Метод интервалов: решение простейших строгих неравенств
Для начала — немного лирики, чтобы почувствовать проблему, которую решает метод интервалов. Допустим, нам надо решить вот такое неравенство:
Какие есть варианты? Первое, что приходит в голову большинству учеников — это правила «плюс на плюс дает плюс» и «минус на минус дает плюс». Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда обе скобки положительны: x − 5 > 0 и x + 3 > 0. Затем также рассмотрим случай, когда обе скобки отрицательны: x − 5 x + 3 
Более продвинутые ученики вспомнят (может быть), что слева стоит квадратичная функция, график которой — парабола. Причем эта парабола пересекает ось OX в точках x = 5 и x = −3. Для дальнейшей работы надо раскрыть скобки. Имеем:
x 2 − 2 x − 15 > 0
Теперь понятно, что ветви параболы направлены вверх, т.к. коэффициент a = 1 > 0. Попробуем нарисовать схему этой параболы:
Функция больше нуля там, где она проходит выше оси OX . В нашем случае это интервалы (−∞ −3) и (5; +∞) — это и есть ответ.
Обратите внимание: на рисунке изображена именно схема функции, а не ее график. Потому что для настоящего графика надо считать координаты, рассчитывать смещения и прочую хрень, которая нам сейчас совершенно ни к чему.
Почему эти методы неэффективны?
Итак, мы рассмотрели два решения одного и того же неравенства. Оба они оказались весьма громоздкими. В первом решении возникает — вы только вдумайтесь! — совокупность систем неравенств. Второе решение тоже не особо легкое: нужно помнить график параболы и еще кучу мелких фактов.
Это было очень простое неравенство. В нем всего 2 множителя. А теперь представьте, что множителей будет не 2, а хотя бы 4. Например:
( x − 7)( x − 1)( x + 4)( x + 9) f ( x ) > 0 и f ( x ) f ( x ) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
Вот и все! После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f ( x ) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f ( x ) x − 2)( x + 7) x − 2)( x + 7) = 0
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.
Получили два корня. Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:
Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). Получим:
f ( x ) = ( x − 2)( x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10;
Получаем, что f (3) = 10 > 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.
Переходим к последнему пункту — надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.
Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. Имеем:
Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:
( x − 2)( x + 7) x + 9)( x − 3)(1 − x ) x + 9)( x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.
Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Именно поэтому мы вправе приравнять к нулю каждую отдельную скобку.
Шаг 2: отмечаем все корни на координатной прямой:
Шаг 3: выясняем знак самого правого промежутка. Берем любое число, которое больше, чем x = 1. Например, можно взять x = 10. Имеем:
f ( x ) = ( x + 9)( x − 3)(1 − x );
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197 
Вот и все. Осталось лишь выписать ответ. Взгляните еще раз на исходное неравенство:
( x + 9)( x − 3)(1 − x ) f ( x ) x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)
Это и есть ответ.
Замечание по поводу знаков функции
Практика показывает, что наибольшие трудности в методе интервалов возникают на последних двух шагах, т.е. при расстановке знаков. Многие ученики начинают путаться: какие надо брать числа и где ставить знаки.
Чтобы окончательно разобраться в методе интервалов, рассмотрим два замечания, на которых он построен:
- Непрерывная функция меняет знак только в тех точках, где она равна нулю. Такие точки разбивают координатную ось на куски, внутри которых знак функции никогда не меняется. Вот зачем мы решаем уравнение f ( x ) = 0 и отмечаем найденные корни на прямой. Найденные числа — это «пограничные» точки, отделяющие плюсы от минусов.
- Чтобы выяснить знак функции на каком-либо интервале, достаточно подставить в функцию любое число из этого интервала. Например, для интервала (−5; 6) мы вправе брать x = −4, x = 0, x = 4 и даже x = 1,29374, если нам захочется. Почему это важно? Да потому что многих учеников начинают грызть сомнения. Мол, что если для x = −4 мы получим плюс, а для x = 0 — минус? А ничего — такого никогда не будет. Все точки на одном интервале дают один и тот же знак. Помните об этом.
Вот и все, что нужно знать про метод интервалов. Конечно, мы разобрали его в самом простом варианте. Существуют более сложные неравенства — нестрогие, дробные и с повторяющимися корнями. Для них тоже можно применять метод интервалов, но это тема для отдельного большого урока.
Теперь хотел бы разобрать продвинутый прием, который резко упрощает метод интервалов. Точнее, упрощение затрагивает только третий шаг — вычисление знака на самом правом куске прямой. По каким-то причинам этот прием не проходят в школах (по крайней мере, мне никто такого не объяснял). А зря — ведь на самом деле этот алгоритм очень прост.
