Какие существуют способы расчета будущей стоимости денежных средств по схеме простых процентов

Как рассчитать проценты по вкладу

Формулы и примеры расчета с капитализацией, пополнением, частичным снятием

Этот материал обновлен 07.09.2021

Банки предлагают разные вклады со своими названиями и условиями. И предложение с самой высокой процентной ставкой может оказаться не самым выгодным — нужно смотреть условия и рассчитывать реальную доходность.

Как понять, что выгоднее: открыть депозит с процентными выплатами в конце срока, но под 5,1% годовых или с ежемесячной капитализацией, но под 5% годовых? Разбираемся.

Какие бывают проценты по вкладам в банке

Проценты бывают двух видов: простые и сложные.

Простые — те, что начисляются в конце срока вклада. Например, вы положили 100 000 Р на год под 5% годовых. Через год на вашем счете будет 105 000 Р .

Сложные. Несмотря на название, принцип их прост — они начисляются в течение срока вклада через равные интервалы. Например, ежемесячно или ежеквартально. Проценты начисляются на первоначальную сумму и на проценты от предыдущих периодов — вы получаете проценты на проценты. Это называется капитализацией.

В случае с ежемесячным начислением и вкладом на год вы как будто открываете вклад 12 раз подряд на 1 месяц, причем сумма вклада каждый раз увеличивается на сумму выплаченных за предыдущий месяц процентов.

Рассмотрим вклад на 100 000 Р под 4,8% годовых с ежемесячной капитализацией. Процент доходности в месяц составляет: 4,8% / 12 месяцев = 0,4%. Значит, на вкладе по истечении первого месяца будет 100 400 Р .

Во втором месяце эти 0,4% начислятся не на изначальные 100 000 Р , а на сумму вместе с процентами — 100 400 Р . И так далее каждый месяц. При закрытии вклада через год на нем будет 104 907,02 Р — доход за год составит 4907,02 Р . Это соответствует годовой доходности чуть более 4,9% годовых.

Годовые проценты

Для сравнения условий вкладов используется годовая доходность. Можно вычислить, например, квартальную ставку, но удобнее сравнивать именно годовую.

Банки в своих предложениях указывают номинальную ставку годовых, которая не учитывает капитализацию, если она есть. В этом случае полезно рассчитать эффективную процентную ставку.

Эффективная процентная ставка позволяет сравнивать вклады с разными условиями: например, по одному вкладу проценты начисляются раз в месяц и капитализируются, а по другому выплачиваются в конце срока. Эффективная ставка позволяет привести эти два вклада к общему знаменателю и понять, какой из них выгоднее.

Вычисление эффективной процентной ставки

Для вычисления эффективной ставки по вкладам используется формула:

• С — номинальная ставка (в процентных пунктах);
• П — количество периодов капитализации в год;
• Д — длительность (срок) депозита в годах.

Период капитализации — это интервал времени, в конце которого начисляются проценты. У банковского вклада без капитализации проценты начисляются один раз за год в конце срока — значит, П = 1. При ежемесячной капитализации П = 12, при ежеквартальной П = 4, а если проценты начисляются каждый день, П = 365.

Зная эффективную процентную ставку, можно сравнивать банковские продукты с разными схемами начисления процентов.

Расчет простых процентов

При начислении процентов раз в год в конце срока вклада эффективная ставка равна номинальной. Если сумма вклада 100 000 Р , а процент по нему — 5% годовых, то доход будет 5% от 100 000 Р : это 5000 Р .

Расчет сложных процентов

Вот некоторые банковские опции по депозитам.

Вклады с капитализацией. Как мы уже рассмотрели, вклады с начислением процентов поэтапно внутри срока называются вкладами с капитализацией. Периодичность капитализации может быть разная, обычно — раз в месяц, но бывает ежедневная или раз в квартал. Периодичность указана в договоре: чем чаще — тем быстрее будет увеличиваться сумма на депозите и тем больше банк начислит процентов.

Если банк капитализирует проценты по вкладу — начисляет и добавляет их к сумме депозита, при равных номинальных ставках такой вариант будет выгоднее, чем при начислении процентов в конце срока.

