Как считать китайским способом

Как считать китайским способом

Что приходит в голову многим из вас при выражении «зазубрить»? Наверняка большинство вспомнит таблицу умножения. Мы запоминаем её как стихотворение и каждый раз произносим про себя левую часть выражения, чтобы вспомнить правую. Но даже прекрасное знание этой таблицы не облегчает трудную для многих операцию умножения. А вот, например, в Японии и Китае ученики первого класса могут перемножать двухзначные и даже трёхзначные числа, не зная таблицу умножения.

Эта статья была опубликована в журнале OYLA №9. Оформить подписку на печатную и онлайн-версию можно здесь.

Как же они это делают? Возможно, это связано с тем, что японцы и китайцы используют иероглифы.

Один иероглиф может нести в себе смысл, который на нашем языке мог быть записан целым абзацем. И может быть поэтому восточным народам легче воспринимать мир через призму «картинок»-иероглифов, то есть визуально.

Приведём пример. Вы, читая эти строки, сначала видите отдельные буквы, далее складываете их в слова, а уж потом слова соединяете в предложения. Затем, читая предложения одно за другим, вы начинаете понимать смысл рассказа. У загадочных японцев и китайцев все совсем иначе. Иероглифы у них обозначают сразу какое-то слово, а порой и целую фразу. То есть, можно сказать, что они не читают рассказ, а видят его. Так же самое верно и для чисел.Попробуйте умножить, например, 54 на 96, используя японские иероглифы. Страшно представить, что у вас из этого получится. Ведь наверняка единственным способом, которым вы умете умножать, будет «в столбик».

Однако в Японии и Китае принято умножать иначе. Для оригинальных китайцев и японцев наш метод умножения в столбик очень неудобен и непривычен, как и наше чтение по буквам. Им опять нужна визуализация, проще говоря — картинка. Таким образом, японский и китайский способ умножения чисел также необычен, как и чтение. Давайте рассмотрим его.

Для этого надо нарисовать эти числа при помощи горизонтальных и вертикальных прямых.

Шаг 1. Сначала рисуем первый множитель — 21. В нём 2 десятка и 1 единица, значит, рисуем горизонтально 2 параллельные прямые (сверху) и 1 прямую (снизу).

Шаг 2. Поверх первого множителя теперь рисуем второй множитель — 32. В нём 3 десятка и 2 единицы, значит, рисуем вертикально 3 параллельные прямые (слева) и 2 параллельные прямые (справа). Эти вертикальные прямые будут пересекать горизонтальные прямые первого множителя. Получился рисунок, похожий на всем известный знак «решётка».

Шаг 3. Далее смотрим на рисунок и считаем, сколько точек пересечения имеют горизонтальные и вертикальные прямые в каждом углу «решётки».

Шаг 4. Делим эти точки на три зоны (части).

Шаг 5. Ответ (т. е. произведение этих двух множителей) «собираем» по порядку, двигаясь от первой зоны ко второй, затем к третьей. При этом необходимо запомнить, что число из первой зоны соответствует единицам, число из второй зоны — десяткам, число из третьей зоны — сотням искомого произведения.

Ответ: произведение равно 672

Шаги 1, 2, 3, 4 делаем как в предыдущем примере.

Шаг 5. Мы нарисовали горизонтальные и вертикальные прямые, посчитали все точки пересечения и разделили их на три зоны. Получились числа 20, 23 и 6 (соответственно 1, 2 и 3 зоны). А теперь обратите внимание, что два числа из них — 20 и 23 — двузначные.

В таких случаях число-произведение «собираем» немного по-другому. Нам нужно «превратить» двузначные числа в однозначные. Для этого используем принцип «оставить-отдать». Так, при подсчёте точек в первой зоне получилось число 20 (2 десятка и 0 единиц). Единицы (их у нас 0) оставляем, десятки (2) отдаём числу второй зоны. Во второй зоне получается 23 + 2=25. Здесь также, единицы оставляем (5), десятки (2) отдаём числу из третьей зоны. В третьей зоне получается 6+2=8. А дальше всё просто, как в предыдущем примере.

Ответ: произведение равно 850

Все шаги делаем как в предыдущих двух примерах. Только «решётка» будет состоять не из одного, а из четырёх окон, зон с точками будет не 3, а 5.