Итак, знак функции на правом куске числовой оси. Этот кусок имеет вид ( a ; +∞), где a — самый большой корень уравнения f ( x ) = 0. Чтобы не взрывать мозг, рассмотрим конкретный пример:
( x − 1)(2 + x )(7 − x ) f ( x ) = ( x − 1)(2 + x )(7 − x );
( x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;
Мы получили 3 корня. Перечислим их в порядке возрастания: x = −2, x = 1 и x = 7. Очевидно, что наибольший корень — это x = 7.
Для тех, кому легче рассуждать графически, я отмечу эти корни на координатной прямой. Посмотрим, что получится:
Требуется найти знак функции f ( x ) на самом правом интервале, т.е. на (7; +∞). Но как мы уже отмечали, для определения знака можно взять любое число из этого интервала. Например, можно взять x = 8, x = 150 и т.д. А теперь — тот самый прием, который не проходят в школах: давайте в качестве числа возьмем бесконечность. Точнее, плюс бесконечность, т.е. +∞.
«Ты че, обкурился? Как можно подставить в функцию бесконечность?» — возможно, спросите вы. Но задумайтесь: нам ведь не нужно само значение функции, нам нужен только знак. Поэтому, например, значения f ( x ) = −1 и f ( x ) = −938 740 576 215 значат одно и то же: функция на данном интервале отрицательна. Поэтому все, что от вас требуется — найти знак, который возникает на бесконечности, а не значение функции.
На самом деле, подставлять бесконечность очень просто. Вернемся к нашей функции:
f ( x ) = ( x − 1)(2 + x )(7 − x )
Представьте, что x — это очень большое число. Миллиард или даже триллион. Теперь посмотрим, что будет происходить в каждой скобке.
Первая скобка: ( x − 1). Что будет, если из миллиарда вычесть единицу? Получится число, не особо отличающееся от миллиарда, и это число будет положительным. Аналогично со второй скобкой: (2 + x ). Если к двойке прибавить миллиард, по получим миллиард с копейками — это положительное число. Наконец, третья скобка: (7 − x ). Здесь будет минус миллиард, от которого «отгрызли» жалкий кусочек в виде семерки. Т.е. полученное число мало чем будет отличаться от минус миллиарда — оно будет отрицательным.
Осталось найти знак всего произведения. Поскольку в первых скобках у нас был плюс, а в последней — минус, получаем следующую конструкцию:
Итоговый знак — минус! И неважно, чему равно значение самой функции. Главное, что это значение — отрицательное, т.е. на самом правом интервале стоит знак минус. Осталось выполнить четвертый шаг метода интервалов: расставить все знаки. Имеем:
Исходное неравенство имело вид:
( x − 1)(2 + x )(7 − x ) x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)
Вот и весь прием, который я хотел рассказать. В заключение — еще одно неравенство, которое решается методом интервалов с привлечением бесконечности. Чтобы визуально сократить решение, я не буду писать номера шагов и развернутые комментарии. Напишу только то, что действительно надо писать при решении реальных задач:
Заменяем неравенство уравнением и решаем его:
x (2 x + 8)( x − 3) = 0;
x = 0;
2 x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
Отмечаем все три корня на координатной прямой (сразу со знаками):
Справа на координатной оси стоит плюс, т.к. функция имеет вид:
f ( x ) = x (2 x + 8)( x − 3)
А если подставить бесконечность (например, миллиард), получим три положительных скобки. Поскольку исходное выражение должно быть больше нуля, нас интересуют только плюсы. Осталось выписать ответ:
Источник
Метод интервалов, примеры, решения
Метод интервалов принято считать универсальным для решения неравенств. Иногда этот метод также называют методом промежутков. Применим он как для решения рациональных неравенств с одной переменной, так и для неравенств других видов. В нашем материале мы постарались уделить внимание всем аспектам вопроса.
Что ждет вас в данном разделе? Мы разберем метод промежутков и рассмотрим алгоритмы решения неравенств с его помощью. Затронем теоретические аспекты, на которых основано применение метода.
Особое внимание мы уделяем нюансам темы, которые обычно не затрагиваются в рамках школьной программы. Например, рассмотрим правила расстановки знаков на интервалах и сам метод интервалов в общем виде без его привязки к рациональным неравенствам.
Алгоритм
Кто помнит, как происходит знакомство с методом промежутков в школьном курсе алгебры? Обычно все начинается с решения неравенств вида f ( x ) 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , > или ≥ ). Здесь f ( x ) может быть многочленом или отношением многочленов. Многочлен, в свою очередь, может быть представлен как:
- произведение линейных двучленов с коэффициентом 1 при переменной х ;
- произведение квадратных трехчленов со старшим коэффициентом 1 и с отрицательным дискриминантом их корней.
Приведем несколько примеров таких неравенств:
( x + 3 ) · ( x 2 − x + 1 ) · ( x + 2 ) 3 ≥ 0 ,
( x — 2 ) · ( x + 5 ) x + 3 > 0 ,
( x − 5 ) · ( x + 5 ) ≤ 0 ,
( x 2 + 2 · x + 7 ) · ( x — 1 ) 2 ( x 2 — 7 ) 5 · ( x — 1 ) · ( x — 3 ) 7 ≤ 0 .
Запишем алгоритм решения неравенств такого вида, как мы привели в примерах, методом промежутков:
- находим нули числителя и знаменателя, для этого числитель и знаменатель выражения в левой части неравенства приравниваем к нулю и решаем полученные уравнения;
- определяем точки, которые соответствуют найденным нулям и отмечаем их черточками на оси координат;
- определяем знаки выражения f ( x ) из левой части решаемого неравенства на каждом промежутке и проставляем их на графике;
- наносим штриховку над нужными участками графика, руководствуясь следующим правилом: в случае, если неравенство имеет знаки или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки > или ≥ , то выделяем штриховкой участки, отмеченные знаком « + ».
Четреж, с которым мы будем работать, может иметь схематический вид. Излишние подробности могут перегружать рисунок и затруднять решение. Нас будет мало интересовать маштаб. Достаточно будет придерживаться правильного расположения точек по мере роста значений их координат.
При работе со строгими неравенствами мы будем использовать обозначение точки в виде круга с незакрашенным (пустым) центром. В случае нестрогих неравенств точки, которые соответствуют нулям знаменателя, мы будем изображать пустыми, а все остальные обычными черными.
Отмеченные точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков. Это позволяет нам получить геометрическое представление числового множества, которое фактически является решением данного неравенства.
Научные основы метода промежутков
Основан подход, положенный в основу метода промежутков, основан на следующем свойстве непрерывной функции: функция сохраняет постоянный знак на интервале ( a , b ) , на котором эта функция непрерывна и не обращается в нуль. Это же свойство характерно для числовых лучей ( − ∞ , a ) и ( a , + ∞ ) .
Приведенное свойство функции подтверждается теоремой Больцано-Коши, которая приведена во многих пособиях для подготовки к вступительным испытаниям.
Обосновать постоянство знака на промежутках также можно на основе свойств числовых неравенств. Например, возьмем неравенство x — 5 x + 1 > 0 . Если мы найдем нули числителя и знаменателя и нанесем их на числовую прямую, то получим ряд промежутков: ( − ∞ , − 1 ) , ( − 1 , 5 ) и ( 5 , + ∞ ) .
Возьмем любой из промежутков и покажем на нем, что на всем промежутке выражение из левой части неравенства будет иметь постоянный знак. Пусть это будет промежуток ( − ∞ , − 1 ) . Возьмем любое число t из этого промежутка. Оно будет удовлетворять условиям t − 1 , и так как − 1 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t 5 .
Используя оба полученных неравенства и свойство числовых неравенств, мы можем предположить, что t + 1 0 и t − 5 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t на промежутке ( − ∞ , − 1 ) .
Используя правило деления отрицательных чисел, мы можем утверждать, что значение выражения t — 5 t + 1 будет положительным. Это значит, что значение выражения x — 5 x + 1 будет положительным при любом значении x из промежутка ( − ∞ , − 1 ) . Все это позволяет нам утверждать, что на промежутке, взятом для примера, выражение имеет постоянный знак. В нашем случае это знак « + ».
Нахождение нулей числителя и знаменателя
Алгоритм нахождения нулей прост: приравниваем выражения из числителя и знаменателя к нулю и решаем полученные уравнения. При возникновении затруднений можно обратиться к теме «Решение уравнений методом разложения на множители». В этом разделе мы ограничимся лишь рассмотрением примера.
Рассмотрим дробь x · ( x — 0 , 6 ) x 7 · ( x 2 + 2 · x + 7 ) 2 · ( x + 5 ) 3 . Для того, чтобы найти нули числителя и знаменателя, приравняем их к нулю для того, чтобы получить и решить уравнения: x · ( x − 0 , 6 ) = 0 и x 7 · ( x 2 + 2 · x + 7 ) 2 · ( x + 5 ) 3 = 0 .
В первом случае мы можем перейти к совокупности двух уравнений x = 0 и x − 0 , 6 = 0 , что дает нам два корня 0 и 0 , 6 . Это нули числителя.
Второе уравнение равносильно совокупности трех уравнений x 7 = 0 , ( x 2 + 2 · x + 7 ) 2 = 0 , ( x + 5 ) 3 = 0 . Проводим ряд преобразований и получаем x = 0 , x 2 + 2 · x + 7 = 0 , x + 5 = 0 . Корень первого уравнения 0 , у второго уравнения корней нет, так как оно имеет отрицательный дискриминант, корень третьего уравнения — 5 . Это нули знаменателя.
0 в данном случае является одновременно и нулем числителя, и нулем знаменателя.
В общем случае, когда в левой части неравенства дробь, которая не обязательно является рациональной, числитель и знаменатель точно также приравниваются к нулю для получения уравнений. Решение уравнений позволяет найти нули числителя и знаменателя.
Определение знаков на интервалах
Определить знак интервала просто. Для этого можно найти значение выражения из левой части неравенства для любой произвольно выбранной точки из данного интервала. Полученный знак значения выражения в произвольно выбранной точке промежутка будет совпадать со знаком всего промежутка.
Рассмотрим это утверждение на примере.
Возьмем неравенство x 2 — x + 4 x + 3 ≥ 0 . Нулей числителя выражение, расположенное в левой части неравенства, нулей не имеет. Нулем знаменателя будет число — 3 . Получаем два промежутка на числовой прямой ( − ∞ , − 3 ) и ( − 3 , + ∞ ) .
Для того, чтобы определить знаки промежутков, вычислим значение выражения x 2 — x + 4 x + 3 для точек, взятых произвольно на каждом из промежутков.
Из первого промежутка ( − ∞ , − 3 ) возьмем − 4 . При x = − 4 имеем ( — 4 ) 2 — ( — 4 ) + 4 ( — 4 ) + 3 = — 24 . Мы получили отрицательное значение, значит весь интервал будет со знаком « — ».
Для промежутка ( − 3 , + ∞ ) проведем вычисления с точкой, имеющей нулевую координату. При x = 0 имеем 0 2 — 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Получили положительное значение, что значит, что весь промежуток будет иметь знак « + ».
Можно использовать еще один способ определения знаков. Для этого мы можем найти знак на одном из интервалов и сохранить его или изменить при переходе через нуль. Для того, чтобы все сделать правильно, необходимо следовать правилу: при переходе через нуль знаменателя, но не числителя, или числителя, но не знаменателя мы можем поменять знак на противоположный, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не можем поменять знак, если степень четная. Если мы получили точку, которая является одновременно нулем числителя и знаменателя, то поменять знак на противоположный можно только в том случае, если сумма степеней выражений, дающих этот нуль, нечетная.
Если вспомнить неравенство, которое мы рассмотрели в начале первого пункта этого материала, то на крайнем правом промежутке мы можем поставить знак « + ».
Теперь обратимся к примерам.
Возьмем неравенство ( x — 2 ) · ( x — 3 ) 3 · ( x — 4 ) 2 ( x — 1 ) 4 · ( x — 3 ) 5 · ( x — 4 ) ≥ 0 и решим его методом интервалов. Для этого нам необходимо найти нули числителя и знаменателя и отметить их на координатной прямой. Нулями числителя будут точки 2 , 3 , 4 , знаменателя точки 1 , 3 , 4 . Отметим их на оси координат черточками.
Нули знаменателя отметим пустыми точками.
Так как мы имеем дело с нестрогим неравенством, то оставшиеся черточки заменяем обычными точками.
Теперь расставим точки на промежутках. Крайний правый промежуток ( 4 , + ∞ ) будет знак + .
Продвигаясь справа налево будем проставлять знаки остальных промежутков. Переходим через точку с координатой 4 . Это одновременно нуль числителя и знаменателя. В сумме, эти нули дают выражения ( x − 4 ) 2 и x − 4 . Сложим их степени 2 + 1 = 3 и получим нечетное число. Это значит, что знак при переходе в данном случае меняется на противоположный. На интервале ( 3 , 4 ) будет знак минус.
Переходим к интервалу ( 2 , 3 ) через точку с координатой 3 . Это тоже нуль и числителя, и знаменателя. Мы его получили благодаря двум выражениям ( x − 3 ) 3 и ( x − 3 ) 5 , сумма степеней которых равна 3 + 5 = 8 . Получение четного числа позволяет нам оставить знак интервала неизменным.
Точка с координатой 2 – это нуль числителя. Степень выражения х — 2 равна 1 (нечетная). Это значит, что при переходе через эту точку знак необходимо изменить на противоположный.
У нас остался последний интервал ( − ∞ , 1 ) . Точка с координатой 1 – это нуль знаменателя. Он был получен из выражения ( x − 1 ) 4 , с четной степенью 4 . Следовательно, знак остается прежним. Итоговый рисунок будет иметь вот такой вид:
Применение метода интервалов особенно эффективно в случаях, когда вычисление значения выражения связано с большим объемом работы. Примером может стать необходимость вычисления значения выражения
x + 3 — 3 4 3 · x 2 + 6 · x + 11 2 · x + 2 — 3 4 ( x — 1 ) 2 · x — 2 3 5 · ( x — 12 )
в любой точке интервала 3 — 3 4 , 3 — 2 4 .
Будем считать, что с правилами определения знаков для промежутков мы разобрались. Идем дальше.
Источник
