Математика. 5 класс
Конспект урока
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— умножение и его компоненты;
— переместительный и сочетательный законы умножения;
— умножение на нуль.
Умножить число а на натуральное число b – значит, найти сумму а одинаковых слагаемых, каждое из которых равно b.
Умножение – это арифметическое действие второй ступени.
Переместительный закон умножения: от перестановки множителей произведение не изменяется.
Сочетательный закон умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.
- Никольский С. М. Математика: 5 класс. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
- Потапов М. К. Математика. Книга для учителя. 5-6 классы. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2010.- 256 с.
- Бурмистрова Т. А. Математика. Сборник рабочих программ. 5-6 классы. // Составитель Т. А. Бурмистрова – М.: Просвещение, 2014.- 80 с.
- Потапов М. К. Математика: дидактические материалы. 6 класс. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2010.- 118 с.
- Чесноков А. С. Дидактические материалы по математике 5 класс. // А. С. Чесноков, К. И. Нешков. – М.: Академкнига, 2014.- 124 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 – значит, найти сумму трёх слагаемых, каждое из которых 4.
3 4 = 4 + 4 + 4 = 12
Числа 3 и 4 называют множителями, 12 – произведением. Умножить число а на натуральное число b – значит, найти сумму а одинаковых слагаемых, каждое из которых равно b. a и b называют множителями, а результат умножения – произведением. Умножение – это арифметическое действие второй ступени.
Понятно, что, если один из множителей равен 1, то произведение равно второму множителю: а 1 = а, 1 а = а.
Если один из множителей равен 0, то произведение равно 0: а 0 = 0, 0 а = 0.
Запишем произведение в виде суммы и найдём значение:
1) 5 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 (записали сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно 3);
2) 3 5 = 5 + 5 + 5 = 15 (записали сумму трёх слагаемых, каждое из которых равно 5);
3) 3 1 = 1 + 1 + 1 = 3 (записали сумму трёх слагаемых, каждое из которых равно 1);
4) 1 7 = 7 (записали сумму одного слагаемого, которое равно 7).
Переместительный закон умножения: от перестановки множителей произведение не изменяется: а b = b а
В этом легко убедиться. Перемножим 5 на 3, получим 15. При перемножении 3 на 5 опять получаем 15.
Вы уже знаете, что результат умножения нескольких множителей не зависит от порядка выполнения умножения. Например, чтобы найти произведение чисел 10, 2 и 15, можно сначала перемножить числа 10 и 2, а затем их произведение умножить на число 15. Но удобнее сначала перемножить числа 2 и 15, а затем на их произведение умножить число 10. Порядок умножения чисел указывают при помощи скобок. Для рассматриваемого примера получим:
Такое свойство справедливо для любых чисел а, b и с. Это – сочетательный закон умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего:
Опираясь на переместительный и сочетательный законы, можно применять и такой способ группировки множителей: второе число умножить на произведение первого и третьего. Например, для нахождения произведения чисел 10, 2 и 15, кроме уже рассмотренных способов, существует третий способ:
Переместительный и сочетательный законы умножения справедливы для любого количества множителей. Применяя эти законы, можно значительно упростить вычисления. Например, найдём произведение.
1) 4 37 25 = (4 25) 37 = 100 37 = 3 700;
2) (25 5) (4 20) = (25 4) (5 20) = 100 100 = 10 000.
С помощью умножения решают задачи, в которых требуется найти число, большее данного в несколько раз. Решения таких задач можно оформить с помощью вопросов и ответов на них, а можно использовать более короткую запись – после действия пояснить, что найдено этим действием.
Задача. Мальчик купил две игрушечные машинки. Первая стоила 120 рублей, а вторая – в 4 раза больше. Сколько денег он истратил на обе машинки?
- 120 ∙ 4 = 480 (руб.) – мальчик истратил на вторую машинку;
- 120 + 480 = 600 (руб.) – мальчик истратил на обе машинки.
Ответ: 600 рублей мальчик истратил на обе машинки.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Вычислите выражение 2 ∙ 345 ∙ 5, выбрав удобный порядок действий. Выберите правильный ответ.
Варианты ответа: 3000; 3450; 2450; 5000.
Решение: воспользуемся переместительным законом умножения, поменяем местами множители 345 и 5. Получим:
2 ∙ 5 ∙ 345 = 10 ∙ 345 = 3450
№ 2. Марина решает задачи. На одну задачу у неё уходит 4 минуты и 30 секунд. Сколько времени ей понадобится на решение 8 задач? Ответ запишите в минутах.