Ответ: произведение равно 30888

Как вы смогли теперь убедиться, китайское или японское умножение помогает быстро и эффективно, без калькулятора, умножать двухзначные и трёхзначные числа друг на друга. Именно визуализация, то есть изображение всех точек пересечения прямых на одной плоскости, даёт нам зрительную помощь и подсказку, тогда как традиционный способ умножения столбиком подразумевает знание таблицы умножения и требует большого количества арифметических действий в уме.

Аналогичным способом можно умножать четырёхзначные и более «серьёзные» числа. В этом случае «решётка» будет выглядеть посолидней, при этом «рисовательный» способ умножения будет становиться чересчур громоздким и не таким эффективным.

Зато умножение столбиком, наоборот, будет становиться предпочтительным и очень даже скоростным, к тому же компактным и не позволит забыть общепринятую таблицу умножения.

Источник

Китайское или японское умножение

В России мы привыкли умножать числа традиционным способом, которому нас учили в школе, записывая числа-множители столбиком (подробнее про наше умножение ). Однако в азиатских странах, таких как Япония и Китай принято считать иначе. Для созерцательного восточного менталитета важна непременная визуализация. Даже общепризнанные в мире арабские цифры китайцы и японцы записывают иероглифами. Именно с особенностью азиатской графической системы связан японский и китайский способ умножения чисел.

Это видео показывает, как умножать по-японски и по-китайски:

Многим покажется, что такой способ японского или китайского умножения слишком сложен и запутан, но это только на первый взгляд. Именно визуализация, то есть изображение всех точек пересечения прямых (множителей) на одной плоскости, дает нам зрительную поддержку, тогда как традиционный способ умножения подразумевает большое количество арифметических действий только в уме. Китайское или японское умножение помогает не только быстро и эффективно умножать двухзначные и трехзначные числа друг на друга без калькулятора, но и развивает эрудицию. Согласитесь, не каждый сможет похвастаться тем, что на практике владеет древнейшим китайским методом умножения (*), который актуален и прекрасно работает и в современном мире.

*) Японская или китайская таблица умножения? Археологами в Японии была найдена деревянная табличка с фрагментом таблицы умножения, которая предположительно была изготовлена в VIII веке. Учёные полагают, что подобные таблицы использовались японскими императорскими чиновниками, которым было необходимо осваивать разные науки, в том числе и арифметику.
Обнаруженная табличка — самая древняя из всех найденных в Японии ранее. Интересно, что иероглифы, которыми записаны цифры, по стилю графического начертания очень похожи на те, которые использовались как официальное письмо во времена китайской династии Тан VII-X века. Исходя из этого, ученые предположили, что таблица была скопирована из китайского учебника арифметики того времени, то есть вся японская таблица умножения была заимствована из Китая.

Именно к своим соседям в Китай ездили высокопоставленные японцы каждый год, чтобы перенять у них разные науки, такие как арифметику. Древняя китайская таблица умножения была не из простых, так как включала в себя умножение двузначных чисел друг на друга. Вряд ли все японские чиновники могли выучить такую таблицу наизусть, поэтому и носили с собой на работу что-то типа шпаргалок, фрагмент одной из которых и представляет собой найденная археологами в Японии табличка.

Итак, японская таблица умножения была заимствована у китайцев, которые, согласно некоторым гипотезам, и были одними из создателей первой арифметической системы, о чем свидетельствуют археологические находки, содержащие фрагменты таблицы умножения, возраст которых ученые оценили в 2700-3000 лет.

Источник

Как считать китайским способом

Темы исследований

Оформление работы

Наш баннер

Исследовательские работы и проекты

Техника китайского счета

Структура системы счисления

Одна из самых древнейших систем счисления была создана в Китае. Она возникла как результат оперирования с палочками, выкладываемыми для счета на стол или доску. Числа от единицы до пяти обозначались, соответственно, одной, двумя и т.д. палочками, выкладываемыми вертикально, а одна, две, три или четыре вертикальные палочки, над которыми помещалась одна поперечная палочка, означали числа шесть, семь, восемь и девять.

Число 6789 китайцы записали бы так: Обозначения чисел с помощью палочек тесно связано со счетом на пальцах и счетной доске, но применялось оно также и в письменных вычислениях [12].

Во второй китайской системе счисления для обозначения первых девяти целых чисел или символов используют девять различных знаков и одиннадцать дополнительных символов для обозначения первых одиннадцати степеней числа 10. В сочетании с умножением и вычитанием это позволяло записывать любое число меньше триллиона.

Если один из символов, обозначающих первые девять целых чисел, стоит перед (при чтении слева направо) символом, означающим степень числа 10, то первое нужно умножить на второе, если же символ одного из девяти первых целых чисел стоит на последнем месте, то это число надлежит прибавить к обозначенному предыдущими символами.

Таким образом, китайская структура системы счисления имела свои особенности: ярко выраженное вычислительно-алгоритмическое направление, то есть древние китайские математики старались свести к правилу, состоящему из последовательного выполнения некоторого числа шагов.

Система счисления — сложное понятие, которое включает в себя все законы, по которым числа записываются, читаются и производятся операции над ними.

Еще в Древнем Китае цифры записывались, начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. Позже был введен знак для пустого разряда – кружок (аналог нуля). Чтобы не перепутать разряды, использовали служебные иероглифы, писавшиеся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде [7; 12].

Запись числа 548 мультипликативна, то есть в ней используется умножение:

1´ 1 000 и 5´ 100+4´ 10+8 (6)

Если один из символов, обозначающих первые девять целых чисел, стоит перед (при чтении слева направо) символом, означающим степень числа 10, то первое нужно умножить на второе, если же символ одного из девяти первых целых чисел стоит на последнем месте, то это число надлежит прибавить к обозначенному предыдущими символами [6].

Таким образом, изначально китайская система счёта была мультипликативной, так как в ней использовалось умножение.

Запись цифр

Известно, что уже в XIV–XIII вв. до н.э. китайцы обладали достаточно развитой десятичной системой счисления с зачатками применения позиционного принципа. При этом частично использовались следующие по форме цифровые знаки (Рисунок 4).

Запись всех чисел в эпохи Шан-Инь и Чжоу велась с помощью указанных цифр путем их сочетаний. Например, числа 11, 12 и 13 записывались с помощью вертикальной черты и помещенных справа или слева от нее одной, двух и трех горизонтальных.

Числа 20, 30 и 40 записывались как сочетания двух, трех и четырех вертикальных черт, подобных цифре 10, но изогнутых и соединяющихся книзу так, что они образуют знаки в форме вил соответственно с двумя, тремя и четырьмя зубьями.

В чжоускую эпоху те же числа записывались еще как цифра 10, перечеркнутая соответственно двумя, тремя и четырьмя горизонтальными чертами. Таким образом, сочетая в горизонтальной или вертикальной записи, составленные указанным способом цифры, древние китайцы могли записать любое число от 1 до 99 999.

После реформ письменности в эпохи Цинь и Ранняя Хань в Китае установилась иероглифическая форма цифр, которой китайцы пользуются до сих пор и которая базируется на старом написании, но является полностью именованной. Она десятичная, непозиционная, с мультипликативным принципом записи чисел, то есть в ней существуют девять цифр и обозначения десятичных разрядов (Рисунок 5, 1-я колонка).

Такого рода нумерацию называют именованной позиционной. Стоит в ней только опустить названия разрядов и ввести нуль, как она превратится в позиционную.

Знак нуля

До сих пор неизвестна точная дата и место появления знака нуля как элемента десятичной системы. По общему мнению историков он возник в Индии во II в. н. э. Нуль обозначался точкой или кружком. Нуль мог возникнуть и в Юго-восточной Азии, являющейся зоной встречи индийской и китайской культур, где он обнаружен приблизительно в то же время, что и в Индии.

В Китае нуль впервые в виде точки встречается в 718–729 гг., но это не произвело на китайскую математику должного действия. Позже китайцы могли заново открыть знак нуля, отталкиваясь от пустых пробелов, оставленных для нуля на счетных досках и в «палочной» записи цифр, которая строится на позиционной системе и используется с эпохи Сражающихся царств.

Первоначально он обозначался в виде клеточки счетной доски, которая затем трансформировалась в кружок. Форма знака нуля могла быть заимствована из китайской философии XI–XII вв., где кружок обозначал «беспредельное, изначальный хаос, ничто».

В любом случае китайские математики XIII века имели в своем распоряжении полностью развитое обозначение нуля.

Китайская письменная форма для нуля — иероглиф «лин», что обозначает «капли дождя», «капли воды, оставшиеся после дождя». По ассоциации это привело к тому, что он стал означать что-то «мелкое», «разрозненное», «остаточное», «добавочное». В области счета этот иероглиф первоначально применяли во фразах типа «одна сотня и пять в добавок», что означало число 105 [2; 12].

Однако, хотя был возможен переход к использованию «лин» для выражения нуля в этом числе, в таком значении иероглиф «лин» не использовался в математических текстах до эпохи Мин.

С другой стороны, у сунских алгебраистов, которые использовали символ «0», легко найти примеры чисел с нулем, записанных так, что в них термин «лин» мог бы применяться. Можно предположить, что символ нуля был назван «лин» со времени его первого широкого использования в эпоху Сун.

Я считаю, что такое использование старого знака возникло не только потому, что он долго означал «остаток», но и потому, что символ «0» по форме напоминает сферическую дождевую каплю.

Большие числа

Для счета древнему китайцу сначала было достаточно четырех разрядов, которые и образовали первый класс: единицы «и», десятки «ши», сотни «бай», тысячи «чень», десять тысяч «вань».

Современные иероглифы для десятков, сотен, тысяч ‒ комбинации единицы с древним иероглифом для этих разрядов (Рисунок 7) и в более поздние времена, « ванъ» употреблялся для выражения неопределенно больших количеств.

Но наступило время, когда потребовались еще большие числа. Начиная со II‒III вв. до н.э. в Китае стали применять числа, бóльшие ваня (Рисунок 8, столбец 1).

Иногда это делали, начиная с третьего разряда, но это было неэкономно, и стали использовать для высоких классов порядок построения первого класса, употребляя названия его разрядов, и тогда каждое новое название надо было давать только единицам очередного нового класса 104, 108, 1012. . . . , 1036 (рисунок 8 столбец III).

Таким образом, из всего разнообразия систем в Китае утвердилась система, в которой показатели степеней основания составляют арифметическую прогрессию с разностью, равной четырем (рисунок 8 столбец III).

Вычислительные устройства. Узелки и зарубки

Как я уже отмечал, предыстория китайской системы счисления начинается в глуби веков, во время формирования первоначальных математических представлений человека на самых первых этапах его развития. Еще до возникновения письменности существовал устный счет и элементарные способы фиксирования чисел при помощи узлов на веревках и зарубок на дереве. Это было первым примитивным моделированием: замена при счете пальцев рук и ног моделью.

В древнекитайских классических текстах имеются упоминания о подобных способах фиксирования чисел. В знаменитой «Книге перемен» записано: «В глубокой древности пользовались узелками на веревках и управляли (государством), а впоследствии мудрецы заменили их зарубками на дереве» [2, с. 37].

Многие народы недавнего прошлого, не имевшие письменности, прибегали к помощи веревки или дерева.

Хорошо известны в литературе перуанские квипу ‒ узелки на цветных веревках, фиксировавшие долговые обязательства инков.

Существуют свидетельства о древних персах и об индийских племенах прошлого века, обозначавших числа с помощью узелков на веревках; от таких узелков, кстати, произошли четки.

В северном Китае, в Тибете, на островах Рюкю, а также у народности мяо еще в нашем столетии можно было обнаружить квипу у земледельцев .

В равной степени достоверны сведения о зарубках на дереве. Каждому русскому хорошо известна поговорка: «Заруби на носу». Ее происхождение указывает на существование деревянной дощечки, с нанесенными на ней памятными зарубками, которую носили привязанной к поясу. Весьма возможно, что от зарубок на дереве происходят современные китайские цифры 1, 2, 3, а также древнейшие иньские начертания чисел 20, 30, 40. В Китае до изобретения бумаги (в I в. н. э.) на протяжении первого тысячелетия до нашей эры писали на бамбуковых и деревянных дощечках.

Счетные палочки

Во многих источниках [1; 6; 11; 12] указывается, что китайская десятичная позиционная система была связана по своему происхождению со способом вычислений посредством счетных палочек. Сам иероглиф суань 算 — «вычисление» — восходит к древней пиктограмме, изображающей подсчет палочек.

Некоторые цифры на иньских гадательных костях и чжоуских монетах и бронзовых сосудах напоминают «палочную» запись. На монетах эпохи Сражающихся царств числа прямо записаны в «палочной» нумерации.

