Какие есть способы развертки призмы

Развертка поверхности призмы

Существует два способа развертки призмы: способ «нормального сечения» и способ «раскатки».

Способ «нормального сечения» используют для развертки поверхности призм общего положения. В этом случае строится нормальное сечение призмы (т.е. вводится плоскость, расположенная перпендикулярно боковым ребрам призмы) и определяются натуральные величины сторон многоугольника этого нормального сечения.

Пример выполнения развертки трехгранной призмы общего положения способом «нормального сечения» рассмотрим в задаче согласно рисунка 1.5.1

Обратим внимание на то, что в нашем случае боковые ребра призмы являются фронталями, т.е. на плоскость П₂ они проецируются в натуральную величину.

1) Во фронтальной плоскости проекций построим фронтально проецирующую плоскость γ(γ₁), которая одновременно перпендикулярна боковым ребрам призмы AD, CF, BE. Полученное нормальное сечение выразится в виде треугольника 123. Методом плоско-параллельного перемещения определим его натуральную величину в соответствии с рисунком 1.5.2.

4) Полученные точки верхнего и нижнего оснований призмы соединим прямыми A₀B₀C₀ и D₀F₀E₀. Плоская фигура A₀B₀C₀D₀F₀E₀ является искомой разверткой боковой поверхности данной призмы. Для построения полной развертки необходимо к развертке боковой поверхности пристроить натуральные величины оснований. Для этого воспользуемся полученными на развертке натуральными величинами их сторон A₀C₀, C₀B₀, B₀A₀ и D₀F₀, F₀E₀, E₀D₀ в соответствии с рисунком 1.5.3

Рисунок 1.5.3 – Развертка призмы способом «нормального сечения»

Способ «раскатки». Этот способ удобен для построения разверток призм с основанием, лежащим в плоскости уровня. Суть способа заключается в последовательном совмещением боковых граней с плоскостью чертежа путем поворота их вокруг соответствующих ребер призмы (рисунок 1.5.4).

Этим способом построена развертка поверхности призмы ABCDEF , боковые ребра которой являются фронталями, а нижнее основание лежит в горизонтальной плоскости (рисунок 1.5.5).

1) Боковые грани призмы совместим с фронтальной плоскостью, проходящей через ребро AD. Это удобно в этом случае, т.к. фронтальные проекции боковых ребер призмы равны их истинной длине. Тогда ребро A₀D₀ развертки будет совпадать с фронтальной проекцией ребра AD(A₂D₂).

2) Для определения на развертке истиной величины боковой грани ADEB вращаем ее вокруг ребра AD до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций. Чтобы определить на развертке положение точки B₀, из точки B₂ восстанавливаем перпендикуляр к A₂D₂. Точка B₀ будет найдена в пересечении этого перпендикуляра с дугой окружности радиуса R₁, равного истиной величине ребра AB и проведенной из точки A₂, как из центра.

3) Точка E₀ будет определяться на развертке как результат пересечения прямой B₀E₀ параллельной фронтальной проекцией ребра BE(B₂E₂), и перпендикуляра, восстановленного из точки E₂ к A₂D₂.

4) Точки C₀ и A₀ построены аналогично точке B₀ в пересечении перпендикуляров из точек C₂ и A₂ к фронтальным проекциям ребер, с дугами окружностей, проведенных из точек B₀ и C₀ как из центров радиусами R₂ и R₃, равными соответственно ребрам BC и CA. Точки F₀ и D₀ определяются аналогично точке E₀.

5) Соединив последовательно совмещенные вершины ломаными линиями, получим развертку боковой поверхности призмы A₀B₀C₀A₀D₀F₀E₀D₀. При необходимости можно получить полную развертку призмы, присоединив к ней натуральные величины обоих оснований.

Если боковые ребра призмы занимают общее положение, то предварительным преобразованием чертежа их надо привести в положение линий уровня.

Рисунок 1.5.4 – Способ «раскатки»

Рисунок 1.5.5 – Развертка боковой поверхности призмы способом «раскатки»

Источник

Какие есть способы развертки призмы

Развертка призмы методом нормального сечения (рис.139).

Рисунок 139. Развертка призмы способом нормального сечения

В общем случае развертка призмы выполняется следующим образом. Преобразуют эпюр так, чтобы ребра призмы стали параллельны новой плоскости проекций. Тогда на эту плоскость ребра проецируются в натуральную величину.

