Как вычислять наиболее рациональным способом дроби

Калькулятор рациональных выражений

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором для вычисления значений рациональных выражений.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач дробями и степенями.

Калькулятор для вычисления рациональных выражений

	С	1	2	3	÷
		4	5	6	×
(	)	7	8	9	—	
a 2	a b	.	0		+

Калькулятор работает в тестовом режиме. Если вы нашли ошибку, пожалуйста напишите в комментариях условия задачи или прикрепите скриншет ее решения.

Ввод данных в калькулятор для вычисления рациональных выражений

В онлайн калькулятор можно вводить числа, десятичные дробы, обыкновенные дроби, смешанные числа и целые степени.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления координат середины отрезка

• Используйте кнопки калькулятора  и  или и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Правила. Сложение, вычитание, умножение и деление дробей.

Сложение обыкновенных дробей

• Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует:
• привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
• сложить числители дробей, а знаменатель оставить без изменений;
• сократить полученную дробь;
• если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную.

Вычитание обыкновенных дробей

• Чтобы вычесть из одной обыкновенной дроби другую, следует:
• привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
• из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений;
• сократить полученную дробь.

Умножение обыкновенных дробей

• Чтобы умножить две обыкновенные дроби, надо:
• перемножить числители и знаменатели дробей;
• сократить полученную дробь.

Деление обыкновенных дробей

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Действия с рациональными числами: правила, примеры, решения

Ниже рассмотрим правила основных математических действий над рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Разберем теорию на практических примерах.

Действие сложения рациональных чисел

Рациональные числа содержат натуральные, тогда смысл действия сложения рациональных чисел сопоставим со смыслом сложения натуральных. Например, сумму рациональных чисел, записанную как 5 + 1 4 возможно описать следующим образом: к 5 целым предметам добавили четверть такого предмета, после чего полученное количество рассматривается совместно.

Сформулируем правила сложения рациональных чисел:

Сложение нуля с отличным от него рациональным числом

Прибавление нуля к любому числу дает то же число. Данное правило возможно записать в виде равенства: a + 0 = a (для любого рационального числа а). Используя переместительное свойство сложения, получим также верное равенство: 0 + a = a .

Пара простых примеров: сумма рационального числа 2 , 1 и числа 0 равно 2 , 1 и: 6 4 5 + 0 = 6 4 5 .

Сложение противоположных рациональных чисел

Сумма противоположных чисел равна нулю.

Данное правило можно записать в виде: a + ( — a ) = 0 (для любого рационального числа a ).

К примеру, числа 45 , 13 и — 45 , 13 являются противоположными, т.е. их сумма равно нулю: 45 , 13 + ( — 45 , 13 ) = 0 .

Сложение положительных рациональных чисел

В виде обыкновенной дроби возможно представить любое положительное рациональное число и использовать далее схему сложения обыкновенных дробей.

Необходимо произвести сложение рациональных чисел: 0 , 6 и 5 9 .

Решение

Выполним перевод десятичной дроби в обыкновенную и тогда: 0 , 6 + 5 9 = 6 10 + 5 9 .

Осуществим сложение дробей с разными знаменателями:

6 10 + 5 9 = 54 90 + 50 90 = 104 90 = 1 7 45

Ответ: 0 , 6 + 5 9 = 1 7 45 .

Рациональные числа, которые подвергают действию сложения, возможно записать в виде конечных десятичных дробей или в виде смешанных чисел и, таким образом, осуществить сложение десятичных дробей и смешанных чисел соответственно.

Сложение рациональных чисел с разными знаками

Для того, чтобы осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками, необходимо из бОльшего модуля слагаемых вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Необходимо осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками 8 , 2 и — 2 3 4 .

Решение

Согласно исходным данным, необходимо произвести сложение положительного числа с отрицательным. Придерживаясь вышеуказанного правила, определим модули заданных чисел: | 8 , 2 | = 8 , 2 и | — 2 3 4 | = 2 3 4 . Проведя сравнение модулей — рациональных чисел, получим: 8 , 2 > 2 3 4 и соответственно поймем, какое число из заданных станет уменьшаемым, а какое — вычитаемым. Произведем вычитание смешанных чисел, т.е.: 8 , 2 — 2 3 4 = 8 2 10 — 2 3 4 = 5 9 20 .

Полученному результату присваивается знак плюс, т.к. бОльшее из слагаемых по модулю – положительное число. Ответ: 8 , 2 + ( — 2 3 4 ) = 5 9 20 .

Сложение отрицательных рациональных чисел

Для того, чтобы произвести сложение отрицательных рациональных чисел, необходимо сложить модули заданных слагаемых, затем полученному результату присвоить знак минус.

Необходимо произвести сложение чисел: — 4 , 0203 и — 12 , 193 .

Решение

Модули заданных чисел соответственно равны: 4 , 0203 и 12 , 193 . Сложим их:

​​​​​​

Полученному результату присваиваем знак минус: — 16 , 2133 .

Ответ: ( — 4 , 0203 ) + ( — 12 , 193 ) = — 16 , 2133 .

Действие вычитания рациональных чисел

Вычитание – действие, обратное сложению, в котором мы находим неизвестное слагаемое по сумме и известному слагаемому. Тогда из равенства c + b = a следует, что a — b = c и a — c = b . И наоборот: из равенств a — b = c и a — c = b следует, что c + b = a .

При вычитании из бОльшего положительного рационального числа мы либо производим вычитание обыкновенных дробей, либо, если это уместно, вычитание десятичных дробей или смешанных.

Необходимо вычислить разность рациональных чисел: 4 , ( 36 ) – 1 5 .

Решение

Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную: 4 , ( 36 ) = 4 + ( 0 , 36 + 0 , 0036 + … ) = 4 + 0 , 36 1 — 0 , 01 = 4 + 36 99 = 4 + 4 11 = 4 4 11

Далее переходим к действию вычитания обыкновенной дроби из смешанного числа: 4 , ( 36 ) — 1 5 = 4 4 11 — 1 5 = 4 + 4 11 — 1 5 = 4 + 20 55 — 11 55 = 4 + 9 55 = 4 9 55

Ответ: 4 , ( 36 ) — 1 5 = 4 9 55

В прочих случаях вычитание рациональных чисел необходимо заменить сложением: к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: a – b = a + ( — b ) .

Указанное равенство можно доказать, опираясь на свойства действий с рациональными числами. Они дают возможность записать цепочку равенств: ( a + ( — b ) ) + b = a + ( ( — b ) + b ) = a + 0 = a . Отсюда в силу смысла действия вычитания следует, что сумма a + ( — b ) есть разность чисел a и b .

Необходимо из рационального числа 2 7 вычесть рациональное число 5 3 7

Решение

Согласно последнему указанному правилу используем для дальнейших действий число, противоположное вычитаемому, т.е. — 5 3 7 . Тогда: 2 7 — 5 3 7 = 2 7 + — 5 3 7

Далее произведем сложение рациональных чисел с разными знаками: 2 7 + — 5 3 7 = — 5 3 7 — 2 7 = — 5 3 7 — 2 7 = — 5 1 7

Ответ: 2 7 + — 5 3 7 = — 5 1 7

Действие умножения рациональных чисел

Общее понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, так же как от целых к рациональным. Все действия с целыми числами имеют те же свойства, что и действия с натуральными. В таком случае, и действия с рациональными числами также должны характеризоваться всеми свойствами действий с целыми числами. Но для действия умножения рациональных чисел присуще дополнительное свойство: свойство умножения взаимообратных чисел. Вышесказанному соответствуют все правила умножения рациональных чисел. Укажем их.

Умножение на нуль

Произведение любого рационального числа a на нуль есть нуль.

Используя переместительное свойство умножения, получим: 0 · а = 0 .

К примеру, умножение рационального числа 7 13 на 0 даст 0 . Перемножив отрицательное рациональное число — 7 1 8 и нуль, также получим нуль. В частном случае, произведение нуля на нуль есть нуль: 0 · 0 = 0 .

Умножение на единицу

Умножение любого рационального числа a на 1 дает число a .

Т.е. a · 1 = a или 1 · a = a (для любого рационального a ). Единица здесь является нейтральным числом по умножению.

К примеру, умножение рационального числа 5 , 46 на 1 даст в итоге число 5 , 46 .

