Как решить систему неравенств способом подстановки

Математика

Тестирование онлайн

Система линейных уравнений

Обычно уравнения системы записывают в столбик одно под другим и объединяют фигурной скобкой

Система уравнений такого вида, где a, b, c — числа, а x, y — переменные, называется системой линейных уравнений.

При решении системы уравнений используют свойства, справедливые для решения уравнений.

Решение системы линейных уравнений способом подстановки

Рассмотрим пример

1) Выразить в одном из уравнений переменную. Например, выразим y в первом уравнении, получим систему:

2) Подставляем во второе уравнение системы вместо y выражение 3х-7:

3) Решаем полученное второе уравнение:

4) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Система уравнений имеет единственное решение: пару чисел x=1, y=-4. Ответ: (1; -4), записывается в скобках, на первой позиции значение x, на второй — y.

Решение системы линейных уравнений способом сложения

Решим систему уравнений из предыдущего примера методом сложения.

1) Преобразовать систему таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными. Умножим первое уравнение системы на «3».

2) Складываем почленно уравнения системы. Второе уравнение системы (любое) переписываем без изменений.

3) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Решение системы линейных уравнений графическим способом

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Графическое решение системы

Метод введения новых переменных

Замена переменных может привести к решению более простой системы уравнений, чем исходная.

Рассмотрим решение системы

Введем замену , тогда

Переходим к первоначальным переменным

Особые случаи

Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных.

Пусть дана система

1) Если , то система имеет единственное решение.

2) Если , то система решений не имеет. В этом случае прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны и не совпадают.

3) Если , то система имеет бесконечное множество решений. В этом случае прямые совпадают друг с другом.

Метод Гаусса*

Суть метода в последовательном исключении неизвестных, приводя систему линейных уравнений к ступенчатой форме.

Источник

Системы уравнений

Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений с двумя неизвестными.

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (чаще всего неизвестные в них называют « x » и « y »), которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Например, система уравнений может быть задана следующим образом.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и « x », и « y ».

Как решить систему уравнений

Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.

Способ подстановки
или
«железобетонный» метод

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений, всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

Выразим из первого уравнения « x + 5y = 7 » неизвестное « x ».

Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:

• перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;
• разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так, чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.

Перенесём в первом уравнении « x + 5 y = 7 » всё что содержит « x » в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу.

При « x » стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется.

x = 7 − 5y

3x − 2y = 4

Теперь, вместо « x » подставим во второе уравнение полученное выражение
« x = 7 − 5y » из первого уравнения.

x = 7 − 5y

3(7 − 5y) − 2y = 4

Подставив вместо « x » выражение « (7 − 5y) » во второе уравнение, мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным « y ». Решим его по правилам решения линейных уравнений.

Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение « 3(7 − 5y) − 2y = 4 » отдельно. Вынесем его решение отдельно с помощью обозначения звездочка (*) .

x = 7 − 5y

3(7 − 5y) − 2y = 4 (*)

Мы нашли, что « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению « x = 7 − 5y » и вместо « y » подставим в него полученное числовое значение. Таким образом можно найти « x ». Запишем в ответ оба полученных значения.

x = 7 − 5y

y = 1

x = 7 − 5 · 1

y = 1

x = 2

y = 1

Ответ: x = 2; y = 1

Способ сложения

Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения. Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.

Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.

При сложения уравнений системы левая часть первого уравнения полностью складывается с левой частью второго уравнения, а правая часть полностью складывается с правой частью.

x + 5y = 7	(x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4
+ =>	x + 5y + 3x − 2y = 11
3x − 2y = 4	4x + 3y = 11

При сложении уравнений мы получили уравнение « 4x + 3y = 11 ». По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.

Вернемся снова к исходной системе уравнений.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

Чтобы при сложении неизвестное « x » взаимноуничтожилось, нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при « x » стоял коэффициент « −3 ».

Для этого умножим первое уравнение на « −3 ».

При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.

x + 5y = 7 | ·(−3)

3x − 2y = 4

x · (−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3)

3x − 2y = 4

−3x −15y = −21

3x − 2y = 4

Теперь сложим уравнения.

−3x −15y = −21	(−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4
+ =>	− 3x − 15y + 3x − 2y = −21 + 4
3x − 2y = 4	−17y = −17 |:(−17)
y = 1

Мы нашли « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению и подставим вместо « y » полученное числовое значение и найдем « x ».

x = 7 − 5y

y = 1

x = 7 − 5 · 1

y = 1

x = 2

y = 1

Ответ: x = 2; y = 1

Пример решения системы уравнения
способом подстановки

Выразим из первого уравнения « x ».

x = 17 + 3y

x − 2y = −13

Подставим вместо « x » во второе уравнение полученное выражение.

x = 17 + 3y

(17 + 3y) − 2y = −13 (*)

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = −30 » и найдем « x ».

x = 17 + 3y

y = −30

x = 17 + 3 · (−30)

y = −30

x = 17 −90

y = −30

x = −73

y = −30

Ответ: x = −73; y = −30

Пример решения системы уравнения
способом сложения

Рассмотрим систему уравнений.

3(x − y) + 5x = 2(3x − 2)

4x − 2(x + y) = 4 − 3y

Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.

3x − 3y + 5x = 6x − 4

4x − 2x − 2y = 4 − 3y

8x − 3y = 6x − 4

2x −2y = 4 − 3y

8x − 3y − 6x = −4

2x −2y + 3y = 4

2x − 3y = −4

2x + y = 4

Мы видим, что в обоих уравнениях есть « 2x ». Наша задача, чтобы при сложении уравнений « 2x » взаимноуничтожились и в полученном уравнении осталось только « y ».

Для этого достаточно умножить первое уравнение на « −1 ».

2x − 3y = −4 | ·(−1)

2x + y = 4

2x · (−1) − 3y · (−1) = −4 · (−1)

2x + y = 4

−2x + 3y = 4

2x + y = 4

Теперь при сложении уравнений у нас останется только « y » в уравнении.

−2x + 3y = 4	(−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4
+ =>	− 2x + 3y + 2x + y = 4 + 4
2x + y = 4	4y = 8 | :4
y = 2

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = 2 » и найдем « x ».

Источник

Решение неравенств (метод подстановки).

Подстановкой в математике называется введение новой переменной. Подстановка позволяет свести решение неравенства или уравнения к двум или нескольким более простым неравенствам или уравнениям. Решая неравенство
f(x) ,,), можно сделать подстановку либо в самим неравенстве, либо при решении уравнения f(x) = 0 (третий шаг метода интервалов). Поясним это на примере. Достаточно часто, используя метод постановки, удается понизить степень уравнения или неравенства.

Пример 1. Решить неравенство х 4 — х 2 — 20.

Пусть t = х 2 . После такой подстановки получится неравенство t 2 — t — 20, которое мы решим методом интервалов.

ОДЗ: tR.

f(t) = t 2 — t — 2; эта функция непрерывна на всей области определения.

f(3) = 3 2 — 3 — 2 = 4 > 0;

Таким образом, функция f(t) = t 2 — t — 2 — t — 2 — t — 2 принимает значения небольшие 0, если -1t2. Осуществим обратный переход к переменной x, тогда -1x 2 2. Это двойное неравенство равносильно системе неравенстви, следовательно, x[-;].

Решение 2. Решим неравенство x 4 — x — 20 методом интервалов.

ОДЗ: xR.

Решим биквадратное уравнение х 4 — x 2 — 2 = 0.

Пусть t = x 2 , t 2 — t — 2 = 0, отсюда t₁ = — 1, t₂ = 2.

Производим обратный переход к переменной x.

x 2 = -1 (нет корней); x 2 = 2, x₁ = —, x₂ =.

Вычисляем значения функции f(x) = x 4 — x 2 — 2,

f(2) = 2 4 — 2 2 -2 >0;

f(0) = 04 — 02 — 2 4 — (-2) 2 — 2 >0.

Таким образом функция f(x) принимает неположительные значения на промежутке [-;].

Ответ: x[-;].

Решение 1 дает возможность свести биквадратное неравенство к квадратному
t 2 — t — 20. Далее решение этого неравенства нужно «перевести с языка t на язык х». В этом и преимущество, и недостаток решения 1. Неравенство сводится к относительно простому, но переход от х к t может вызвать затруднения. Например, если бы t = х +, то пришлось бы решать систему

Решение 2 хорошо тем, что оно дает окончательный ответ. Недостаток этого способа: при решении более сложных примеров есть опасность ошибиться в вычислениях знака функции на интервалах знакопостоянства.

Пример 2. Решить неравенство7 — x.

При решении неравенств, содержащих квадратные корни, необходимо помнить, что возведение в квадрат обеих частей неравенства, сохраняя знак неравенства, можно лишь тогда, когда обе части неравенства принимают неотрицательные значения. Если же обе части неравенства принимают неположительные значения при возведении в квадрат необходимо изменить знак неравенства на противоположный. В перечисленных случаях возможны появления посторонних решений. Возведение неравенства в квадрат в тех случаях, кода части неравенства имеют противоположные знаки, т. е. одна часть принимает неотрицательные значения, а другая неположительные значения может привести к потере решений.

Введем вспогательную переменную. Пусть t =, где t0, (из определения квадратного корня)
тогда t 2 = x + 5; откуда x = t 2 — 5 и имеем неравенство t7 — t 2 + 5;

t 2 + t — 120;

ОДЗ: tR.

f(t) = t 2 + t — 12; эта функция непрерывна на всей области определения. Формулу, задающую функцию, удобнее записать так f(x) = (x — 3)(x + 4).

f(4) =4 2 + 4 — 12 = 8 >0;

Таким образом, функция f(t) = t 2 + t — 12 принимает значения небольшие 0, если -4t3. Так как t0, то 0t4. Осуществим обратный переход к переменной x, тогда

03. Так как все части неравенства неотрицательны, то возведем их в квадрат 0x + 59, откуда -5x4 и, следовательно,

x[-5; 3].

Ответ: x[-5; 3].

Пример 3. Решить неравенство 2x 2 — 8x + 6 > .

В левой части неравества вынесем 2 за скобки 2 (x 2 — 4x + 3) >и введем вспомогательную переменную.

Пусть t =, тогда t > 0 и 2t 2 > t; 2t 2 — t > 0; t(2t -1) > 0.

В левой части неравенства задана квадратная функция, в которой старший коэффициент равен 1, а нули 0 и 0,5. Из свойств этой функции следует:

Таким образом неравенство 2t 2 > t равносильно неравенству t > 0,5.

Выполняем обратную замену переменных.

> 0,5, где x 3.

x 2 — 4x + 3 > 0,25;

4x 2 — 16x + 11 > 0;

D/4 = 64 — 44 = 20, D > 0.

x₁ =, x₂ =

Нетрудно установить, что 0,5 2 x — 3sinx — 2 2 — 3t — 2 2 — 42(-2) = 9 + 16 = 25, следовательно, D > 0.

3) t₁ = -0,5; t₂ = 2, поэтому решением неравенства является множество чисел
t(-; — 0,5)(2; +) (2).

Пересечение множеств (1) и (2) есть множество [-1; -0,5).

Произведем обратный переход к переменной х, получим неравенство.

-1sinx lg() + 2.

Так как -х > 0 при x lg(-x) + 2. Пусть t =, получим квадратное неравенство t 2 — 3t + 4

Источник