Рассмотрим варианты начисления процентов — от ежедневного до одного раза в квартал. Во всех случаях будем считать, что вы открыли депозит на 100 000 Р под 4,8% годовых на 1 год.

Ежедневная капитализация. Каждый день банк начисляет проценты и добавляет их к сумме вклада.

Упрощенный расчет будет выглядеть так.

Проценты за первый день: 100 000 × 4,8% / 365 = 13,15 Р — эту сумму банк добавит к сумме вклада по истечении первого дня.

За второй день: (100 000 + 13,15) × 4,8% / 365 = 13,15 Р .

За третий день: (100 000 + 13,15 + 13,15) × 4,8% / 365 = 13,16 Р .

С каждым днем сумма, на которую начисляются проценты, будет расти. Соответственно, и процентов каждый месяц будет начисляться больше.

Через год у вас на счете будет 104 916,73 Р . Эффективная ставка составит 4,92% годовых.

Ежемесячная капитализация. Каждый месяц банк будет начислять проценты и добавлять их к сумме вклада.

Упрощенный расчет будет выглядеть так.

Проценты за первый месяц: 100 000 × 4,8% / 12 = 400 Р — эту сумму банк добавит к сумме вклада по истечении первого месяца.

За второй месяц: (100 000 + 400) × 4,8% / 12 = 401,6 Р .

За третий месяц: (100 000 + 400 + 401,6) × 4,8% / 12 = 403,21 Р .

Через год у вас на счете будет 104 907,02 Р . Эффективная ставка составит 4,91%.

Ежеквартальная капитализация. Проценты начисляются раз в три месяца. Упрощенный расчет будет выглядеть так.

Проценты за первый квартал: 100 000 × 4,8% / 4 = 1200 Р — эту сумму банк добавит к сумме вклада по истечении первого квартала.

За второй квартал: (100 000 + 1200) × 4,8% / 4 = 1214,4 Р .

Через год у вас на счете будет 104 887,09 Р . Эффективная ставка составит 4,89%.

Вклады с пополнением. Если по условиям договора вклад можно пополнять — вносить дополнительные средства, — с момента внесения процент начисляется на общую сумму.

Пример: вы открыли счет на 100 000 Р под 4,8% годовых на 1 год с возможностью пополнения, а через полгода внесли еще 50 000 Р . При годовой ставке 4,8% за полгода банк начислит 2,4% от суммы депозита. Рассчитаем процентные начисления за каждые полгода отдельно.

Первое полугодие: 100 000 × 2,4% = 2400 Р .

Второе полугодие: (100 000 + 50 000) × 2,4% = 3600 Р .

Без учета капитализации сумма процентных начислений составит 6 000 Р . Вкладчик в этом случае получает фиксированный процент от вложенных денег, поэтому эффективная ставка здесь не меняется — 4,8% годовых.

Если вклад с капитализацией, для вычисления эффективной процентной ставки можно отдельно рассчитать периоды до и после пополнения — как будто это два разных депозита. Эффективная ставка у вкладов будет другой из-за изменения длительности. Для каждого вычисляем сумму процентов, складываем, делим на среднюю сумму вложений без учета начисленных процентов и на общую длительность.

• СО — это средний остаток по счету в течение всего срока, как если бы вы клали деньги на беспроцентный депозит;
• Д — общая длительность вклада в годах.

Это и есть смысл эффективной ставки: она показывает, под какой процент нужно вложить средний остаток по счету, чтобы получить те же проценты за тот же срок.

Вклады с частичным снятием. Иногда по условиям договора банк разрешает снимать со счета часть средств, которые лежат на депозите. При этом проценты с момента открытия депозита до момента снятия не теряются.

Пример: вы открыли депозит на 100 000 Р под 4,8% годовых на 1 год с возможностью частичного снятия, а через полгода сняли 50 000 Р . При годовой ставке 4,8% за полгода банк начислит 2,4% от суммы вклада. Рассчитаем проценты за каждые полгода отдельно.

Первое полугодие: 100 000 × 2,4% = 2400 Р .

Второе полугодие: (100 000 − 50 000) × 2,4% = 1200 Р .

Без капитализации сумма процентов составит 3600 Р . Эффективная процентная ставка без ежемесячной капитализации — те же 4,8%.

