Как решать задачи оптимизации графическим способом

Графический метод решения задач нелинейного программирования

Чтобы найти ее оптимальное решение, нужно выполнить следующие действия:

1. Найти ОДР, определяемую ограничениями задачи. Если окажется, что эта область пуста, то это означает, что задача не имеет решения.
2. Построить семейство линий уровня целевой функции f(х₁, х₂) = C при различных значениях числового параметра С.
3. При решении задачи на минимум определить направление убывания, а для задачи на максимум — направление возрастания линий уровня ЦФ.
4. Найти точку ОДР, через которую проходит линия уровня с наименьшим в задаче на минимум (соответственно, наибольшим в задачи на максимум) значением параметра С. Эта точка будет оптимальным решением. Если ЦФ не ограничена снизу в задаче на минимум (сверху — в задаче на максимум), то это означает, что задача не имеет оптимального решения.
5. Найти координаты точки оптимума и определить в ней значение ЦФ.

Отметим, что в отличие от задачи ЛП точка оптимума в задаче НП не обязательно находится на границе ОДР. Ею также может быть внутренняя точка этого множества.

Пример . В задаче выпуклого программирования требуется:

1. найти решение графическим методом;
2. написать функцию Лагранжа и найти ее седловую точку, используя решение, полученное графически.

F(X) = x₁ 2 +(x₂-2) 2
2x₁+x₂ ≥ 7
x₁+2x₂ ≥ 5

Решение. 1) Строим два ограничения, тем самым определяя ОДР. Можно использовать этот калькулятор. Также удобно строить ограничения через этот сервис.

Затем строим функцию цели. В данном случае это окружность.

Поскольку задача минимума, то ищем первое касание линии уровня области ОДР. В данном случае это точка пересечения с прямой 2x₁+x₂-7=0.
Найдем точку пересечения. Для этого построим уравнение касательной, проходящей через центр окружности O(0;2) и перпендикулярно прямой 2x₁+x₂-7=0 (можно использовать этот калькулятор). Получаем: 2x₂-x₁-4=0. Решая систему уравнений:
2x₁+x₂-7=0
2x₂-x₁-4=0,
получаем: x₁=2, x₂=3.

2) Найдем экстремум функции F(X) = x₁ 2 +(x₂-2) 2 , используя калькулятор Функция Лагранжа :
L( X , λ )=F( X )+∑(λ_i·φ_i)
где F( X ) — целевая функция вектора X; φ_i(X) — ограничения в неявном виде (i=1..n)
В качестве целевой функции, подлежащей оптимизации, в этой задаче выступает функция: F(X) = x₁ 2 +(x₂-2) 2
Перепишем ограничение задачи в неявном виде:
φ₁(X) = 7 — (2*x₁+x₂) = 0 (X₁)
φ₂(X) = 5 — (x₁+2*x₂) = 0 (X₂)
Составим вспомогательную функцию Лагранжа: L(X, λ) = x₁ 2 +(x₂-2) 2 — λ₁*(7 — (2*x₁+x₂)) — λ₂*(5 — (x₁+2*x₂))
Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным х_i и неопределенным множителям λ.
Составим систему:
∂L/∂x₁ = 2*λ₁+λ₂+2*x₁ = 0
∂L/∂x₂ = λ₁+2*λ₂+2*x₂-4 = 0
∂L/∂λ₁ = 2*x₁+x₂-7 = 0
∂L/∂λ₂ = x₁+2*x₂-5 = 0
Решив данную систему, получаем:
а) для случая X₁: x₁ = λ₁/2 + λ₂ + 2; x₂ = 7 — 2x₁
Откуда можно найти такие λ₁ ≥ 0, λ₂ ≥ 0. Пусть λ₂ = 0. Тогда λ₁ = 2; x₁ = 2; x₂ = 3.
Поскольку λ₂ ≥ 0, то данное решение удовлетворяет условиям Куна-Таккера. Z_min(2;3)=5

б) для случая X₂: x₂ = λ₁/2 + λ₂ + 2; x₁ = 5 — 2x₂
Откуда можно найти такие λ₁ ≥ 0, λ₂ ≥ 0. Пусть λ₂ = 0. Тогда λ₁ = 2/5; x₁ = 11/5; x₂ = 3/5.
Поскольку λ₁ ≥ 0, то данное решение удовлетворяет условиям Куна-Таккера. Z_min(11/5;3/5)=6.8

Минимальное значение составит Z_min(2;3)=5.

Источник

Задачи оптимизации

Задача № 1. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

1. Введем переменные:

– количество обычных наборов;

– количество улучшенных наборов.

2. Зададим целевую функцию. Задача на минимизацию затрат. Запишем уравнение, описывающее затраты

Найдем решение сформированной задачи, используя ее геометрическую интерпретацию. Сначала определим область допустимых решений. Для этого в неравенствах системы ограничений знаки неравенств заменим на знаки точных равенств, и найдем соответствующие прямые:

Выразим через

Для построения прямой достаточно двух точек, найдем их координаты:

Эти прямые изображены на рисунке 1. Условие неотрицательности показывает, что искомая область располагается в первой четверти.