В 202 г. до нашей эры счетные палочки изготавливались из бамбуковых стеблей, рогов или костей приблизительно 2,5 мм в диаметре и имели длину от 14 до 30 см, окрашенные в белый и чёрный цвета. Набор из 271 палочки связывался в шестигранную связку, которую было удобно держать в руке. Позже палочки изготавливались из нефрита и дерева. В IX в. китайцы стали отливать палочки из железа. Счетные палочки можно было раскладывать просто на ровной поверхности или на разграфленной счетной доске или куске ткани.

«Палочный» счет имел преимущество по сравнению с письмом, поскольку позволял «разобрать» числа, которые больше не требовались. Посредством перемещения палочек можно было легко производить действия сложения, вычитания, умножения и деления.

Счетные палочки и доска выполняли функции простейшей счетной машины, оперирование которой требовало четких алгоритмических предписаний. Целью китайских математиков было найти общие алгоритмы.

По мере распространения бумаги китайские математики стали все чаще проводить свои вычисления письменно, но по тем же принципам, которые использовались при манипулировании со счетными палочками. При этом цифры могли записываться не иероглифами, а комбинациями штрихов, повторяющих расположение счетных палочек.

При «палочном» счете цифры образуются как разные комбинации счетных палочек.

Числа от 1 до 5 обозначаются соответствующим количеством палочек. Для обозначения чисел от 6 до 9 одна палочка размещается перпендикулярно остальным, которых будет от 1 до 4 соответственно. Число 10 обозначается одной палочкой, размещенной в соседней позиции перпендикулярно палочке, обозначающей единицу. По правилам размещения палочек осуществлялась и запись чисел. Так, например, число 14 285 записывалось следующим образом.

До появления нуля при написании цифр в «палочной» нумерации на его месте оставлялся пробел, как это делалось и на счетных досках. Для вычисления поэтому использовали только девять знаков. Десятичная позиционная система китайцев была в буквальном смысле «системой места».

Использовавшиеся в Китае счетные палочки с числами, отмеченными на них (градуированные счётные палочки), были китайским вариантом костей Джона Непера (шотландского математика, 1550–1617), которые появились на Западе в 1617 г. и активно использовались в XVII в. В это же время они попали в Китай и Японию, где вызвали значительный интерес [2; 9].

Набор «неперовских» счетных палочек, применявшийся в Китае и имевший то же самое название, как и у древних простых счетных палочек, включал также нулевую палочку и палочки для квадратных и кубических корней. С помощью этого набора , по сути дела, целого устройства, можно было производить ряд арифметических операций, двигая одну палочку по отношению к другой.

Таким образом, можно сказать, что эти счетные палочки, возможно, получили бы и дальнейшее развитие в Китае, если бы их вскоре не заменили два других европейских изобретения – логарифмическая линейка и счетная машинка.

После эпохи Мин счётные палочки были вытеснены абаком, или абакусом.

Китайские счеты – абак (суаньпань) — широко используются в Китае с древних времен и до наших дней.

Китайский абак – это деревянная рама с рядами стержней (проволок или веревок), на которые нанизывались костяшки в виде приплюснутых шаров. Обычно устанавливалось 12 стержней, но их могло быть и больше (до 30). На каждом стержне размещалось 6–7 костяшек, разделенных планкой на две группы: ниже планки 5 костяшек, а выше – 1–2. Каждая верхняя костяшка эквивалентна пяти нижним.

Каждая нижняя костяшка эквивалентна 10 нижним костяшкам на соседнем стержне справа (или, по договоренности, слева). С помощью абака удобно выполнять действия сложения, вычитания и умножения, используя только одну из верхних костяшек, но для деления иногда удобнее иметь возможность указать на любом из столбцов число от 10 до 15, используя для этого обе верхних костяшки и соответствующее число нижних [2].

Хочу отметить, что абак очень похож на русские счёты, где используется десятичная система счисления и возможность оперировать четвертями, десятыми и сотыми дробными долями. Они появились в России на рубеже XV — XVI веков и активно применялись в торговле вплоть до последнего десятилетия XX века. От классического абака счёты отличаются увеличением разрядности каждого числового ряда и конструкцией, а также специально выделенным разрядом для счёта в четвертях. С момента своего возникновения счёты практически не изменились (Рисунок 12).

Источник