Расчет эффективной ставки с капитализацией можно произвести аналогично вкладу с пополнением.

Калькулятор доходности вкладов

Если примеры расчетов кажутся сложными, посчитайте эффективную процентную ставку по вкладу с помощью нашей эксельки:

Какие вклады облагаются налогом

С 1 января 2021 года доход с банковских вкладов может облагаться налогом. Это произойдет, если доход от всех вкладов превысит ключевую ставку Банка России на 1 января того же года, умноженную на 1 000 000 Р . С превышения этой суммы вы должны заплатить 13%. В начале 2021 года ключевая ставка была 4,25% годовых. Значит, безналоговый лимит на этот год: 4,25% × 1 000 000 Р = 42 500 Р .

Например, у вас два вклада по 600 000 Р со ставкой 4,8% годовых. По каждому вы получите доход в размере 28 800 Р . В сумме это будет 57 600 Р . Значит, налог вы заплатите с 57 600 − 42 500 = 15 100 Р . Величина налога составит 15 100 × 13% = 1963 Р .

В 2022 году безналоговый лимит может измениться, так как он зависит от ключевой ставки Центробанка России на 1 января.

Источник

Стоимость денег в наглядных примерах

Для успешной работы предприятию необходимо иметь активы. Оборудование, транспортные средства, здания и сооружения являются материальными активами. Квалификация работников, технологии, торговые марки и патенты — нематериальные активы. Ценные бумаги (облигации, акции, кредиты финансовых институтов, арендные обязательства и т. п.) — это финансовые активы. Они обладают стоимостью, поскольку дают право претендовать на реальные активы предприятия.

Перед финансовым менеджером стоят два основных вопроса:

Куда вложить средства: сколько финансовых ресурсов должна инвестировать компания, в какие виды реальных активов и когда?

Где взять средства: где и как получить необходимые для инвестирования денежные средства?

Нахождение правильных ответов на эти вопросы позволит улучшить финансовое положение предприятия.

Одной из особенностей будущих денежных потоков, генерируемых инвестициями, является их распределение во времени. Это обусловливает возникновение серьезной проблемы — сопоставимости денежных потоков различных интервалов времени. Если в условиях инфляции вы сегодня дали взаймы 100 тыс. руб. сроком на один год, то через год обратно полученные 100 тыс. руб. будут иметь меньшую ценность.

Наряду с инфляционным обесцениванием денег существует еще как минимум три причины данного экономического феномена:

Во-первых, «сегодняшние» деньги всегда будут ценнее «будущих» из-за риска неполучения последних. Риск будет тем выше, чем больший временной интервал отделяет получателя денег от «будущего».

Во-вторых, потенциальный инвестор, располагающий сегодня денежными средствами, может их вложить, например, на депозитный счет в устойчивый банк и получить через год определенный доход. Поэтому владелец денег, выдавая их взаймы, не только подвергает себя риску их невозврата, но и несет реальные экономические потери в форме неполученных доходов от инвестирования.

В-третьих, при выдаче кредита у владельца денег заметно снижается его платежеспособность (ликвидность), поскольку любые обязательства, получаемые им взамен денег, имеют более низкую ликвидность, чем реальные деньги.

Процентные ставки можно рассматривать как норму выручки кредитора на финансовые активы. Разные виды финансовых активов имеют разные процентные ставки. В целом по рынку говорят о высокой или низкой средней процентной ставке. На изменение процентных ставок оказывают влияние соотношения спроса и предложения на ссудные фонды; состояние экономики страны; уровень цен на товары и услуги; темп инфляции; условия работы коммерческих банков.

При инвестировании свободных денежных ресурсов в инвестиционный проект или выдаче их в кредит инвестор планирует получить определенный доход в виде процентов, который он может получить в течение определенного периода времени. Общепринятым периодом времени при проведении финансовых операций является один год. Процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении очередного года. Существует несколько схем начисления доходов:

• на основе простых процентов;
• на основе сложных процентов;
• на основе непрерывно начисляемых сложных процентов.

Различие методов заключается в способах определения базовой суммы, с которой выплачивается доход.

