Как вычислять десятичные дроби рациональным способом

Калькулятор рациональных выражений

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором для вычисления значений рациональных выражений.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач дробями и степенями.

Калькулятор для вычисления рациональных выражений

	С	1	2	3	÷
		4	5	6	×
(	)	7	8	9	—	
a 2	a b	.	0		+

Калькулятор работает в тестовом режиме. Если вы нашли ошибку, пожалуйста напишите в комментариях условия задачи или прикрепите скриншет ее решения.

Ввод данных в калькулятор для вычисления рациональных выражений

В онлайн калькулятор можно вводить числа, десятичные дробы, обыкновенные дроби, смешанные числа и целые степени.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления координат середины отрезка

• Используйте кнопки калькулятора  и  или и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Правила. Сложение, вычитание, умножение и деление дробей.

Сложение обыкновенных дробей

• Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует:
• привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
• сложить числители дробей, а знаменатель оставить без изменений;
• сократить полученную дробь;
• если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную.

Вычитание обыкновенных дробей

• Чтобы вычесть из одной обыкновенной дроби другую, следует:
• привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
• из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений;
• сократить полученную дробь.

Умножение обыкновенных дробей

• Чтобы умножить две обыкновенные дроби, надо:
• перемножить числители и знаменатели дробей;
• сократить полученную дробь.

Деление обыкновенных дробей

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Повторение курса

1. Десятичная дробь – это форма записи обыкновенной дроби, у которой знаменатель равен 10, 100, 1000 и т.д.

Например, 1/100 = 0,01; 7/10 = 0,7 ; 19/1000 = 0,019

2. Запятая в десятичной дроби отделяет:

— целую часть от дробной;

— столько знаков, сколько нулей в знаменателе обыкновенной дроби.

3. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Запишите в числитель все число без запятой, а в знаменатель – единицу и столько нулей, столько цифр было отделено запятой в десятичной дроби.

4. Как обыкновенную дробь перевести в десятичную?

1 способ (хорошо работает, когда в знаменателе дроби: 2, 5, 20, 25… и т. д., то есть когда сразу понятно, на что надо умножать): домножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 и т.д., а потом записать результат в десятичном виде.

2 способ: поделить числитель обыкновенной дроби на ее знаменатель (см. раздел сайта: 5 класс/десятичные дроби).

5. Сложение и вычитание десятичных дробей:

Сложение (вычитание) десятичных дробей выполняется так же, как сложение (вычитание) натуральных чисел, в столбик: главное, чтобы запятая во втором числе стояла под запятой в первом. Например:

6. Умножение десятичных дробей (см. раздел сайта: 5 класс/десятичные дроби/умножение десятичных дробей):

Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно умножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятые. Потом сложить количество знаков после запятой в первом множителе и во втором множителе, а затем отделить полученное количество знаков в произведении, считая справа налево. Например:

7. Деление десятичных дробей (см. раздел сайта: 5 класс/десятичные дроби/деление десятичных дробей):

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо перенести запятую в делителе вправо на столько позиций, пока он не станет целым. Потом на столько же позиций перенести запятую в делимом. Затем разделить получившиеся числа как обычно, в столбик. При этом в ответе нужно будет не забыть поставить запятую сразу же, как мы «перейдем за запятую» в делимом. Например:

1. Вычислите:

30,75 + 5,6136 21,6 — 13,823 7,05 * 0,0308 15,6672 : 3,84

5,52 + 994,48 406,01 — 75,997 507,8 * 3,005 0,03729 : 6,78

2. Найдите значение выражения:

а) (12 — 8,4) : 0,09 * 0,7 — 0,3 * (0,6 + 3,12) : (14,18 — 7,98) : 0,01

б) 10 * (0,056 : 0,8 * 700 — 40,2832) : (16 * 0,6 — 0 : 3,2) + 5,4 : 9 : 30

3. В летнем лагере за смену в 28 дней израсходовали 1 т картофеля. В первые 12 дней расход картофеля составил 38 кг в день. Каким будет расход картофеля в оставшиеся дни, если каждый день он будет одинаковым?

4. Найдите истинные высказывания. Расположите соответствующие им ответы в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам, и расшифруйте астрономический термин. Примеры, в которых допущена ошибка, решите правильно и запишите их в тетрадь.

Р 0,4 + 3 = 3,4 Д 9,1 — 1,05 = 8,05 А 0,8 * 0,04 = 0,032

У 6 + 0,12 = 0,18 Г 0,854 — 0,85 = 0,04 К 5 : 1000 = 0,05

Н 0,25 + 0,5 = 0,3 Б 0,5 * 3 = 0,15 Т 3,6 : 9 = 0,4

О 3,28 + 1,3 = 4,58 И 4 * 1,7 = 6,8 Я 12,3 : 5 = 24,6

Е 2,6 — 0,01 = 2,59 Ж 17,2 * 10 = 1,72 С 0,056 : 0,7 = 0,08

5. У дачника было три улья. С первого улья он получил 24,8 кг мёда, со второго — на 6,4 кг меньше, чем с первого, а с третьего — половину того, что собрал с первых двух ульев вместе. Весь мёд он разложил поровну в 18 банок. По скольку килограммов мёда было в каждой банке?

6. Существует версия, что «золотое руно», за которым отправились аргонавты в Колхиду, есть не что иное, как секрет выделки одного растения. Его-то и продавали на вес золота в Древнем мире. Голубой венчик этого растения — это «цвет неба», — считали жрецы Исиды и носили одежды только из этого растения. Что это за растение? Чтобы ответить на этот вопрос, вычислите рационально:

18,7 * 3,6 — 3,6 * 8,7 + 4,4

17,3 * 18,9 — 18,9 * 3,1 + 15,8 * 18,9

37,2 * 18,2 — 18,2 * 21,3 + 19,2 * 15,9 + 15,9 * 2,6

Е=40,4 ; Д=36 ; С=8 ; Н=567 ; У=684,18 ; Л=636 ; Б=728 ; И=872.

7. Соком этого растения был отравлен король датский, отец Гамлета. Сейчас оно входит в состав мазей для лечения простуды, бронхита, плеврита, т. к. вещества, входящие в его состав, оказывают спазмолитическое действие. Что это за растение? (Результат каждого действия даёт букву.)

227,36 : (865,6 — 20,8 * 40,5) * 8,38 + 1,12 — 44

А=842,4 ; К=844,2 ; Е=23,2; С=93,5 ; Е=9,8 ; О=84,24 ; Н=82,124 ; Б=83,244 ; Л=39,244 ; Я=83,2.

8. Этого симпатичного зверька на латыни именовали «королём зелени». Назовите его:

(68,344 — 3,09 : 1,5) : 7,3 + 2,7 * 8,5 — 2,03

Б=26 ; О=2,06 ; В=2,6 ; И=66,284 ; А=681,38 ; Л=9,08 ; А=9,8 ; Ц=98 ; Н=229,5 ; Е=0,3203 ; Р=22,95 ; К=32,03 ; К=30.

9. Выполните действия и округлите полученный результат с точностью:

• до десятков: 2987,4 + 7,85; 100,1 — 47,907; 39,5 * 5,09; 163,846 : 0,79
• до единиц: 82,435 + 7,0684; 203 — 75,48; 470,5 * 0,804; 0,43236 : 0,045;
• до десятых: 205,038 + 9,47; 4,2 — 1,517; 320 * 0,0564; 0,06111 : 0,063;
• до сотых: 1,514 + 0,4872; 5,1002 — 0,005; 5,7 * 0,053; 0,649636 : 0,806

Источник

Рациональные числа

Тема рациональных чисел достаточно обширна. О ней можно говорить бесконечно и писать целые труды, каждый раз удивляясь новым фишкам.

Чтобы не допускать в будущем ошибок, в данном уроке мы немного углубимся в тему рациональных чисел, почерпнём из неё необходимые сведения и двинемся дальше.

Что такое рациональное число

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби , где a — это числитель дроби, b — знаменатель дроби. Причем b не должно быть нулём, поскольку деление на ноль не допускается.

К рациональным числам относятся следующие категории чисел:

• целые числа (например −2, −1, 0 1, 2 и т.д.)

• обыкновенные дроби (например , , и т.п.)

• смешанные числа (например , , и т.п.)

• десятичные дроби (например 0,2 и т.п.)

• бесконечные периодические дроби (например 0,(3) и т.п.)

Каждое число из этой категории может быть представлено в виде дроби .

Пример 1. Целое число 2 может быть представлено в виде дроби . Значит число 2 относится не только к целым числам, но и к рациональным.

Пример 2. Смешанное число может быть представлено в виде дроби . Данная дробь получается путём перевода смешанного числа в неправильную дробь

Значит смешанное число относится к рациональным числам.

Пример 3. Десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби . Данная дробь получилась путём перевода десятичной дроби 0,2 в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему десятичных дробей.

Поскольку десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби , значит она тоже относится к рациональным числам.

Пример 4. Бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби . Данная дробь получается путём перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему периодические дроби.

Поскольку бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби , значит она тоже относится к рациональным числам.

В дальнейшем, все числа которые можно представить в виде дроби, мы всё чаще будем называть одним словосочетанием — рациональные числа.

Рациональные числа на координатной прямой

Координатную прямую мы рассматривали, когда изучали отрицательные числа. Напомним, что это прямая линия на которой лежат множество чисел. Выглядит следующим образом:

На этом рисунке приведен небольшой фрагмент координатной прямой от −5 до 5.

Отметить на координатной прямой целые числа вида 2, 0, −3 не составляет особого труда.

Намного интереснее дела обстоят с остальными числами: с обыкновенными дробями, смешанными числами, десятичными дробями и т.д. Эти числа лежат между целыми числами и этих чисел бесконечно много.

Например, отметим на координатной прямой рациональное число . Данное число располагается ровно между нулём и единицей

Попробуем понять, почему дробь вдруг расположилась между нулём и единицей.

Как уже говорилось выше, между целыми числами лежат остальные числа — обыкновенные дроби, десятичные дроби, смешанные числа и т.д. К примеру, если увеличить участок координатной прямой от 0 до 1, то можно увидеть следующую картину

Видно, что между целыми числами 0 и 1 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь , которая расположилась там же, где и десятичная дробь 0,5. Внимательное рассмотрение этого рисунка даёт ответ на вопрос почему дробь расположилась именно там.

Дробь означает разделить 1 на 2. А если разделить 1 на 2, то мы получим 0,5

Десятичную дробь 0,5 можно замаскировать и под другие дроби. Из основного свойства дроби мы знаем, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.

Если числитель и знаменатель дроби умножить на любое число, например на число 4, то мы получим новую дробь , а эта дробь также как и равна 0,5

А значит на координатной прямой дробь можно расположить там же, где и располагалась дробь

Пример 2. Попробуем отметить на координатной рациональное число . Данное число располагается ровно между числами 1 и 2

Значение дроби равно 1,5

Если увеличить участок координатной прямой от 1 до 2, то мы увидим следующую картину:

Видно, что между целыми числами 1 и 2 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь , которая расположилась там же, где и десятичная дробь 1,5.

Мы увеличивали определенные отрезки на координатной прямой, чтобы увидеть остальные числа, лежащие на этом отрезке. В результате, мы обнаруживали десятичные дроби, которые имели после запятой одну цифру.

Но это были не единственные числа, лежащие на этих отрезках. Чисел, лежащих на координатной прямой бесконечно много.

Нетрудно догадаться, что между десятичными дробями, имеющими после запятой одну цифру, лежат уже другие десятичные дроби, имеющие после запятой две цифры. Другими словами, сотые части отрезка.

К примеру, попробуем увидеть числа, которые лежат между десятичными дробями 0,1 и 0,2

Ещё пример. Десятичные дроби, имеющие две цифры после запятой и лежащие между нулём и рациональным числом 0,1 выглядят так:

Пример 3. Отметим на координатной прямой рациональное число . Данное рациональное число будет располагаться очень близко к нулю

Значение дроби равно 0,02

Если мы увеличим отрезок от 0 до 0,1 то увидим где точно расположилось рациональное число

Видно, что наше рациональное число расположилось там же, где и десятичная дробь 0,02.

Пример 4. Отметим на координатной прямой рациональное число 0, (3)

Рациональное число 0, (3) является бесконечной периодической дробью. Его дробная часть никогда не заканчивается, она бесконечная

0,33333….и так далее до бесконечности..

И поскольку у числа 0,(3) дробная часть является бесконечной, это означает, что мы не сможем найти точное место на координатной прямой, где это число располагается. Мы можем лишь указать это место приблизительно.

Рациональное число 0,33333… будет располагаться очень близко к обычной десятичной дроби 0,3

Данный рисунок не показывает точное место расположения числа 0,(3). Это лишь иллюстрация, показывающая как близко может располагаться периодическая дробь 0,(3) к обычной десятичной дроби 0,3.

Пример 5. Отметим на координатной прямой рациональное число . Данное рациональное число будет располагаться посередине между числами 2 и 3

это есть 2 (две целых) и (одна вторая). Дробь по другому ещё называют «половиной». Поэтому мы отметили на координатной прямой два целых отрезка и ещё половину отрезка.

Если перевести смешанное число в неправильную дробь, то получим обыкновенную дробь . Эта дробь на координатной прямой будет располагаться там же, где и дробь

Значение дроби равно 2,5

Если увеличить участок координатной прямой от 2 до 3, то мы увидим следующую картину:

Видно, что наше рациональное число расположилось там же, где и десятичная дробь 2,5

Минус перед рациональным числом

В предыдущем уроке, который назвался умножение и деление целых чисел мы научились делить целые числа. В роли делимого и делителя могли стоять как положительные, так и отрицательные числа.

Рассмотрим простейшее выражение

В данном выражении делимое (−6) является отрицательным числом.

Теперь рассмотрим второе выражение

Здесь уже отрицательным числом является делитель (−2). Но в обоих случаях мы получаем один и тот же ответ −3.

Учитывая, что любое деление можно записать в виде дроби, мы можем рассмотренные выше примеры также записать в виде дроби:

А поскольку в обоих случаях значение дроби одинаково, минус стоящий либо в числителе либо в знаменателе можно сделать общим, поставив его перед дробью

Поэтому между выражениями и и можно поставить знак равенства, потому что они несут одно и то же значение

В дальнейшем работая с дробями, если минус будет нам встречаться в числителе или в знаменателе, мы будем делать этот минус общим, ставя его перед дробью.

Противоположные рациональные числа

Как и целое число, рациональное число имеет своё противоположное число.

Например, для рационального числа противоположным числом является . Располагается оно на координатной прямой симметрично расположению относительно начала координат. Другими словами, оба этих числа равноудалены от начала координат

Перевод смешанных чисел в неправильные дроби

Мы знаем что для того, чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить к числителю дробной части. Полученное число будет числителем новой дроби, а знаменатель остаётся прежним..

Например, переведём смешанное число в неправильную дробь

Умножим целую часть на знаменатель дробной части и прибавим числитель дробной части:

Вычислим данное выражение:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Полученное число 5 будет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним:

Полностью данная процедура записывается следующим образом:

Чтобы вернуть изначальное смешанное число, достаточно выделить целую часть в дроби

Но этот способ перевода смешанного числа в неправильную дробь применим только в том случае, если смешанное число является положительным. Для отрицательного числа данный способ не сработает.

Рассмотрим дробь . Выделим в этой дроби целую часть. Получим

Чтобы вернуть изначальную дробь нужно перевести смешанное число в неправильную дробь. Но если мы воспользуемся старым правилом, а именно умножим целую часть на знаменатель дробной части и к полученному числу прибавим числитель дробной части, то получим следующее противоречие:

Мы получили дробь , а должны были получить дробь .

Делаем вывод, что смешанное число в неправильную дробь переведено неправильно:

Чтобы правильно перевести отрицательное смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, и из полученного числа вычесть числитель дробной части. В этом случае у нас всё встанет на свои места

Отрицательное смешанное число является противоположным для смешанного числа . Если положительное смешанное число располагается в правой части и выглядит так

то отрицательное смешанное число будет располагаться в левой части симметрично относительное начала координат

И если читается как «две целых и одна вторая», то читается как «минус две целых и минус одна вторая». Поскольку числа −2 и располагаются в левой части координатной прямой — они оба являются отрицательными.

Любое смешанное число можно записать в развёрнутом виде. Положительное смешанное число в развёрнутом виде записывается как .

А отрицательное смешанное число записывается как

Теперь мы можем понять, почему смешанное число расположилось в левой части координатной прямой. Минус перед двойкой указывает, что мы сдвинулись от нуля на два шага влево, в результате оказались в точке, где находится число −2

Затем, начиная от числа −2 сдвинулись ещё влево на шага. А поскольку значение равно −0,5 то наш шаг будет половиной от полного шага.

В итоге, мы окажемся посередине между числами −3 и −2

Пример 2. Выделить в неправильной дроби целую часть, затем полученное смешанное число обратно перевести в неправильную дробь

Выполним первую часть задания, а именно выделим в неправильной дроби целую часть

Выполним вторую часть задания, а именно переведём полученное смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель дробной части и из полученного числа вычтем числитель дробной части:

Если нет желания путаться и привыкать к новому правилу, то можно смешанное число заключить в скобки, а минус оставить за скобкой. Тогда можно будет применить старое доброе правило: умножить целую часть на знаменатель дробной части и к полученному числу прибавить числитель дробной части.

Выполним предыдущее задание этим способом, а именно переведём смешанное число в неправильную дробь

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

16 thoughts on “Рациональные числа”

Было бы лучше, чтоб после каждого шага было много задач. Так как без задач, не возможно закрепление и запоминание темы. Только ни в коем случае «один вопрос и пять вариантов ответа». Человек решая, должен быть уверен, что правильно решил задачу.

К каждому шагу дано более одного примера. Вы можете, прочитав условие, самостоятельно попытаться решить примеры.

С большим удовольствием прошёлся по материалу и освежил знания. Жаль нет продолжения. Очень всё доходчиво, спасибо.

Здравствуйте admin! С большим удовольствием повторил математику, скажите пожалуйста какие дальше темы?Очень нужно экспрессом к вышке добраться

Спасибо за сайт с удовольствием изучаю то что пропустил многие годы назад. Но хотелось бы узнать профессию автора и квалификацию и о том дойдет ли админ до разделов высшей математики.

По вашим статьям надо учебники писать. Если бы в у нас в книгах все так понятно писали все бы были отличниками.

Здравствуйте мы продолжаем учится товарищ ленин сказал учиться не поздно а ещё желаю увидеть вышие матиматику в адресе

Источник