- Переведём минуты в секунды: 4 мин. 30 с = 4 · 60 + 30 = 270 (с) – уходит на одну задачу.
- 270 ∙ 8 = 2160 (с) = 36 (мин).
Источник
Разработка по математике на тему»Быстрые приемы умножения» для 5 класса.
Некоторые приемы быстрого умножения
Учитель: МОУ СШ №51
Старцева Татьяна Александровна
Часть I. Исследование истории устного счета.
История арифметики в России.
1.2. Люди – феномены быстрого счёта.
1.3. Первая литература по способам быстрого счета.
Часть II. Эксперименты и анализ решения.
2.1. Умножение чисел на 5.
2.2. Умножение чисел на 25.
2.3. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого меньше 10.
2.4. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого 10 или больше 10.
2.5. Умножение на 11.
2.6. Умножение на 11 (по Трахтенбергу).
2.7 . Умножение на число 111, 1111 и т. д.
2.8. Умножение на 101.
2.9. Умножение на 1001.
Список использованной литературы.
Ну-ка в сторону карандаши!
Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.
«Устный счёт!» Мы творим это дело
Только силой ума и души.
Цифры сходятся где-то во тьме,
И глаза начинают светиться,
И кругом только умные лица.
Потому что считаем в уме!
У́стный счёт — математические вычисления , осуществляемые человеком без помощи дополнительных устройств ( компьютер , калькулятор , счёты и т. п.) и приспособлений ( ручка , карандаш , бумага и т. п.). В повседневной жизни человеку постоянно приходится выполнять различные вычисления. Вот почему в школе, на уроках математики, мы учимся выполнять действия над числами. Сейчас большую роль в нашей жизни играют электронные вычислительные машины. Работа этих машин обусловлена выполнением действий над числами по заданной программе. Чтобы управлять такими сложными механизмами, нужно знать математику. И хотя математика в наше время шагнула далеко вперёд в своём развитии, обойтись без вычислений невозможно. Облегчают расчёты разные способы и приёмы вычислений. Кроме того, быстрый счёт – настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения. Производя математические вычисления в уме, человек пользуется, по сути, теми же правилами, что и при письменных вычислениях.
Тема работы: Некоторые приемы быстрого умножения.
Цель работы: Изучить методы и приёмы быстрого умножения и доказать необходимость умения быстрого счёта и эффективного использования этих приёмов на уроках математики и в различных жизненных ситуациях.
2.Вывести формулы или правила быстрого умножения на некоторые числа.
3.Создать электронный образовательный ресурс для дальнейшего использования на уроках математики.
Объект исследования: методы и приемы быстрого умножения.
Предмет исследования: математика.
Гипотеза: предположим, что обойтись без знания техники быстрого умножения все-таки возможно в каких-то «особых» случаях.
1. Анализ различной литературы.
2.Анализ периодических источников.
Актуальность опыта: состоит в том, что раздел школьной математики не имеет возможности расширить представление о технике быстрого умножения, представить информацию о применении быстрого умножения в окружающем нас мире, поэтому эти знания могут пригодиться в дальнейшей математической деятельности.
1.Собраны исторические факты возникновения и развития быстрого умножения.
2. Выведены формулы или правила быстрого умножения на некоторые числа.
3.Создан образовательный ресурс.
История арифметики в России
XI веком датируются математические задачи из юридического сборника «Русская Правда» — первый дошедший до нас математический документ Древней Руси, содержащий задачи о приплоде скота, количестве зерна и сена, собираемого с определённой площади. Дальнейшее развитие науки было остановлено монголо-татарским нашествием конце XVI века появилась «Книга, рекома по гречески Арифметика, по-немецки Алгорисм а, а по-русски — Цифирная счетная мудрость », которая, по мнению Карамзина, и была первой русской арифметикой.Считается, что арабские цифры были введены в России после первого заграничного путешествия Петра I, когда он в 1698 году привёз из Лондона морских офицеров. Одним из офицеров был Фергарсон, который, как полагают, ввёл в России арабские цифры. Но на самом деле они пришли в Россию задолго до Петра, в 1647 году в Москве по указу царя Алексея Михайловича был напечатан русский воинский устав, в котором использовались арабские цифры. Книги же, напечатанные на русском языке за пределами России, содержали арабские цифры с начала XVI века. При этом в тексте использовалась славянская нумерация, а для вычислений — арабская.В 1682 году в Москве была напечатана первая книга математического содержания « Считание удобное, которым всякий человек купующий или продающий зело удобно изыскати может, число всякие вещи », которая содержала таблицы умножения до 100 и использовала славянскую нумерацию. Второе издание этой книги, выпущенное в 1714 году в Петербурге, было напечатано гражданским шрифтом и арабскими цифрами. В 1699 году в Амстердаме вышла книга « Краткое и полезное руковедение в аритметыку, или во обучение и познание всякого счёту в сочетании всяких вещей » — первый учебник арифметики на русском языке. Книга была составлена Ильёй Фёдоровичем Копиевичем (или Копиевским) по заказу архангельских купцов. Она не удовлетворила заказчиков и распространения не получила.