При применении для расчета дохода по предоставленному кредиту с использованием схемы простых процентов базовая сумма остается постоянной. Предположим, что сумма выданных в кредит денежных средств равна Р руб. При ставке доходности r % и продолжительности срока кредитования n лет инвестор через n лет получит доход в сумме P*r*n. Общая сумма, которую получит инвестор через n лет, F, равна: F = P + P * r * n = P * ( 1 + r * n).

При проведении кредитных операций на срок менее одного года платежи за кредит определяются из выражения:

F = P * (1 + ( t / T) * r)

где r — годовая процентная ставка, в долях единицы; t — период, на который выдается кредит, дни (месяцы); Т — количество дней (месяцев) в году.

Пример 1

Компания «А» взяла кредит в сумме 1,8 млн. руб. сроком на3 месяца под 12% в год. Начисление процентов производится по простой схеме. Определить сумму, которая должна быть возвращена банку по истечении кредитного срока.

F = 1,8 * (1 + (3 / 12) * 0,12 = 2,34 млн. руб.

Существует несколько методов расчета срока, на который банки выдают кредит. Согласно первому методу (практика английских банков), при расчете срока кредитования продолжительность года и число дней в месяце принимается равным фактическим календарным дням. Второй метод (практика французских банков) предполагает количество дней в году равным 360, а число дней в месяцах соответствует числу календарных дней. При третьем методе (практика германских банков) число дней в году принимается равным 360 дням, а число дней в любом из 12 месяцев равным 30.

При расчете продолжительности кредитного периода принято день выдачи и день погашения кредита считать за один день.

Пример 2

Клиент получил кредит в сумме 300 тыс. руб. на срок с 1 июня по 30 сентября под 15% в год. Определить величину наращенной суммы при условии выдачи кредита под простые проценты при разных методах расчета срока кредитования:

а) принимается в расчет точное число дней кредита (год не високосный): срок кредитования с 1 июня по 30 октября: июнь — 30 дней, июль — 31 день, август — 31 день, сентябрь — 30 дней, итого — 122 дня; поскольку день выдачи и день погашения кредита принимаются равным одному дню, то срок кредитования в расчете будет равен 121 дню;

F = 300000 * (1 + (121 / 365) * 0,15) = 314918 руб.;

б) число дней в году равно 360, а число дней в месяцах — календарное:

F = 300000 * (1 + (121 / 360) * 0,15) = 315125 руб.;

в) число дней в году равно 360, а число дней в месяцах — 30: срок кредитования равен 119 дням (30*4 — 1):

F = 300000 * (1 + (119 / 360) * 0,15) = 315125 руб.

При использовании метода сложных процентов начисляемые проценты на кредит добавляются к базовой сумме, в результате чего она с каждым интервалом времени повышается.

Пример 3

Вы купили старый автомобиль марки «Honda» у своего приятеля Сидорова за 10 тыс. руб. Он достаточно любезен, чтобы дать вам один год для уплаты стоимости автомобиля с условием ежемесячного начисления процента по предоставленному кредиту, равного 1% в месяц. В конце первого месяца вы были бы должны выплатить 10000 * 1,01 = 10 100 руб.

Если вы не выплатите свой долг в конце первого месяца, то к концу второго месяца вы должны выплатить 10100 * 1,01 = 10 201 руб. В конце третьего месяца вы были бы должны Сидорову уже 10201 * 1,01 = 10 303 руб.

При начислении сложных процентов к концу двенадцатого месяца вы должны будете выплатить Сидорову за автомобиль 10 000 * (1,01)12 = 11 268,25 руб.

Рассмотренный пример иллюстрирует метод определения суммы, которую необходимо выплатить за кредит ( P), полученный под ставку процента r, через период времени t: F=P*(1 +r) t.

Эта формула позволяет определить будущую стоимость вложенных сегодня средств через t лет.

Чем чаще за период начисляется доход, тем больше денег получит вкладчик при одной и той же ставке начисления годового дохода.

При процентной ставке 8% в год процентный фактор для 9 лет равен 1,9912. Это означает, что инвестированные сегодня 1 тыс. руб. под 8% годовых (почти) удвоятся через 9 лет. Это демонстрирует основу правила 72, в соответствии с которым при заданной процентной ставке r можно определить примерную продолжительность периода Т, в течение которого вложенные деньги удвоятся. Этот период можно определить из выражения:

Например, при ставке r = 15% в год вложенные сегодня 1 тыс. руб. удвоятся (почти) через 4,8 года (72 / 15).

