Виды умножения
проблема : разобраться видах умножения
Цель:ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, и их применение при вычислениях числовых выражений.
Задачи:
1. Найти и разобрать различные способы умножения.
2. Научиться демонстрировать некоторые способы умножения.
3. Рассказать о новых способах умножения и научить ими пользоваться учащихся.
4. Развить навыки самостоятельной работы: поиск информации, отбор и оформление найденного материала.
5. Эксперимент «какой способ быстрей»
Гипотеза:Надо ли знать таблицу умножения?
Актуальность:В последнее время ученики доверяют гаджетам больше чем себе. И по этому считают только на калькуляторах. Мы хотели показать что есть разные способы умножение, что бы ученикам было легче считать,и интересно учить.
ВВЕДЕНИЕ
Вы не сможете выполнить умножения многозначных чисел — хотя бы даже двузначных — если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения.
В разное время разные народы владели разными способами умножения натуральных чисел.
Почему же сейчас все народы применяют один способ умножения «столбиком»?
Почему люди отказались от старых способов умножения в пользу современного?
Имеют ли забытые способы умножения право на существование в наше время?
Что бы ответить на эти вопросы я проделал следующую работу:
1. С помощью сети Интернета нашел информацию о некоторых способах умножения, которые использовались раньше.;
2. Изучил литературу, предложенную учителем;
3. Решил пару примеров всеми изученными способами, что бы узнать их недостатки;
4) Выявил среди них наиболее эффективные;
5. Провел эксперимент;
6. Сделал выводы.
1. Найти и разобрать различные способы умножения.
Умножение на пальцах.
Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.
Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.
Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто 2 и 3 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (2•3=6), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 56 . Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел, больше 5.
Способы умножения чисел в разных странах
Умножение на 9.
Умножение для числа 9 — 9·1, 9·2 … 9·10 — легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится «на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).
Кто придумал умножение на пальцах
Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа — количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа — 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип «вычисления».
Умножение необычным способом
Еще пример: нужно вычислить 9·8=?. По ходу дела скажем, что в качестве «счетной машинки» не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа — 2 клеточки. Значит 9·8=72. Все очень просто.
7 клеток 2 клетки.
Индийский способ умножения.
Самый ценный вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии. Индусы предложили употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Основа этого способа заключается в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких – нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.
Индусы отлично считали. Они придумали очень простой способ умножения. Они умножение выполняли, начиная со старшего разряда, и записывали неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен, поэтому между множителями они оставляли небольшое расстояние. Например, умножим их способом 537 на 6:
(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318
(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222
6
Умножение способом «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК».
Умножение чисел сейчас изучают в первом классе школы. А вот в Средние века совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет.
За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности»(1494 г.) приводит восемь различных методов умножения. Первый из них носит название «Маленький замок», а второй не менее романтичное название «Ревность или решетчатое умножение».
Преимущество способа умножения «Маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно, если требуется быстро оценить величину.
Цифры верхнего числа, начиная со старшего разряда, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются.
Способы умножения чисел в разных странах
Умножение чисел методом «ревность».
«Методы умножения Второй способ носит романтическое название ревность», или «решётчатое умножение».
Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, — пишет Пачоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и монахинь».
Умножим этим способом 347 на 29. Начертим таблицу, запишем над ней число 347, а справа число 29.
В каждую строчку запишем произведение цифр, стоящих над этой клеткой и справа от нее, при этом цифру десятков произведения напишем над косой чертой, а цифру единиц – под ней. Теперь складываем числа в каждой косой полосе, выполняя эту операцию, справа налево. Если сумма окажется меньше 10, то ее пишем под нижней цифрой полосы. Если же она окажется больше, чем 10, то пишем только цифру единиц суммы, а цифру десятков прибавляем к следующей сумме. В результате получаем искомое произведение 10063.
Крестьянский способ умножения.
Самым, на мой взгляд, «родным» и легким способом умножения является способ, который употребляли русские крестьяне. Этот прием вообще не требует знания таблицы умножения дальше числа 2. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.
В случае нечетного числа надо откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением
Произведение всех пар соответственных чисел одинаковое, поэтому
37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184
В случае, когда одно из чисел нечетное или оба числа нечетные, поступаем следующим образом:
24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
Новый способ умножения.
Интересен новый способ умножения, о котором недавно появились сообщения. Изобретатель новой системы устного счёта кандидат философских наук Василий Оконешников утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить. По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.
Считать по такой таблице очень просто. К примеру, умножим число 15647 на 5. В части таблицы, соответствующей пятёрке, выбираем числа, соответствующие цифрам числа по порядку: единице, пятёрке, шестёрке, четвёрке и семёрке. Получаем: 05 25 30 20 35
Левую цифру (в нашем примере — ноль) оставляем без изменений, а следующие цифры складываем попарно: пятёрку с двойкой, пятёрку с тройкой, ноль с двойкой, ноль с тройкой. Последняя цифра также без изменений.
В итоге получаем: 078235. Число 78235 и есть результат умножения.
Если же при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.