В России первый учебник арифметики Леонтия Магницкого был напечатан в 1703 году. В « Арифметике » Магницкого, вслед за остальной Европой, используется счёт по числу пальцев на руках: числа от 1 до 9 названы «перстами», нуль — «низачто», десятки — «составами», а остальные числа — «сочинениями».
1.2 . Люди – феномен быстрого счёта.
Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие ученые, в частности Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой. Известными российскими «суперсчетчиками» являются Арон Чиквашвили, Давид Гольдштейн, Юрий Горный, зарубежными – Борислав Гаджански, Вильям Клайн, Томас Фулер и другие. Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врожденных способностях, другие аргументировано доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных «феноменальных» способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы. Истина как обычно, оказалась на некоей «золотой середине» сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто следуя Трофиму Лысенко уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приемами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями как устный счёт, шахматы вслепую и т.п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжелых случаях – и к шизофрении). С другой стороны и одаренные люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области как устный счёт быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения. Один из примеров удачного сочетания обоих условий (природной одаренности и большой грамотной работы над собой) показал наш соотечественник, уроженец Алтайского края Юрий Горный. Пожалуй, единственная научно обоснованная и достаточно подробно разработанная система резкого повышения быстроты устного счёта создана была в годы второй мировой войны цюрихским профессором математики Я. Трахтенбергом. Она известна под названием «Система быстрого счёта». История ее создания необычная. В 1941г. гитлеровцы бросили Трахтенберга в концлагерь. Чтобы уцелеть в нечеловеческих условиях и сохранить нормальной свою психику, Трахтенберг начал разрабатывать принципы ускоренного счета. За четыре страшных года пребывания в концлагере профессору удалось создать стройную систему ускоренного обучения детей и взрослых основам быстрого счёта. Уже с самого начала результаты были самые отрадные. Учащиеся радовались вновь приобретенным навыкам и с воодушевлением двигались вперед. Если раньше их отталкивала монотонность, то сейчас их привлекало разнообразие приёмов. Шаг за шагом, благодаря достигнутым ими успехам, рос интерес к занятиям. После войны Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность. Также разработкой приёмов быстрого счёта занимались другие ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман и другие.
Яков Трахтенберг 1888-1953г ,
1.3. Первая литература по способам счёта.
В книге В. Беллюстина « Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом рукописных сборниках».Наш современный способ умножения описан там под названием «шахматного». Был так же и очень интересный, точный, лёгкий, но громоздкий способ «галерой» или «лодкой», названный так в силу того, что при делении чисел этим способом получается фигура, похожая на лодку или галеру. У нас такой способ употреблялся до середины XVIII века. («Арифметика» – старинный русский учебник математики, которую Ломоносов назвал «вратами своей учености») пользуется исключительно способом «галеры», не употребляя, впрочем, этого названия.Упоминаются такие способы, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие другие. Многие такие приемы для умножения чисел долгие и требуют обязательной проверки. Интересно, что и наш способ умножения не является совершенным, можно придумать еще более быстрые и еще более надежные.
Приведем примеры умножения чисел, получившие наибольшее описание в литературе.
2.1 Умножение чисел на 5.
Чтобы умножить число на 5 достаточно его разделить на 2 и к целому частному приписать 0, если множимое четное число, и 5, если множимое нечетное число.
Например:
82·5;
делим 82 на 2 и к 41 приписываем 0.
82*5 = 410
173*5;
делим 173 на 2 и к 86 приписываем 5. 173*5 = 865
2.2 Умножение чисел на 25.
чтобы число умножить на25, надо:
разделить на 4
если деление произведено без остатка , то приписать два нуля .
Например: 68·25
68:4=17 и к 17 приписываем два нуля
68·25 = 1700.
