Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Источник

Методы решения тригонометрических уравнений
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

В работе рассматриваются различные способы решения тригонометрических уравнений

и основные ошибки, которые при этом допускаются. Материал можно использовать

при подготовке к ЕГЭ как наиболее подготовленными школьниками, так и учителями.

Скачать:

Вложение	Размер
metody_resheniya_trigonometricheskih_uravneniy.doc	425.5 КБ

Предварительный просмотр:

Методы решения тригонометрических уравнений, неравенств и систем.

Тригонометрическим уравнением называется равенство тригонометрических выражений, содержащих переменную только под знаком тригонометрических функций. Решить тригонометрическое уравнение – значит найти все его корни – все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению. Тригонометрические уравнения сводятся цепочкой равносильных преобразований, заменами и решениями алгебраических уравнений к простейшим тригонометрическим уравнениям. Уравнения sin x = х; tg 3x = х 2 +1 и т.д. не являются тригонометрическими и, как правило, решаются приближенно или графически. Может случится так, что уравнение не является тригонометрическим согласно определению, однако оно может быть сведено к тригонометрическому. Например, 2(х – 6) cos 2x = х – 6, (х – 6)(2 cos 2x – 1) = 0, откуда х = 6 или cos 2x = , х = + π n, nZ.

Выделим основные методы решения тригонометрических равнений

Разложение на множители.
Введение новой переменной:

а) сведение к квадратному;

б) универсальная подстановка;

в) введение вспомогательного аргумента.

3. Сведение к однородному уравнению.

4. Применение формул.

5. Использование свойств функций, входящих в уравнение:

а) обращение к условию равенства тригонометрических функций;

б) использование свойства ограниченности функции.

1.Уравнения, в которых все функции выражаются через одну тригонометрическую функцию от одного и того же аргумента.

Примеры: sin 2 x – cos x – 1 = 0,

tg 3x + 2 ctg 3x – 3 = 0.

Преобразованиями sin 2 x= 1 — cos 2 x и ctg 3x = эти уравнения приводятся к алгебраическим, решая которые получаем простейшие тригонометрические уравнения. Метод сведения к квадратному состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y.

2.Уравнения, решаемые разложением на множители.

Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данное уравнение можно представить в виде совокупности более простых уравнений.

sin 4x — cos 2x = 0,

2 sin 2x cos 2x — cos 2x = 0,

cos 2x (2 sin 2x – 1) = 0,

cos 2x = 0 или 2 sin 2x – 1 = 0.

3.Уравнения однородные относительно sin x и cos x.

Примеры: 3 sin 2 x + 4 sin x cos x + cos 2 x =0,

2 sin 3 5x — 2 sin 2 5x cos 5x + sin 5x cos 2 5x – cos 3 x =0,

3 sin 7x — 2 cos 7x =0.

Если первый коэффициент не равен нулю, то разделив обе части уравнения на cos n x, получим уравнение n- степени, относительно tg. Решая полученное уравнение перейдем к простейшему. При делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения cos x =0 корнями данного уравнения. Если cos x =0, то из уравнений следует, что sin x = 0. Однако sin x и cos x не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны равенством sin 2 x + cos 2 x = 1. Следовательно, при делении уравнения на cos n x, получаем уравнение, равносильное данному. В случае, если первый или последний коэффициент равен нулю, то имеет смысл вынести за скобки sin x или cos x. Решить уравнение приравняв к нулю каждый множитель.

4.Уравнения, сводящиеся к однородным.

Примеры: 3 sin 2 x — sin x cos x — 4cos 2 x =2,

sin 3 x + sin x cos 2 x – 2cos x =0.

Эти уравнения сводятся к однородным уравнениям следующим образом:

3 sin 2 x — sin x cos x — 4cos 2 x =2 (sin 2 x + cos 2 x),

sin 3 x + sin x cos 2 x – 2cos x(sin 2 x + cos 2 x) =0.