Каждая из построенных прямых делит плоскость на две полуплоскости. Координаты точек одной полуплоскости удовлетворяют исходному неравенству, а другой – нет. Чтобы определить искомую полуплоскость, нужно взять какую-нибудь точку, принадлежащую одной из полуплоскостей, и проверить, удовлетворяют ли ее координаты данному неравенству. Если координаты взятой точки удовлетворяют данному неравенству, то искомой является та полуплоскость, которой принадлежит эта точка, в противном случае – другая полуплоскость.

Рисунок 1. Графический метод решения

На рисунке 1, область допустимых решений не ограничена и отмечена штрихом. Координаты любой точки, принадлежащей этой области, удовлетворяют данной системе неравенств и условию неотрицательности переменных. Поэтому сформулированная задача будет решена, если мы сможем найти точку, принадлежащую области допустимых решений, в которой целевая функция принимает минимальное значение. Чтобы найти указанную точку, построим вектор и линию уровня, которая перпендикулярна этому вектору.

Так как задача на минимум, то линию уровня будем двигать по направлению вектора. Первая точка касания и будет оптимальным решением. Координаты этой точки и определяют оптимальные количества обычных и улучшенных наборов удобрений, при которых затраты являются минимальными.

В данном примере это точка пересечения прямых I и Следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых

Следовательно, если фирма купит 2 обычных и 2 улучшенных набора удобрений, то минимальные затраты составят

Если данную задачу решать на максимум, то линия уровня будет сдвигаться вправо до бесконечности (так область решений не ограничена). Таким образом, конечного решения не будет.

Задача № 2. Предложить оптимальное управленческое решение в следующих типовых хозяйственных ситуациях.

Металлургическому заводу требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с долей зольных примесей не более 3,25%. Завод закупает три сорта угля , , с известным содержанием примесей. В какой пропорции нужно смешивать исходные продукты , , чтобы смесь удовлетворяла ограничениям на содержание примесей и имела минимальную цену? Содержание примесей и цена исходных продуктов приведены в таблице

Введем следующие обозначения: – содержание угля в смеси; – содержание угля в смеси; – содержание угля в смеси. Тогда ограничения примут вид:

Целевая функция задачи:

Таким образом, ЭММ задачи имеет вид:

Решим данную задачу симплекс-методом. Преобразуем исходную модель. В ограничения типа добавим дополнительные переменные . В равенство добавим искусственную переменную Модель задачи будет выглядеть так:

Заполним первую симплекс-таблицу.

В среди оценок есть положительные значения, следовательно, план не является оптимальным. Среди значений находим наибольшее , столбец выбираем в качестве ведущего. Для положительных элементов ведущего столбца находим наименьшее из симплексных отношений – ведущая строка. Элемент 1 на пересечении ведущего столбца и ведущей строки – разрешающий элемент. После перехода к следующей симплексной таблице, в базисном плане отсутствует искусственная переменная.

В среди оценок есть положительные значения, следовательно, план не является оптимальным. Среди значений находим наибольшее , столбец выбираем в качестве ведущего. Для положительных элементов ведущего столбца находим наименьшее из симплексных отношений – ведущая строка. Элемент 1 на пересечении ведущего столбца и ведущей строки – разрешающий элемент. Переходим к следующей симплексной таблице.

В среди оценок есть положительное значение, следовательно, план не является оптимальным. Столбец выбираем в качестве ведущего. Для положительных элементов ведущего столбца находим наименьшее из симплексных отношений – ведущая строка. Элемент 0,06 на пересечении ведущего столбца и ведущей строки – разрешающий элемент. При переходе к следующей симплексной таблице, получаем оптимальное решение.

В среди оценок нет отрицательных, следовательно, план является оптимальным.

Полученное оптимальное решение означает, что для получения 1 т угля необходимо взять т первого компонента, т второго, т третьего. При этом его цена будет минимальной и составит Руб.

Задача № 3. Провести моделирование и решить специальную задачу линейного программирования.

Компания, занимающаяся ремонтом автомобильных дорог, в следующем месяце будет проводить ремонтные работы на пяти участках автодорог. Песок на участки ремонтных работ может доставляться из трех карьеров, месячные объемы предложений по карьерам известны. Из планов производства ремонтных работ известны месячные объемы потребностей по участкам работ. Имеются экономические оценки транспортных затрат (в у. е.) на перевозку 1тонны песка с карьеров на ремонтные участки.

Числовые данные для решения содержатся ниже в Матрице планирования. Требуется:

1) Предложить план перевозок песка на участки ремонта автодорог, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные издержки.

2) Что произойдет с оптимальным планом, если изменятся условия перевозок: а) появится запрет на перевозки от первого карьера до второго участка работ?; б) по этой коммуникации будет ограничен объем перевозок 3 тоннами?

Источник