Умножение взаимообратных чисел

Если множители есть взаимообратные числа, то результатом их произведения будет единица. Т.е. : а · а — 1 = 1 .

К примеру, результатом произведения чисел 5 6 и 6 5 будет единица.

Умножение положительных рациональных чисел

В общих случаях умножение положительных рациональных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Первым действием множители представляются в виде обыкновенных дробей, если заданные числа таковыми не являются.

Необходимо вычислить произведение положительных рациональных чисел 0 , 5 и 6 25 .

Решение

Представим заданную десятичную дробь в виде обыкновенной 0 , 5 = 5 10 = 1 2 .

Далее произведем умножение обыкновенных дробей: 1 2 · 6 25 = 6 50 = 3 25 .

Ответ: 0 , 5 · 6 25 = 3 25

Можно также работать и с конечными десятичными дробями. Удобнее будет в данном случае не переходить к действиям над обыкновенными дробями.

Необходимо вычислить произведение рациональных чисел 2 , 121 и 3 , 4 .

Решение

Перемножим десятичные дроби столбиком:

Ответ: 2 , 121 · 3 , 4 = 7 , 2114

В частных случаях нахождение произведения рациональных чисел представляет собой умножение натуральных чисел, умножение натурального числа на обыкновенную или десятичную дробь.

Умножение рациональных чисел с разными знаками

Чтобы найти произведение рациональных чисел с разными знаками, необходимо перемножить модули множителей и полученному результату присвоить знак минус.

Необходимо найти произведение чисел: — 3 3 8 и 2 1 2

Решение

Согласно вышеуказанному правилу получим: — 3 3 8 · 2 1 2 = — 3 3 8 · 2 1 2 = — 3 3 8 · 2 1 2

Заменим смешанные дроби неправильными и найдем искомое произведение: — 3 3 8 · 2 1 2 = — 27 8 · 5 2 = — 135 16 = — 8 7 16

Ответ: — 3 3 8 · 2 1 2 = — 8 7 16

Умножение отрицательных рациональных чисел

Для того, чтобы найти произведение отрицательных рациональных чисел, необходимо перемножить модули множителей.

Необходимо найти произведение отрицательных рациональных чисел — 3 , 146 и — 56 .

Решение: модули заданных чисел соответственно равны 3 , 146 и 56 .

Перемножим их столбиком:

Полученный результат и будет являться искомым произведением.

Ответ: ( — 3 , 146 ) · ( — 56 ) = 176 , 176

Деление рациональных чисел

Деление – действие, обратно умножению, в ходе которого мы находим неизвестный множитель по заданному произведению и известному множителю. Смысл действия деления можно записать так: из равенства b · c = a следует, что a : b = c и a : c = b . И наоборот: из равенств a : b = c и a : c = b следует, что b · c = a .

На множестве рациональных чисел деление не считается самостоятельным действием, поскольку оно производится через действие умножения. Собственно, этот смысл заложен в правило деления рациональных чисел.

Разделить число а на число b , отличное от нуля – то же самое, что умножить число a на число, обратное делителю. Т.е., на множестве рациональных чисел верно равенство: a : b = a · b — 1 .

Указанное равенство доказывается просто: на основе свойств действий с рациональными числами справедливой будет цепочка равенств ( a · b — 1 ) · b = a · ( b — 1 · b ) = a · 1 = a , которая и доказывает равенство a : b = a · b — 1 .

Таким образом, деление рационального числа на другое рациональное число, отличное от нуля, сводится к действию умножения рациональных чисел.

Необходимо выполнить действие деления 3 1 3 : — 1 1 6

Решение

Определим число, обратное заданному делителю. Запишем заданный делитель в виде неправильной дроби: — 1 1 6 = — 7 6 .

Число, обратное этой дроби, будет: — 6 7 . Теперь, согласно вышеуказанному правилу, произведем действие умножения рациональных чисел: 3 1 3 — 1 1 6 = 3 1 3 · — 6 7 = 10 3 · ( — 6 7 ) = — ( 10 3 · 6 7 ) = — 20 7 = — 2 6 7

Ответ: 3 1 3 : — 1 1 6 = — 2 6 7

Источник