если деление произведено с остатком , то к частному приписать произведение остатка на 25
Например: 74 · 25
74 : 4=18( 2 остаток) и к 18 приписываем 50 = 2*25.
2.3. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.
2.4. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.
2.5. Умножение на одиннадцать, число нужно умножить на 10 и прибавить то число, которое мы умножаем.
Пример: 110 * 11 = 110 * (10+1) = 110 * 10 + 110 * 1= 1100 + 110= 1210
Пример: 123 * 11 = 123 * (10+1) = 123 * 10 + 123 * 1= 1230 + 123= 1353
2.6. Умножение на одиннадцать (по Трахтенбергу).
Разберем на примере: 623 умножить на 11.
Ответ пишется под 623 по одной цифре справа налево, как указано в правилах.
Первое правило. Напишите последнюю цифру числа 623 в качестве правой цифры результата
Второе правило. Каждая последующая цифра числа 623 складывается со своим правым соседом и записывается в результат.3+2 будет 5. Перед тройкой записываем результат 6.
Применим правило еще раз: 6+2 будет 8. Записываем и эту цифру в результате:
Третье правило. Первая цифра числа 633, то есть 6, становится левой цифрой результата:
2.7. Умножение на число 111, 1111 и т. д., зная правила умножения двузначного числа на число 11.
Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.
24х111=2(2+4) (2+4)4=2664 (количество шагов — 2)
24х1111=2(2+4)(2+4)(2+4)4=26664 (количество шагов — 3)
При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме.
72 х 111111 = 7999992 (количество шагов – 5)
Если единиц во втором множителе 7, то шагов будет на один меньше, т.е. 6.
Если единиц 8, то шагов будет 7 и т.д.
61 х 11111111 = 677777771
Эти вычисления можно легко произвести в уме.
Умножение двузначного числа на 111, 1111, 1111 и т.д., сумма цифр которого равна или больше 10.
Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.
48 х 111 = 4 (4+8) (4+8) = 4 (12) (12) 8 = (4+1) (2+1) 28 = 5328.
В этом случае к первой цифре нужно прибавить 1. получим 5.
Далее 2 + 1 = 3. А последние цифры 2 и 8 оставляем без изменения.
56 х 11111 = 5 (5+6) (5+6) (5+6) (5+6) 6 = 5 (11) (11) (11) (11) 6 = 622216
67 х 1111 = 6 (6+7)…7 = 6 (13)…7 = 74437
2.8. Умножение двузначного числа на 101.
Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. Пример:
57 * 101 = 5757 94 * 101 = 9494
быстрый счёт умножение число 59 * 101 = 5959
2.9. Умножение числа на 1001.
Трехзначного . Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. Пример:
573 * 1001 = 573573 942 * 1001 = 942942
быстрый счёт умножение числа 596 * 101 = 596596
Чтобы умножить четырехзначное и т.д. число на 1001
достаточно увеличить его в 1000 раз и к полученному результату прибавить это число.
Пример: 6 397 × 1001 = 6 397 × 1 000 +
+ 6 397 = 6 397 000 + 6 397 = 641 397
В ходе проделанной работы мы увидели:
1. Быстрый счёт это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система.
2. Раз есть система, значит её можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладевать.
3. Все рассмотренные мною методы устного умножения говорят о многолетнем интересе ученых, и простых людей к игре с цифрами.
4.Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.
5. Создан образовательный ресурс для дальнейшего его применения на уроках математики и внеурочное время.
Цель нашей работы достигнута: мы научились умножать без помощи дополнительных устройств . Узнали о некоторых способах и приемах быстрого умножения на некоторые числа и их использовании в окружающем мире. Благодаря всей проделанной работе удалось расширить свой кругозор и словарный запас. Оказывается, без теоретических знаний и кропотливого человеческого труда заметить и разглядеть всю красоту окружающего нас мира чисел во всем его многообразии нельзя.
В результате исследовательской работы мы убедились в том, что без знаний приемов быстрого умножения невозможно обойтись. Знание этих приемов придает гармонию, красоту и равновесие всему окружению. Таким образом, гипотеза, выдвинутая нами, свое подтверждение не нашла.
1.Берман Г. Н. Приемы счёта, изд. 6-е, М.: Физматгиз, 1959.
2.Гольдштейн Д. Н. Курс упрощённых вычислений. М.: Гос. учебно-пед. изд., 1931.
3.Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. М.: Учпедгиз, 1948.
Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. — М.: Учпедгиз.- 1967. 150с.
Источник
