Способы задания векторов
Вектор – это одномерный массив данных. Вектор в ML – это матрица из одного столбца или одной строки. Соответственно вектор может быть вектором-столбцом или вектором-строкой.
Для задания вектора можно воспользоваться одним из приведенных ниже способов.
1. Можно задать значения вектора поэлементно:
Значения элементов записываются через пробел или через запятую.
В результате выполнения этой команды создается вектор-стро-ка:
Если при задании вектора значения его элементов разделить точкой с запятой, то получим вектор-столбец:
В результате будет сформирован вектор со значениями:
0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000
Шаг должен быть больше нуля. Если он равен единице, то его можно не указывать:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Чтобы изменить форму вектора, надо записать Х’ – тогда вектор отобразится в виде столбца. Такая операция называется транспонированием.
3. Также для формирования арифметической прогрессии можно использовать функцию linspace:
linspace ( , , )
0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416
4. Вектор можно задать также путём объединения нескольких векторов.
>>A=[1 2 3]; B=[4 5 6]; C=[7 8 9]; D=[A B C]
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Для определения длины вектора предназначена функция length:
Для доступа к элементу вектора необходимо указать его имя и в круглых скобках номер элемента. Например, D(3). Для обращения к последнему элементу вектора можно записать: D(length(D)) или D(end).
Задание матриц
При задании матриц данные строк записываются через пробел или через запятую. Элементы разных строк разделяются знаком точка с запятой (;) или записываются с новой строки. В ML матрица хранится в порядке следования по столбцам.
>>A=[1 2 3; 4 5 6;7 8 9]
Обращение к элементу матрицы: ( ), например, А(2,3).
В MLможно не только выполнять обычные арифметические операции над числами и вычислять значения функций, но и производить операции над векторами и матрицами.
Арифметические операции (АО)
К арифметическим операциям в ML относятся: cложение (+), вычитание (-), умножение (*), деление (/), обратное деление (\),возведение в степень(^), транспонирование (‘).
· возведение в степень, транспонирование;
Все арифметические операции являются “матричными” и осуществляются по правилам линейной алгебры.
При необходимости поэлементного выполнения операций над матрицами и векторами перед знаками операций ^, *, /, \ следует ставить точку:
В данном случае каждый элемент исходного вектора возводится в квадрат. Выполнение команды X ^ 2 невозможно, так как это противоречит правилам матричной алгебры.
Транспонирование тоже бывает с точкой, тогда для комплексных чисел оно выполняется без комплексного сопряжения.
При выполнении арифметических операций с матрицами необходимо учитывать их размерность.
Каждой арифметической операции в ML соответствует определенная функция. Например, plus(x,y) – сложение массивов, times(x,y) – поэлементное умножение массивов, mtimes(x,y) – матричное умножение и т.д.:
Выполнение арифметических операций с матрицами будет подробно рассмотрено далее.
Операции отношения
К операциям отношения в ML относятся: равно (= =),не равно (
=),меньше( ), больше или равно (>=).
Операции отношения используются для поэлементного сравнения двух операндов (чисел, матриц, векторов одинакового размера). Результатом операции отношения может быть соответственно число, матрица или вектор, состоящие из элементов,
обозначающих «истина» или «ложь». В ML это 1 и 0 соответственно:
В результате получили матрицу, каждый элемент которой имеет значение «истина» или «ложь»:
Дата добавления: 2016-03-05 ; просмотров: 1674 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Источник
Лекция Способы задания векторов. Деление отрезка в заданном отношении. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства.
1.4. Способы задания векторов
Вектор может быть задан следующими способами:
1. Координатами вектора 
2 
. Координатами начальной 
z
и конечной 
точек.
3. Модулем вектора 
и углами 
, M
которые он образует с координатными осями. 
При этом значения 
называются направляющими косинусами . O y
Между этими способами задания 
a z
векторов существует определённая связь. a x
Например, переход от (2) к (1) x a y
осуществляется следующим образом :
т 
ак как 
, то z A
.
Переход от (3) к (1) и наоборот
о
существляется по формулам: B
x O y
1.5. Деление отрезка в заданном отношении
Р 
ассмотрим следующую задачу : даны две точки и . Требуется найти точку 
такую, что отно-шение 
z А
Построим векторы : 
М
Из условия коллинеарности векторов
и 
имеем 
В
Полученное равенство представим в
координатной форме х Оу
(1)
Замечание 1. Из формул (1) следует частный случай деления отрезка пополам 
П 
ример 1. Треугольник задан координатами своих вершин 
Найти его центр тяжести . z В
Известно, что центр тяжести треугольника
лежит на пересечении его медиан и, если
точка К середина стороны ВС , то по А М К
свойству медиан 
у
Определим вначале координаты х С
точки К : 
далее по формулам (1) получим координаты точки М :
Тема 2: Скалярное произведение
2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства
Определение. Скалярным произведением двух векторов и 
называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними и обозначается
(2)
Замечание 2. Формулу (2) можно представить в другой форме
(3)
Рассмотрим механический смысл скалярного произведения. Если 
постоянная сила, а 
вектор перемещения, то 
работа силы 
на перемещении 
Из определения скалярного произведения следуют его свойства:
1. 
скалярное произведение коммутативно.
2. 
, если векторы и перпендикулярны (ортогональны), или хотя бы один из них является нулевым вектором.
3. 
Если воспользоваться замечанием 1 из лекции 4 и формулами (3), то легко доказать следующее свойство:
4. 
Таким образом, операции со скалярным произведением аналогичны операциям с многочленами.
2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
Из определения и свойства (1) скалярного произведения следуют формулы : 
.
Аналогично получаем : 
(4)
2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.
По формулам (2) и (4) получаем
(5)
Из определения скалярного произведения и формул (4), (5) следует
(6)
(7)
Если в формуле (7) положить 
, то найдем
.
Аналогично можно получить выражения для оставшихся двух направ-ляющих косинусов
; 
. (8)
Замечание 3. Формулу (5) для модуля вектора можно было получить, исходя из геометрического смысла координат вектора, используя теоре-му Пифагора.
Замечание 4. Из выражений (8) для направляющих косинусов следует их основное свойство
Пример 2. Даны два вектора 
Найти их скалярное произведение и угол между ними.
По формулам (5) и (7) получаем
Пример 3*. Найти координаты единичного вектора, который перпенди-кулярен вектору 
и образует угол 
с вектором 
Из свойства направляющих косинусов следует, что координаты еди-ничного вектора 
равны значениям соответствующих направляющих косинусов и поэтому из условия задачи получаем следующую систему уравнений
Из второго уравнения системы получаем 
Тогда из первого уравнения имеем 
. Если полученные выражения подставить в третье уравнение системы, то приходим к квадратному уравнению 
Из этого уравнения 
и 
. Тогда окончательно нахо-дим два единичных вектора 
, удовлетворяющих условию задачи.
Источник