Умножение графическим методом (линейным, китайским)
Перемножим два двузначных числа: 15*23
Шаг 1. первое число 15:
Рисуем первую цифру – одной линией.
Рисуем вторую цифру – пятью линиями.
Шаг 2. второе число 23:
Рисуем первую цифру – двумя линиями.
Рисуем вторую цифру – тремя линиями.
Шаг 3.
Подсчитываем количество точек в группах.
Шаг 4. Результат – 345
Проведем эксперимент
С помощью секундомера установим сколько времени затрачивается на решение примера, каждым рассмотренным способом.
Заключение.
Работая над этой темой, я узнал, что существует порядка 30 различных, забавных и интересных способов умножения. Некоторыми в различных странах пользуются до сих пор. Я выбрал для себя некоторые интересные способы. Но не все способы удобны в использовании, особенно при умножении многозначных чисел.
Источник
«Различные способы умножения: от древности до нашего времени»
Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Актуальность темы исследования состоит в том, что знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| obyk_chudo-mincheva_a.doc | 407 КБ |
Предварительный просмотр:
МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №37»
Научно-практическая конференция «Обыкновенное чудо»
«Различные способы умножения: от древности до нашего времени»
Конева Галина Михайловна,
«Отличник просвещения РФ»,
Победитель Конкурса лучших учителей России(2009 г)
Я считаю, что ученица проделала большую работу, и этот доклад будет интересен учащимся, увлекающимся математикой, будущим экономистам.
Учитель высшей категории: Конева Г.М.
2.Основная часть. Способы умножения натуральных чисел
2.1. Прием перекрестного умножения при действии с двузначными числами
2.2. Умножение способом «Ревность, или решётчатое умножение»
2.3. Умножение способом «Маленький замок»
2.4. Крестьянский способ умножения
2.5. Индийский способ умножения
2.6.Геометрический способ умножения
2.7.Оригинальный способ умножения на 9 на пальцах
«Предмет математики настолько серьезен,
что полезно не упускать случаев делать
его немного занимательным». Б. Паскаль
Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики нас учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.
На одном из уроков учитель математики показала, как можно умножить, например число 23 на 11. Для этого нужно мысленно раздвинуть цифры 2 и 3, а на это место поставить цифру 5, то есть сумму цифр 2 и 3. Получилось число 253. Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений. Ведь способность быстро производить вычисления вызывает откровенное удивление.
Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Актуальность темы исследования состоит в том, что знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.
Исследовать и изучить необычные способы умножения.
1.Найти как можно больше необычных способов вычислений.
2.Научиться их применять.
3.Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.
4.Обучить своих одноклассников различным методам умножения, организовать соревнование – математический бой на занятиях внеурочной деятельности.
— поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;
— исследовательский метод при определении способов умножения;
— практический метод при решении примеров.
II. Из истории вычислительной практики
Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений.
Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления — приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» восхвалял собственный способ выполнения этого действия.
В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».
И все эти приемы умножения — «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.
Я начала изучать и исследовать некоторые из указанных способов и выбрала наиболее интересные.
III. Различные способы умножения.
3.1.Способ перекрестного умножения при действии с двузначными числами
Древние греки и индусы в старину называли прием перекрестного умножения «способом молнии» или «умножение крестиком».
Пример: 52 х 23 = 1173 5 1
Последовательно производим следующие действия:
1. 1 х 3 = 3 – это последняя цифра результата.
2. 5 х 3 = 15; 1х 2 = 2; 15 + 2 = 17.
7 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.
3. 5 х 2 = 10, 10 + 1 = 11 – это первые цифры в ответе.
3.2. Древний способ Луки Пачоли: «Ревность, или решётчатое умножение»
За тысячелетия развития математики было придумано много способов умножения. Кроме таблицы умножения, все они громоздкие, сложные и трудно запоминаются. Считалось, что для овладения искусством быстрого умножения нужно особое природное дарование. Простым людям, не обладающим особым математическим даром, это искусство недоступно.
Умножим число 987 на число 1998.
Рисуем прямоугольник, делим его на квадраты, квадраты делим по диагонали. Получается картинка, похожая на решетчатые ставни венецианских домов. От этого и произошло название метода.
Вверху таблицы запишем число 987, а слева снизу вверх – 1998 (рис. 1).
В каждый квадрат впишем произведение цифр, расположенных в одной строке и одном столбце с этим квадратом. Десятки располагаются в нижнем треугольнике, а единицы – в верхнем. Цифры складываются вдоль каждой диагонали. Результаты записываются справа и слева от таблицы [1] .
Рис. 1 «Ревность, или решётчатое умножение».
3.3.Еще один способ Луки Пачоли: «Маленький замок»
Одно число записывается под другим как при умножении столбиком (рис. 2). Затем цифры верхнего числа поочередно умножаются на нижнее число, причем начинают с цифры старшего разряда и каждый раз добавляют нужное число нулей.
Полученные числа складывают между собой.
Рис. 2 «Маленький замок»
Сравним результаты, полученные при умножении чисел 987 и 1998 этими двумя способами. Ответы равны 1972026.