Пересекая призму вспомогательной плоскостью α , перпендикулярной ее боковым ребрам (способ нормального сечения), строят проекции фигуры нормального сечения – треугольника 1, 2, 3, а затем определяют истинную величину этого сечения. На примере она найдена методом вращения.

В дальнейшем строям отрезок 1₀-1₀ * , равный периметру нормального сечения. Через точки 1₀, 2₀, 3₀ и 1₀ * проводят прямые, перпендикулярные 1₀-1₀ * , на которых откладывают соответствующие отрезки боковых ребер призмы, беря их с новой фронтальной проекции. Так, на перпендикуляре, проходящем через точку 1₀, отложены отрезки 1 ₀ D ₀= 1 ₄D₄ и 1 ₀ А ₀= 1 ₄ А ₄.

Соединив концы отложенных отрезков, получают развертку боковой поверхности призмы. Затем достраивают основание.

Развертка призмы методом раскатки

Рассмотрим частный случай, когда основание призмы на одну из плоскостей проекций проецируется в натуральную величину (рис. 140).

Рисунок 140. Развертка призмы способом раскатки

Развертка боковой поверхности такой призмы осуществляется способом раскатки. Этот способ заключается в следующем. Сначала, как и в предыдущем примере, преобразуют эпюр так, чтобы боковые ребра призмы стали параллельны одной из плоскостей проекций.

Затем новую проекцию призмы вращают вокруг ребра С₄F₄ до тех пор пока грань ACDF не станет параллельной плоскости П₄. При этом положение ребра С₄F₄ остается неизменным, а точки принадлежащие ребру AD перемещаются по окружностям, радиус которых определяется натуральной величиной отрезков AC и DF (так как основания призмы параллельны П₁, то на эту плоскость проекций они проецируются без искажения, т.е. R=A₁C₁=D₁F₁), расположенных в плоскостях, перпендикулярных ребру С₄F₄. Таким образом, траектории движения точек A и D на плоскость П₄ проецируются в прямые, перпендикулярные ребру С₄F₄.

Когда грань ACDF станет параллельна плоскости П₄, она проецируется на неё без искажения, т.е. вершины A и D окажутся удаленными от неподвижных вершин C и F на расстояние, равное натуральной величине отрезков AC и DF. Таким образом, засекая перпендикуляры, по которым перемещаются точки A ₄ и D ₄ дугой радиуса R=A₁C₁=D₁F₁, можно получить искомое положение точек развертки A ₀ и D ₀.

Следующую грань А BDE вращают вокруг ребра AD . На перпендикулярах, по которым перемещаются точки B ₄ и E ₄ делают засечки из точек A ₀ и D ₀ дугой радиуса R=A₁B₁=D₁E₁. Аналогично строится развертка последней боковой грани призмы.

Читайте также:  Способ неразъемного соединение деталей

Процесс последовательного нахождения граней призмы вращением вокруг ребер можно представить как раскатку призмы на плоскость параллельную П₄ и проходящую через ребро СF.

Построение на развертке точки К, принадлежащей боковой грани А BDE , ясно из рисунка. Предварительно через эту точку по грани провели прямую N М, параллельную боковым ребрам, которая затем построена на развертке.

Источник

Развертка поверхности призмы

Развертка поверхности призмы

Построение развертки поверхности призмы можно выполнить несколькими способами:

1. Способ нормального сечения.
2. Способ раскатки.
3. Способ треугольников (триангуляции) — здесь не рассматривается.

Рассмотрим на примерах построение развертки поверхности призмы

первыми двумя способами.

1-й способ. Способ нормального сечения (нормальное сечение перпендикулярно ребрам призмы).

Этот способ развертки боковой поверхности призмы можно применить, если на чертеже:

• ребра призмы являются прямыми уровня, то есть имеют на одной из заданных проекций натуральную величину,
• на проекциях нет натуральных величин оснований призмы.

. Если на чертеже ребра призмы являются прямыми общего положения, то следует изменить положение призмы относительно плоскостей проекций, преобразовав ребра в прямые уровня, например, способом замены плоскостей проекций.

Построение развертки боковой поверхности призмы способом нормального сечения выполняется по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. Провести на проекции призмы, на которую ребра призмы проецируются в натуральную величину, плоскость нормального сечения, перпендикулярную ее ребрам (в произвольном месте по длине ребер).

2-е действие. Построить натуральную величину многоугольника нормального сечения (например, способом замены плоскостей проекций).

3-е действие. Развернуть на свободном поле чертежа натуральный многоугольник сечения в прямую и через точки его вершин провести перпендикулярные прямые — направления ребер.

4-е действие. Отложить на направлениях ребер в обе стороны от линии нормального сечения натуральные отрезки соответствующих ребер.

5-е действие. Соединить построенные конечные точки ребер отрезками прямых и достроить плоскую фигуру развертки боковой поверхности призмы.

6-е действие. Оформить чертеж развертки, проведя линии сгиба в местах расположения ребер тонкими штрихпунктирными линиями с двумя короткими пунктирами.

На рис. 9.1 показан пример построения развертки поверхности треугольной призмы способом нормального сечения, так как на чертеже призмы ее ребра являются горизонтальными прямыми уровня, а основания являются плоскостями общего положения, т. е. не имеют натуральной величины.

Поверхность призмы «разрезана» по ребру и развернута по часовой стрелке.

Для построения развертки выполнены графические действия предложенного алгоритма.

1-е действие. Провести горизонтально-проецирующую плоскость нормального сечения перпендикулярно горизонтальным проекциям ребер призмы (произвольно по длине ребер).

2-е действие. Способом замены плоскостей проекций построить натуральную величину нормального сечения — треугольник , стороны которого определяют ширину каждой грани призмы.

3-е действие. На свободном поле чертежа треугольник нормального сечения развернуть в горизонтальную линию и отметить натуральные величины его сторон; из отмеченных на линии сечения точек 1, 2, 3 и 1 провести перпендикулярные прямые — направления ребер.

4-е действие. Отложить на проведенных направлениях ребер вверх и вниз отрезки натуральных величин ребер (см. ребро ) взятых с заданной горизонтальной проекции призмы, где ребра имеют натуральную величину.

5-е действие. Соединить отрезками прямых построенные конечные точки ребер и достроить плоскую фигуру развертки.

6-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив линии сгиба по ребрам призмы тонкими штрихпунктирными линиями с двумя короткими штрихами.

На этом же рис. 9.1 показано также построение на развертке точки , лежащей на грани призмы.

2-й способ. Способ раскатки

Этот способ развертки применяется, если на чертеже:

• ребра призмы являются прямыми уровня;
• основания призмы (или одно из оснований) лежат в плоскости уровня, т. е. имеют на чертеже натуральную величину.

Суть способа в том, что, «разрезав» поверхность призмы по одному из ее ребер, вращением призмы (раскаткой) вокруг этого ребра ближайшая грань призмы совмещается с плоскостью развертки (за плоскость развертки принимается плоскость проекций, которой параллельны ребра призмы). Затем последовательным вращением призмы вокруг следующих ребер с плоскостью развертки совмещаются все прочие грани призмы, т. е. выполняется полная раскатка ее боковой поверхности.

На рис. 9.2 показан пример построения развертки способом раскатки, так как на чертеже ребра призмы являются фронтальными прямыми, а оба основания лежат в горизонтальных плоскостях уровня и на горизонтальной проекции призмы имеют натуральную величину. За плоскость развертки принята фронтальная плоскость проекций, так как ребра призмы фронтальные прямые.

Построение развертки способом раскатки выполняется по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. «Разрезать» поверхность призмы по очерковому ребру и повернуть вокруг этого ребра грань призмы до совмещения с плоскостью развертки, построив ребро ; чтобы построить на развертке это ребро, нужно провести из вершин оснований и перпендикуляры к ребру и на пересечении этих перпендикуляров с дугой-засечкой, равной стороне основания , построить точки и , определяющие положение ребра на развертке (ребро параллельно ребру ).

2-е действие. Повторить последовательное вращение каждой грани
вокруг следующего ребра и совместить каждую грань с плоскостью развертки, построив конечные точки каждого ребра с помощью дуг-засечек, равных следующим сторонам основания и .

3-е действие. Соединить построенные конечные точки ребер отрезками прямых и достроить плоскую фигуру развертки (достроено также одно основание призмы).

4-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив линии сгиба по ребрам тонкими штрихпунктирными линиями с двумя короткими пунктирами.

На этом же рисунке показано построение на развертке точки , лежащей на грани призмы.

Эта теория взята со страницы лекций для 1 курса по предмету «начертательная геометрия»:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник