Какие существуют способы решения системы уравнений

Основные методы решения систем уравнений

Основные методы решения систем уравнений:

1. Метод подстановки: из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.

Задача. Решить систему уравнений:

Решение. Из первого уравнения системы выражаем у через х и подставляем во второе уравнение системы. Получим систему равносильную исходной.

После приведения подобных членов система примет вид:

Из второго уравнения находим: . Подставив это значение в уравнение у = 2 – 2х, получим у = 3. Следовательно, решением данной системы является пара чисел .

2. Метод алгебраического сложения: путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.

Задача. Решить систему уравнение:

Решение. Умножив обе части второго уравнения на 2, получим систему равносильную исходной. Сложив два уравнения этой системы, придем к системе

После приведения подобных членов данная система примет вид: Из второго уравнения находим . Подставив это значение в уравнение 3х + 4у = 5, получим , откуда . Следовательно, решением данной системы является пара чисел .

3. Метод введения новых переменных: ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы.

Задача. Решить систему уравнений:

Решение. Запишем данную систему иначе:

Пусть х + у = u, ху = v. Тогда получим систему

Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения системы выразим u через v и подставим во второе уравнение системы. Получим систему т.е.

Из второго уравнение системы находим v1 = 2, v2 = 3.

Подставив эти значения в уравнение u = 5 – v, получим u1 = 3,
u2 = 2. Тогда имеем две системы

Решая первую систему, получим две пары чисел (1; 2), (2; 1). Вторая система решений не имеет.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Решить системы уравнений методом подстановки:

а) б) в)

2. Решить систему уравнений методом сложения:

а) б) в)

3. Решить систему уравнений методом введения новых переменных:

а) б) в)

Источник

Решение системы уравнений (ЕГЭ 2022)

Решение уравнений и систем уравнений — на самый легкий, но зато универсальный метод решения задач.

Этим методом можно решить буквально любую задачу.

Поэтому им стоит овладеть в совершенстве.

Читай эту статью и ты научишься решать системы уравнений.

Решение систем уравнений — коротко о главном

Определение:

Система уравнений –это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

3 метода решения систем уравнений:

1. Метод подстановки — самый простой, но трудоемкий;
2. Графический метод — самый неточный, годится только для некоторых линейных уравнений;
3. Метод сложения — наиболее эффективный из трех, но не всегда удобен.

А теперь подробнее…

Что такое система уравнений

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться, такую группу уравнений мы называем системой.

Например, ты хочешь сходить на концерт любимой группы вечером. Для этого тебе нужно согласие мамы и папы одновременно. Мама запретит – уже не идешь. 🙂

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

\( \left\< \beginУравнение\ 1\\Уравнение\ 2\\Уравнение\ 3\\…\end \right.\)

3 метода решения систем уравнений

1. Метод подстановки

Нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной, повторять подобную процедуру пока не будут найдены все переменные.

2. Графический метод

Если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида \( y=ax+b\)), графиками которых являются прямые.

Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то использовать графический метод не рекомендуется.

3. Метод сложения

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.

Но ни в коем случае не наоборот:

\( a+c=b+d\text< >\triangleleft \ne \triangleright \text< >\left\< \begina=b\\c=d\end \right.\)

Источник

Системы уравнений

Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений с двумя неизвестными.

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (чаще всего неизвестные в них называют « x » и « y »), которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Например, система уравнений может быть задана следующим образом.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и « x », и « y ».

Как решить систему уравнений

Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.

Способ подстановки
или
«железобетонный» метод

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений, всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

Выразим из первого уравнения « x + 5y = 7 » неизвестное « x ».

Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:

• перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;
• разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так, чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.

Перенесём в первом уравнении « x + 5 y = 7 » всё что содержит « x » в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу.

При « x » стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется.

x = 7 − 5y

3x − 2y = 4

Теперь, вместо « x » подставим во второе уравнение полученное выражение
« x = 7 − 5y » из первого уравнения.

x = 7 − 5y

3(7 − 5y) − 2y = 4

Подставив вместо « x » выражение « (7 − 5y) » во второе уравнение, мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным « y ». Решим его по правилам решения линейных уравнений.

Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение « 3(7 − 5y) − 2y = 4 » отдельно. Вынесем его решение отдельно с помощью обозначения звездочка (*) .

x = 7 − 5y

3(7 − 5y) − 2y = 4 (*)

Мы нашли, что « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению « x = 7 − 5y » и вместо « y » подставим в него полученное числовое значение. Таким образом можно найти « x ». Запишем в ответ оба полученных значения.

x = 7 − 5y

y = 1

x = 7 − 5 · 1

y = 1

x = 2

y = 1

Ответ: x = 2; y = 1

Способ сложения

Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения. Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.

Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.

При сложения уравнений системы левая часть первого уравнения полностью складывается с левой частью второго уравнения, а правая часть полностью складывается с правой частью.

x + 5y = 7	(x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4
+ =>	x + 5y + 3x − 2y = 11
3x − 2y = 4	4x + 3y = 11

При сложении уравнений мы получили уравнение « 4x + 3y = 11 ». По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.

Вернемся снова к исходной системе уравнений.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

Чтобы при сложении неизвестное « x » взаимноуничтожилось, нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при « x » стоял коэффициент « −3 ».

Для этого умножим первое уравнение на « −3 ».

При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.

x + 5y = 7 | ·(−3)

3x − 2y = 4

x · (−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3)

3x − 2y = 4

−3x −15y = −21

3x − 2y = 4

Теперь сложим уравнения.

−3x −15y = −21	(−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4
+ =>	− 3x − 15y + 3x − 2y = −21 + 4
3x − 2y = 4	−17y = −17 |:(−17)
y = 1

Мы нашли « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению и подставим вместо « y » полученное числовое значение и найдем « x ».

x = 7 − 5y

y = 1

x = 7 − 5 · 1

y = 1

x = 2

y = 1

Ответ: x = 2; y = 1

Пример решения системы уравнения
способом подстановки

Выразим из первого уравнения « x ».

x = 17 + 3y

x − 2y = −13

Подставим вместо « x » во второе уравнение полученное выражение.

x = 17 + 3y

(17 + 3y) − 2y = −13 (*)

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = −30 » и найдем « x ».

x = 17 + 3y

y = −30

x = 17 + 3 · (−30)

y = −30

x = 17 −90

y = −30

x = −73

y = −30

Ответ: x = −73; y = −30

Пример решения системы уравнения
способом сложения

Рассмотрим систему уравнений.

3(x − y) + 5x = 2(3x − 2)

4x − 2(x + y) = 4 − 3y

Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.

3x − 3y + 5x = 6x − 4

4x − 2x − 2y = 4 − 3y

8x − 3y = 6x − 4

2x −2y = 4 − 3y

8x − 3y − 6x = −4

2x −2y + 3y = 4

2x − 3y = −4

2x + y = 4

Мы видим, что в обоих уравнениях есть « 2x ». Наша задача, чтобы при сложении уравнений « 2x » взаимноуничтожились и в полученном уравнении осталось только « y ».

Для этого достаточно умножить первое уравнение на « −1 ».

2x − 3y = −4 | ·(−1)

2x + y = 4

2x · (−1) − 3y · (−1) = −4 · (−1)

2x + y = 4

−2x + 3y = 4

2x + y = 4

Теперь при сложении уравнений у нас останется только « y » в уравнении.

−2x + 3y = 4	(−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4
+ =>	− 2x + 3y + 2x + y = 4 + 4
2x + y = 4	4y = 8 | :4
y = 2

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = 2 » и найдем « x ».

Источник