5. Уравнения, линейные относительно sin x и cos x

а sin x + в cos x = с, где а, в и с – любые действительные числа.

Если а=в=0, а с0, то уравнение теряет смысл;

Если а=в=с=0, то х – любое действительное число, то есть уравнение обращается в тождество.

Рассмотрим случай, когда а,в,с 0.

sin x + 4 cos x = 1,

3 sin 5x — 4 cos 5x = 2,

2 sin 3x + 5 cos 3x = 8.

Последнее уравнение не имеет решений, так как левая часть его не превосходит 7.

Уравнения, этого вида можно решить многими способами: с помощью универсальной подстановки, выразив sin x и cos x через tg ; сведением уравнения к однородному; введением вспомогательного аргумента и другими.

Рассмотрим последний из них.

Разделим обе части уравнения на .

Так как += 1, то найдется аргумент φ, при котором

Уравнение примет вид sin x cos φ + sin φ cos x = .

Используя формулу получим sin (x+ φ) = .

Следовательно решением уравнения будет х = (-1) n arcsin — arccos+ π n, nZ.

Решение этого уравнения существует при a 2 + b 2 c 2 .

6.Уравнения, сводящиеся к равенству одной тригонометрической функции от различных аргументов:

1) sin x = sin у, 2) cos x = cos у, 3) tg x = tg у.

При решении этих уравнений можно применить метод использования условий равенства одноименных тригонометрических функций. Равенство этих функций имеет место тогда и только тогда, когда, соответственно, x = (-1) n y + π n,

f(x) = π — g(x) + 2 π n

Примеры: cos 4x = sin 6х, сtg x = tg .

Первое уравнение с помощью формул приведения приводим к виду : sin(- 4x) = sin 6х, а второе – к виду tg (- x) = tg .

Решим уравнение tg 3x tg (5x + ) = 1.

Разделим обе части уравнения на tg 3x. Это допустимо, так как в данных условиях tg 3x не может равняться нулю:

tg (5x + ) = , tg (5x + ) = сtg 3x, tg (5x + ) = tg ( — 3x).

На основании условия равенства тангенсов двух углов имеем:

8х = + π n; х = + ; х = (6n + 1) , nZ.

При каждом значении х из этой совокупности каждая из частей уравнения tg (5x + ) = tg ( — 3x) существует.

Уравнения sin x = sin у и cos x = cos у можно решать и с применением формул, заменив разность функций произведением.

7. Выделение полного квадрата в тригонометрических уравнениях.

sin 4 x + cos 4 x = sin 2х,

cos 6 x + sin 6 х = cos 2x,

cos 6 x + sin 6 х + sin 4 x + cos 4 x = 1 — sin 2х.

Данный метод можно применить для уравнений, содержащих следующие выражения:

sin 4 x + cos 4 x, cos 6 x sin 6 х, sin 8 х cos 8 x.

Преобразуем первое выражение:

sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x +cos 4 x — 2 sin 2 x cos 2 x = (sin 2 x + cos 2 x) 2 — 2= 1 — sin 2 2х .

Преобразуем второе выражение:

cos 6 x + sin 6 х = (cos 2 x + sin 2 х) ( sin 4 x — sin 2 x cos 2 x +cos 4 x) = 1 — sin 2 2х — sin 2 2х = 1 — sin 2 2х.

cos 6 x — sin 6 х = (cos 2 x — sin 2 х) ( sin 4 x + sin 2 x cos 2 x +cos 4 x) = cos 2x (1 — sin 2 2х + sin 2 2х) = cos 2x (1 — sin 2 2х).

Можно упростить эти выражения и с помощью формул понижения степени.

8. Уравнения вида f(sin х + cos x, sinх cosx) = 0, f(sin х — cos x, sinх cosx) = 0.

Решить такие уравнения можно заменой sin х + cos x = t или sin х — cos x = t.

sin х + cos x = 1 + sin 2х,

6 sinх cosx + 2 sin х = 2 + 2 cos x,

3 sin 3х = 1 + 3 cos 3x — sin 6х.

После преобразования и соответствующей замены эти уравнения сводятся к квадратным. В первом уравнении, сделав замену sin х + cos x = t, получим

sin 2 x + 2 sin x cos x +cos 2 x = t 2 , 1 + sin 2х = t 2 , sin 2х = 1 — t 2 . Уравнение примет вид t = 1 + 1 — t 2 .

9. Универсальная тригонометрическая подстановка tg = t.

Эта подстановка позволяет рационально выразить все тригонометрические функции через одну переменную.

sin х = ; cos x = ; tg x = .

Значит, если tg = t, то sin х = , cos x = , tg x = . Универсальная подстановка может привести к потере корней, так как tg не существует при = + π n, значит x π + 2 π n.

ctg + sin х + tg x = 1,

sin 2х + cos x = 2 — tg x.

Решим уравнение ctg = 2 — sin х.

Пусть tg = t, тогда sin х = , а так как tg ctg = 1, то ctg = .

Получим = 2 — , 2 t 3 – 3t 2 + 2t – 1= 0, (t — 1)(2t 2 – t + 1) = 0.

Уравнение 2t 2 – t + 1 = 0 не имеет решений, значит t – 1 = 0, t = 1.

Следовательно, tg = 1, x = + 2 π n, nZ. Убедимся, что x = π + 2 π n не является решением исходного уравнения.

10 . Метод использования свойства ограниченности функции.

Суть этого метода заключается в следующем: если функции f(х) и g(х) таковы, что для всех х выполняются неравенства f(х)а и g(х) в, и дано уравнение

f(х) + g(х) = а + в, то оно равносильно системе

3 sin 5 x + 2 cos 5 x = 5 ⇔

2 sin 2 2x + 1 = cos 5x ⇔

sin 9х + cos 3x = — 2 ⇔

Решим последнее уравнение sin — cos 6x = 2.

Так как и , то имеем систему: ; ;

Покажем общее решение на тригонометрической окружности. Решение первого уравнения системы обозначим , а второго – точкой и найдем их общее решение.

Нужна ли проверка решения тригонометрического уравнения? На этот вопрос утвердительно ответить нельзя. Если тригонометрическое уравнение представляет собой целый многочлен относительно синуса и косинуса и если грамотно решать уравнение, то проверка может понадобится только для самоконтроля – для уверенности в правильности решения. Проверка, как правило, не нужна. Если следить в процессе решения уравнения за равносильностью перехода, то проверку решения можно не делать. Если же решать уравнение без учета равносильности перехода, то проверка обязательно нужна, особенно когда уравнение содержит тангенс, котангенс, дробные члены или тригонометрические функции от неизвестного, входящие под знак радикала. Не сделав в этом случае проверку, приходят к грубым ошибкам, к посторонним решениям. При решении уравнений, содержащих дробные члены, нужно следить за сокращением дробей, ссылаясь на основное свойство дроби. В этом случае мы избегаем посторонних корней и избавляем себя от проверки найденных решений.

Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.

Делим на g(х).
Применяем опасные формулы.

1 сosx = sinx* sin,

Заменим левую часть уравнения по формуле 1 — сosx = 2sin 2 ,

а правую часть уравнения по формуле sinx = 2sin *cos , получим

2sin 2 = 2sin * сos *sin , разделим на 2 sin 2 обе части уравнения, получим 1 = сos , решая это уравнение, найдем корни = 2 π n, x = 4 π n, n Z.

Потеряли корни sin = 0, х = 2 π k, k Z.

Правильное решение: 2sin 2 (1 – сos ) = 0.

sin 2 = 0 или 1 – сos = 0

x = 2 π k, k ∈ Z. x = 4 π n, n ∈ Z.

Ответ: x = 2 π k, k ∈ Z, x = 4 π n, n ∈ Z.

2. Посторонние корни.

Освобождаемся от знаменателя.
Возводим в четную степень.

( sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx — 1):(2sin2x — ) = 0.

Источник

Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете