Методы решения неравенств рассматриваемые в алгебре 9 класса
презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему
В данной публикации представлены виды неравенств, рассматриваемые в 9 классе, способы и методы их решения.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| metody_resheniya_neravenstv_rassmatrivaemye_v_algebre_9_klassa.ppt | 439.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Методы решения неравенств рассматриваемые в Алгебре 9 класса.
Для решения линейных и квадратных неравенств в 9 классе рассматриваются следующие приемы решения данных неравенств, данные приемы вводятся виде правил для учащихся:
1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком (не меняя при этом знака неравенства).
Например. Решить неравенство
Неравенство равносильно неравенству член перенесли из правой части неравенства в левую с противоположным знаком.
2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже положительное число, не меняя при этом знака неравенства.
Например. Решить неравенство
Неравенство равносильно Неравенству обе части первого неравенства разделили на положительное число 4
3. Обе части неравенства можно умножить и разделить на одно и тоже отрицательное число, заменив при этом знак неравенства на противоположный ( , на ).
Например. Решить неравенство
Неравенство равносильно Неравенству обе части первого неравенства умножили на отрицательное число -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный
Рассмотренные правила 2 и 3 допускают обобщения (соответствующие утверждения представляют собой теоремы) Теорема 1. Если обе части неравенства с переменной x умножить или разделить на одно и тоже выражение p ( x ), отрицательное при всех значениях x , и изменить знак исходного неравенства на противоположный, то получится неравенство равносильное данному.
Например. Решить неравенство неравенство равносильно неравенству (обе части исходного неравенства умножили на выражение ( ), отрицательное при любых значениях x ; при этом знак исходного неравенства изменили на противоположный).
Теорема 2. Если обе части неравенства с переменной x умножить или разделить на одно и тоже выражение p ( x ), положительное при всех значениях x , и сохранить знак исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Например. Решить неравенство неравенство равносильно неравенству X+7>0 (обе части исходного неравенства разделили на выражение , положительное при любых значениях x ; при этом знак исходного неравенства оставили без изменения).
Рациональные неравенства. При решении рациональных неравенств используются те приемы, которые были рассмотрены выше. С помощью этих приемов преобразуют заданное рациональное неравенство к виду f ( x )>0, где f ( x ) – алгебраическая функция. Затем числитель и знаменатель дроби f ( x ) разлагают на множители вида ( ax — b ) и применяется метод интервалов .
Метод интервалов Сущность метода интервалов заключается в следующем: ввести функцию; найти область определения; найти нули функции; выделить промежутки знакопостоянства; определить знак на каждом из промежутков; выбирается необходимый промежуток; записывается ответ.
Например. Решить неравенство
Ввели функцию D (f)= R/ <3>3. Нули функции: x =1; X=-2 4-5. 6. F (x)>0 7. Ответ:
Система неравенств Задача. Задумано натуральное число. Известно, что если к квадрату задуманного числа прибавить 13, то сумма будет больше произведения задуманного числа и числа 14. Если же к квадрату задуманного числа прибавить 45, то сумма будет меньше произведения задуманного числа и числа 18. Какое число задумано?
Решение. Первый этап . Составление математической модели. Пусть x – задуманное число. По первому условию сумма чисел и 13 больше 14 x ; это значит, что должно выполняться неравенство . По второму условию сумма чисел и 45 меньше числа 18 x ; это значит, что должно выполняться неравенство . Так как указанные неравенства должны выполнятся одновременно, следовательно, нужно решить систему уравнений из этих неравенств
Второй этап. Работа с составленной моделью . Преобразуем первое неравенство к виду: Найдем корни трехчлена С помощью параболы делаем вывод, что интересующее нас неравенство выполняется при или
Преобразуем, второе неравенство системы и приведем к виду Найдем корни трехчлена С помощью параболы делаем вывод, что интересующее нас неравенство выполняется если Пересечением найденных решений служит интервал (13, 15).
Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Нас интересует натуральное число, принадлежащее интервалу (13, 15). Таким числом является число 14. Ответ: задумано число 14.
Метод парабол неравенство преобразуется к виду находятся корни квадратного трехчлена x 1, x 2; парабола, служащая графиком функции пересекает ось x в точках x 1, x 2, а ветви направлены вниз, если ,вверх, если делаем вывод: y >0, следовательно, график расположен выше оси x (если y Мне нравится
Источник
Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»
Алгебра 9 класс
Выполняя задания, придерживайся следующих правил:
Внимательно изучи тот материал, который тебе выслали.
Разбери самостоятельно, прорешай те задачи и примеры, которые приведены в качестве образца.
Оформляя задачи для самостоятельного решения, приводи полные решения, опираясь на эти образцы. Не забывай выписывать ответы.
Если что-то не получилось, не огорчайся. С проверенной работой вышлем рекомендации по ее решению.
Методички возвращать не надо. Рекомендуем хранить их в специальной папке вместе с проверенными работами и периодически к ним обращаться.
Срок выполнения контрольной работы – 4 дня с момента получения задания.
Решение неравенств методом интервалов
Решим неравенство: 
Неравенство положительно, если оба множителя положительны или отрицательны одновременно. Значит надо решить две системы неравенств:
1) 
или 2) 
(5;+ 
) (- ;-8)
Ответ: (- ;-8) 
(5;+ )
Решим другое неравенство: ( x -2)( x +5)( x -12)>0
Если рассуждать как в предыдущем примере о возможных знаках каждого из трёх множителей, то вычисления будут громоздкими, потому необходим другой метод решения. Таким методом является метод интервалов.
Если левая часть неравенства является произведением, а правая часть – 0, то есть 
( 
) и 
, где х – переменная, а 
, 
…, 
– не равные друг другу числа, то такие неравенства решаются методом интервалов.
Числа , …, — нули функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль её знак меняется.
Для решения неравенства ( x -2)( x +5)( x -12)>0 воспользуемся следующим алгоритмом.
Найти область определения функции.
Найти нули функции.
Отметить на координатной прямой интервалы, на которые область определения разбивается нулями функции.
Определить знак функции на каждом промежутке (интервале), для этого выбираем число из данного промежутка и подставляем в функцию.
Записать ответ, удовлетворяющий знаку неравенства.
x 
R
=2, =-5, 
=12
Ответ: x (-5;2) (12:+ ).
Решим первое неравенство методом интервалов:
х R
Ответ: х (- ;-8) (5;+ )
Применение метода интервалов
Рассмотрим метод интервалов для решения неравенств высоких степеней.
Пример 1. Решим неравенство 
Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель 
, то говорят, что 
— корень многочлена кратности 
.
Данный многочлен имеет корни: 
кратности 6; 
кратности 3; 
кратности 1; 
кратности 2; 
кратности 5.
Нанесем эти корни на числовую ось. Отметим корни четной кратности двумя черточками, нечетной кратности – одной чертой.
Определим знак многочлена на каждом интервале, при любом значении х не совпадающем с корнями и взятом из данного интервала. Получим полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси:
Теперь легко ответить на вопрос задачи, при каких значениях х знак многочлена неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим:
Из рисунка видно, что такими х являются 
.
Ответ: .
Проанализируем смену знаков в корнях различной кратности.
Посмотрите внимательно на диаграмму знаков, что можно заметить? В корнях четной кратности смена знаков не произошла, а в корнях нечетной кратности – знак меняется.
Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом.
При четном k многочлен справа и слева от имеет один и тот же знак (т.е. знак многочлена не меняется),
При нечетном k многочлен справа и слева от имеет противоположные знаки (т.е. знак многочлена изменяется).
Еще небольшое замечание, что бы применять метод интервалов, нужно сначала привести в неравенство к указанному виду (т.е. разложить на множители).
Рассмотрим способы решения рациональных неравенств 
методом интервалов.
Заметим, что рациональные неравенства легко сводятся к решению неравенств высоких степеней. Умножим обе части такого неравенства на многочлен 
, который положителен при всех допустимых значениях х (т.к. 
). Тогда знак исходного неравенства не меняется, и получаем неравенство 
, эквивалентное данному неравенству.
Итак: эквивалентно системе неравенств 
которая далее решается методом интервалов.
Пример 2. Решим неравенство 
Отметим, прежде всего, что знаменатель неравенства не может быть равен нулю и найдем область определения неравенства:
откуда 
Сведем данное рациональное неравенство к алгебраическому. Для этого умножим обе части неравенства на положительное выражение – квадрат знаменателя (замети, что при этом знак неравенства не меняется).
Получаем: 
. Разложив квадратный трехчлен на множители, имеем: 
. Решаем это неравенство методом интервалов. Находим корни многочлена и определяем их кратность: х =1 (четная кратность), остальные корни 3, -1, 0, 5, -2 (нечетной кратности). Отмечаем корни на числовой оси с учетом области определения неравенства и определяем знаки на промежутках с учетом кратности корней.
Ответ: 
.
Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. – 8-е изд. – М.: Просвещение, 2001. – 207 с.
Решите неравенства методом интервалов:
а) 
; б) 
;
в) 
.
Решите неравенство, разложив его левую часть на множители:
а) 
; б) 
;
б) 
.
Найдите область определения функции:
а) 
; б) 
.
а) 
; б) 
;
в) 
.
а) 
; б) 
.
Источник