Очевидно, что данные старинные способы умножения действительно очень сложны и требуют обязательного знания таблицы умножения.
3.4. Русский крестьянский способ умножения
В России среди крестьян был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2.
Напишем одно число слева, а другое справа на одной строке (рис. 3). Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик.
Если при делении возник остаток, то его отбрасывают. Умножение и деление на 2 продолжают до тех пор, пока слева не останется 1.
Затем вычеркиваем те строчки из столбика, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце.
Рис. 3 «Русский крестьянским способом»
Вывод: Этот способ умножения гораздо проще рассмотренных ранее способов умножения Луки Пачоли. Но он также очень громоздкий.
3.5. Индийский способ умножения
Самый ценный вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии. Индусы предложили употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Основа этого способа заключается в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких – нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.
Индусы отлично считали. Они придумали очень простой способ умножения. Они умножение выполняли, начиная со старшего разряда, и записывали неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен, поэтому между множителями они оставляли небольшое расстояние. Например, умножим их способом 537 на 6:
(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318
(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222. Ответ: 3222
3.6. Геометрический способ умножения
В данном способе используется геометрическая фигура – круг.
Сначала рассмотрим этот способ на примере. Умножим, например, число 13 на 24.
1)Чертим круги. Так как первый множитель двузначное число, то две строки; второй множитель тоже двузначное число, то и два столбца. Так число десятков в первом множителе равно 1, то в первой строке чертим по одному кругу, то есть ничего не меняем. Так как число единиц первого множителя равно 3, то во второй строке чертим по три круга. (рис. 4).
2)Второй множитель число 24, то круги, которые в первом столбце делим на две части, а круги, которые во втором столбце делим на четыре части
3)Проводим прямые и считаем точки (рис. 6).
Ответ записывается следующим образом (рис. 7), смотрим снизу вверх количество точек 12, 2 – последняя цифра результата, один в уме, количество точек во второй области 10 и +1, того 11, 1 пишем и один в уме, количество точек в третьей области 2 и +1, итого 3. Ответ: 312.
Этим способом я решила много примеров. Затем обобщила частные примеры и сделала вывод-правило :
1.Чертим круги. Количество цифр в первом множителе означает количество строк, а количество цифр второго множителя означает количество столбцов.
Если число содержит 0, круг, обозначающий ноль, чертим пунктирной линией. Это воображаемая линия, точек на ней не существует.
2.Первая цифра первого множителя означает количество концентрических кругов в первой строке, вторая цифра первого множителя означает количество кругов во второй строке
3.Цифры второго множителя означают, на сколько частей нужно делить круги: первая цифра – для первого столбца, вторая цифра – для второго, и т.д.
4.Получим круги, поделенные на части. В каждой части ставим точку.
5.Далее чертим косые прямые и считаем количество точек (частей) в каждой косой полосе. Записываем полученное число.
6.Записываем ответ по принципу, рассмотренному в примере.
3.6. Оригинальный способ умножения на 9 на пальцах
Умножение для числа 9 — 9·1, 9·2 … 9·10 — легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится «на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).
Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа — количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа — 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип «вычисления».
3.7.Современный способ Оконешникова
Интересен новый способ умножения, о котором недавно появились сообщения. Изобретатель новой системы устного счёта кандидат философских наук Василий Оконешников утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить. По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.
Считать по такой таблице очень просто. К примеру, умножим число 15647 на 5. В части таблицы, соответствующей пятёрке, выбираем числа, соответствующие цифрам числа по порядку: единице, пятёрке, шестёрке, четвёрке и семёрке. Получаем: 05 25 30 20 35
Левую цифру (в нашем примере — ноль) оставляем без изменений, а следующие цифры складываем попарно: пятёрку с двойкой, пятёрку с тройкой, ноль с двойкой, ноль с тройкой. Последняя цифра также без изменений.
В итоге получаем: 078235. Число 78235 и есть результат умножения.
Если же при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.
Научившись считать всеми представленными способами, я пришел к выводу: что самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе, может быть они для нас более привычны.
Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным показался способ «решетчатого умножения или ревность». Я показал его своим одноклассникам, и он им тоже очень понравился.
Самым простым мне показался метод «удвоения и раздвоения», который использовали русские крестьяне. Я его использую при умножении не слишком больших чисел (очень удобно его использовать при умножении двузначных чисел).
Заинтересовал меня новый способ умножения, потому что он позволяет в уме «ворочать» огромными числами.
Я думаю, что и наш способ умножения в столбик не является совершенным и можно придумать еще более быстрые и более надежные способы.
Депман И. «Рассказы о математике». – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.
Корнеев А.А. Феномен русского умножения. История. http://numbernautics.ru/
Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.
Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941 — 12 с.
Перельман Я.И. Занимательная арифметика. М.Русанова,1994—205с.
Энциклопедия «Я познаю мир. Математика». – М.: Астрель Ермак, 2004.
Энциклопедия для детей. «Математика». – М.: Аванта +, 2003. – 688 с.
Источник
