Как решить уравнение кирхгофа матричным способом

Первый и второй законы Кирхгофа в матричной форме

Узловая матрица — это таблица коэффициентов уравнения, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки соответствуют узлам, а столбцы — ветвям схемы. Правило знака: если ток в ветви входит в узел, то ставится -1, если ток выходит из узла, то ставится 1, если узел не имеет отношение к данной ветви, то ставится 0.

[A]∙[İ]=[0], где [İ]=[İ1 İ2 İ3 İ4 İ5 İ6]T – столбцовая матрица токов в ветвях;

Контурная матрица – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки матрицы соответствуют контурам, а столбцы – ветвям схемы. Правило знака: если ток в ветви совпадает с направлением обхода контура, то ставится 1; если ток в ветви имеет направление, противоположное направлению обхода контура, то ставится -1; если ветвь не входит в контур, то 0. На основании контурной матрицы можно записать уравнение по 2 закону Кирхгофа: [B]∙[Ů]=[0], где [Ů]=[ Ů1 Ů2 Ů3 Ů4 Ů5 Ů6]T – столбцовая матрица напряжений ветвей схемы

24) Метод контурных токов в матричной форме.

Токи в ветвях связи называются контурными токами, и каждый из них рассматривается как непрерывно циркулирующий в своем главном контуре.

İ4= İ11;İ5= İ22; İ6= İ33

При этом ветви дерева являются общими для нескольких контуров, а токи в них определяются как алгебраические суммы соответствующих контурных: İ1= İ11- İ33; İ2= İ22- İ11; İ3= İ33- İ22.

После выражения токов ветвей дерева, подстановки их в уравнения второго закона Кирхгофа и группировки слагаемых с одноименными контурными токами получим систему уравнений в общем виде:

Эта система может быть записана в виде матричного уравнения [Zk][ İk]=[Ėk], где [ İk]- столбцовая матрица неизвестных контурных токов. Далее вычисляется матрица сопротивлений [Zk]=[B][Z][B]T, затем находят значение ЭДС, при этом необходимо учитывать и источники тока [Ėk]=[B][Ė]-[B][Z][ İ].

Решением системы являются контурные токи, через которые затем определяются токи в обобщенных ветвях: [İ]=[B]T[İk].

Метод узловых потенциалов в матричной форме.

Формирование системы уравнений связано с выражением всех токов через потенциалы узловых точек и подстановкой их в уравнение первого закона Кирхгофа.

После подстановки получим:

Система может быть записана в виде матричного уравнения[Yy][ϕ]=[ İy], где [ϕ]- столбцовая матрица неизвестных потенциалов, [Yy]- симметричная матрица узловых проводимостей, [ İy]- столбцовая матрица узловых токов.

В общем случае [Yk]=[A][Y][A]T, [İy]=[A][ İ]-[A][Y][ Ė], результатом решения являются потенциалы узловых точек, через которые затем определяются токи в ветвях

Основные понятия, относящиеся к переменным и синусоидальным токам (мгновенное и амплитудное значение, период, частота, фаза, начальная фаза). Диапазон частот, применяемый в технике.

Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток, изменяющийся во времени. Ток (напряжение, ЭДС) называется периодическим, если его значения повторяются через одинаковые промежутки времени, а время. Через которое начинаются эти повторения, называются периодом Т, обратная величина – частота. Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01-10Гц – в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) до сверхвысоких (3000-300000 МГц – миллиметровые волны, радиолокация, радиоастрономия) В РФ промышленная частота 50 Гц. Мгновенным значением тока называется его значение в данный момент времени. Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой.

i=Imsin(ωt+ψ), ωt+ψ- фаза периодических колебаний, ψ- начальная фаза.

27) Способы получения переменных токов. Принцип действия машинного генератора переменного тока.

1, 3, .5 -концы обмотки статора;

6 — магнитные силовые линии

Генератор переменного тока состоит из 2 частей: 1) неподвижный статор, 2) вращающийся ротор. На роторе обмотка возбуждения, которая через кольца подключена к источнику постоянной ЭДС, на обмотке возбуждения протекает постоянный ток при вращении ротора, например с помощью турбины, в обмотке статора наводится ЭДС. С обмотки статора снимается напряжения, которое подается в электрическую сеть.

Источник

Как решить уравнение кирхгофа матричным способом

Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем.

Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.

Пусть имеем схему по рис. 1, где — источник тока. В соответствии с рассмотренным нами ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы можно записать:

(1)

Однако, для дальнейших выкладок будет удобнее представить ток как сумму токов k -й ветви и источника тока, т.е.:

(2)

Подставив (2) в (1), получим:

(3)

Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви).

Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства

(4)

где Z – диагональная квадратная (размерностью матрица сопротивлений ветвей, все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома.

Если обе части равенства (4) умножить слева на контурную матрицу В и учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому

(5)

(6)

то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.

Метод контурных токов в матричной форме

В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуров В , записываемой для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, которые и будут равны искомым контурным токам.

Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей связи c = n — m +1 . Выражение (6) запишем следующим образом:

(7)

В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j –го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j –й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения

(8)

где — столбцовая матрица контурных токов; — транспонированная контурная матрица.

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

(9)

Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить

(10)

(11)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:

(12)

где — матрица контурных сопротивлений; — матрица контурных ЭДС.

В развернутой форме (12) можно записать, как:

(13)

то есть получили известный из метода контурных токов результат.

Рассмотрим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла ( m =4) и шесть обобщенных ветвей ( n =6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,

Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.

Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:

Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Матрица контурных сопротивлений

Z_k=BZB T

Матрицы ЭДС и токов источников

Тогда матрица контурных ЭДС

Матрица контурных токов

Таким образом, окончательно получаем:

где ; ; ; ; ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.

Метод узловых потенциалов в матричной форме

На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:

(14)

где — диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому

(15)

(16)

Выражение (16) перепишем, как:

(17)

Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А , равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:

(18)

Тогда получаем матричное уравнение вида:

(19)

Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить

(20)

(21)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:

(22)

где — матрица узловых проводимостей; — матрица узловых токов.

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:

(23)

то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.

Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.

Данная схема имеет 3 узла ( m =3) и 5 ветвей ( n =5) . Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.

Диагональная матрица проводимостей ветвей:

где .

Матрица узловых проводимостей

Матрицы токов и ЭДС источников

Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:

Таким образом, окончательно получаем:

где ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

В чем заключаются преимущества использования матричных методов расчета цепей?
Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС.
Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов.
Составить узловые уравнения для цепи на рис. 2.

Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями 3 и 4 (см. рис. 5).

Источник