Более точный ответ дает правило 69, которое имеет следующий алгоритм расчета периода удвоения вложенных средств:

Таким образом, более точное значение периода, в течение которого вложенные сегодня 1 тыс. руб. деньги удвоятся, равно:

T = 0,35 + 69 / 15 = 4,95 года.

Это правило позволяет определить процентную ставку, под которую необходимо вложить деньги, чтобы, например, через 4 года вложенные деньги удвоились:

r = 69 / (4 — 0,35) = 18,9%.

Процентная ставка

Рассмотрим виды займов и расчет нормы прибыли на инвестированный капитал.

1. Вы занимаете определенную сумму денег и обязуетесь платить заемщику постоянно каждый год в течение нескончаемого периода времени равными суммами процентную ставку (бессрочный аннуитет). Для определения процентной ставки используем формулу r = A / P, где А — ежегодные выплаты процентов по займу, руб.; Р — сумма займа, руб.

Пример 4

Компания «Лямбда» взяла кредит в сумме 1,5 млн. руб. с условием бессрочно каждый год выплачивать банку 105 тыс. руб. Определить процентную ставку для полученного займа.

А = 105000 руб., Р = 1500000 руб., и тогда r = 105000 / 1500000 = 0,07, или 7% в год.

2. Вы занимаете сумму денег Р и обязуетесь через год (или менее одного года) выплатить большую сумму F в виде разового платежа. В этом случае процентная ставка определяется на основе формулы F = P (1 + r). Откуда r = F / P — 1

Пример 5

Петров взял ссуду 100 тыс. руб. с условием возврата через год ссуды и процентов по ней в виде разового платежа 112 тыс. руб. Определить процентную ставку по займу.

r = 112000 / 100000 — 1 = 0,12, или 12% в год.

Если заем выдается на срок более 1 года (n лет), то процентная ставка определяется из выражения: r = ( F / P)1/ n — 1

Пример 6

Сидорчук получил в Банке ссуду 120 тыс. руб. с условием возврата через 4 года 180 тыс. руб. Определить процентную ставку по ссуде.

F = 180000 руб., Р = 120000 руб. и n = 4 года. Подставим эти значения в формулу: r = (180000 / 120000)1/4 — 1 = 0,107, или 10,7% в год.

3. Вы занимаете сегодня деньги в сумме Р руб. сроком на n лет. В течение n лет кредитору ежегодно выплачиваете А руб. и в конце срока возвращаете Р руб. Процентная ставка по этому типу займа определяется на основе формулы r = A/P. Такой вид платежей характерен для корпоративной облигации, по которой эмитент ежегодно выплачивает определенную сумму денег в течение срока обращения облигации, и по завершении этого срока держателю облигации выплачивается ее номинальная стоимость.

Пример 7

Компания «А» выпустила облигации номинальной стоимостью 10 тыс. руб. со сроком обращения 5 лет. В течение 5 лет держатель облигации ежегодно получает 950 руб. и в конце срока обращения — 10 тыс. руб. Определить процентную ставку займа.

А = 950 руб. в год, Р = 10 000 руб.

r = A/P = 950 / 10000 = 0,095, или 9,5% в год.

Резюме

При сравнении разновременных денежных потоков особую роль играет понятие приведенная (текущая) стоимость денежных потоков. На практике применяются:

Множитель сложного процента, который выражает стоимость 1 руб., инвестированного сегодня под r % в год сроком на n лет. Будущая величина инвестированных сегодня S руб. определяется как произведение множителя сложного процента на сумму инвестиций S.

Множитель приведенной стоимости 1 руб. выражает сегодняшнюю стоимость 1 руб., который будет получен через n лет при процентной ставке, равной r % в год. Для определения приведенной величины S руб., получаемых через n лет, необходимо значение S умножить на множитель приведенной стоимости 1 руб.

При заключении кредитного соглашения с банком заемщик должен ориентироваться на минимум издержек, связанных с обслуживанием долга, поскольку разные схемы погашения кредита обусловливают разные издержки по амортизации основного долга.

Источник