика — онлайн помощь
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка
Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице А, называется число
 | (1.7) |
Определитель третьего порядка обозначается символом
 | (1.8) |
где числа 
называются его элементами.
Индексы 
у элемента 
показывают номера строки и столбца, на пересечении которых записан этот элемент.
Например, элемент 
расположен на пересечении второй строки 
и третьего столбца 
.
Элементы 
образуют главную диагональ определителя, а элементы 
побочную диагональ.
Определение имеет сложный по форме вид, поэтому для нахождения определителя третьего порядка предложены более простые правила. Так, согласно правилу треугольников необходимо:
- вычислить с собственными знаками произведения элементов , лежащих на главной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны этой диагонали ;
- найти произведения элементов, лежащих на побочной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали, и взять их с противоположными знаками ;
- найти общую сумму всех произведений.
Все свойства определителей второго порядка справедливы и для определителей третьего порядка. Доказательства этих свойств основаны на вычислении определителя третьего порядка по формуле (1.7).
Например, покажем, что определитель, у которого элементы двух его строк пропорциональны, равен нулю. Действительно,
Аналогично проверяется справедливость и других свойств.
Пусть дан определитель (1.8) третьего порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.9: Минором 
элемента , где 
определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием 
й строки и 
го столбца. Так, например, минор 
элемента есть определитель
а минор элемента 
есть 
С помощью миноров определитель (7) можно записать в виде
 | (1.9) |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.10: Алгебраическим дополнением 
элемента , где , называется минор этого элемента, взятый со знаком 
. По определению 4.3 имеем
 где / | (1.10) |
и т.д.
ТЕОРЕМА 1.1 Разложение определителя по элементам строки или столбца
Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Иными словами, имеют место шесть равенств:
| (1.11) |
Проверим, например, справедливость равенства
Согласно определениям минора и алгебраического дополнения получим
ТЕОРЕМА 1.2 Сумма произведений элементов какой- либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов любой другой его строки (столбца) равна нулю.
Для определенности выберем элементы 
первой строки и алгебраические дополнения 
элементов второй строки определителя. Составим сумму произведений 
и покажем, что эта сумма равна нулю.
Аналогично проверяется равенство нулю и всех других подобных сумм.
В заключение рассмотрим схему использования свойств определителя и теоремы разложения при вычислении определителя.
Вычислить определитель 
Решение. Разложим определитель по элементам третьей строки.
Вычислить определитель 
Решение. Прибавляя ко второй строке первую, умноженную на — 8,
получим 
Раскладывая этот определитель по элементам второй его строки, найдем
Уважаемые студенты
На нашем сайте можно получить помощь по всем разделам математики и другим предметам:
✔ Решение задач
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Источник
Методы вычисления определителя третьего порядка
Определители и способы их вычисления
Определитель – это число, соответствующее квадратной матрице, вычисленное определенным образом.
Определителем второго порядка называется число, определяемое равенством:
.
Пример 3.1.
.
Определителем третьего порядка называется число, определяемое квадратной матрицей третьего порядка.
1.Метод треугольников (метод Саррюса)
То есть, если элементы определителя третьего порядка записать в таблицу 
, то правило его вычисления может быть представлено на рисунке 1, и определитель будет равен алгебраической сумме всех произведений, причем произведения первой таблицы берут со знаком “+”, а второй – со знаком “–”.
 |
 |
| Рис. 1 |
Это правило называется правилом Саррюса.
2. Метод дописывания двух столбцов.
Этот способ вычисления определителя третьего порядка заключается в дописывании первых двух столбцов определителя и нахождении суммы произведений по главной диагонали и параллелях к ней за вычетом суммы произведений побочной диагонали и параллелях к ней, т.е.
Пример 3.2. Вычислить определитель двумя способами
3. Третий способ вычисления определителя основан на теореме разложения.
Минором элемента определителя 
называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания 
-й строки и 
-го столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Например, минором элемента 
определителя
,
т.е. из исходного определителя были вычеркнуты вторая строка и третий столбец.
Алгебраическим дополнением 
элемента называется минор этого элемента, умноженный на 
. То есть, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент является четным числом, то минор берут со знаком “+”, а если нечетным, то со знаком “–”.
При этом полезно иметь в виду следующую схему:
 | где знаком плюс отмечены места тех элементов, для которых алгебраические дополнения равны минорам, взятым с их собственным знаком; и знаком минус те, для которых алгебраические дополнения равны минорам, взятым с противоположным знаком. |
| Теорема разложения | Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения. |
Пример 3.3. Вычислить определитель путем разложения: а) по второй строке; б) по третьему столбцу.
а) 
б) 
Замечание. Если в задании не указано, по какому столбцу (строке) проводить разложение, то лучше выбирать столбец (строку) с большим числом нулей.
Определитель 
-го порядка задается квадратной таблицей чисел (элементов определителя), имеющей строк и столбцов, обозначается символом
.
Вычисление определителей порядка больше 3, рекомендуется проводить с помощью теоремы разложения.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Источник
