Как решать способ уравнения коэффициентов

Математика

58. Способ сложения и вычитания или способ уравнения коэффициентов . Решим совместно следующие 2 уравнения:

7x + 5y = 47 и 7x – 5y = 9 (1)

Мы видим, что в левой части одного уравнения входит член +5y, а в левой части другого — член –5y. Если бы пришлось эти части сложить между собою, то эти члены уничтожились бы. И этого достигнуть легко: из данных двух уравнений составим вытекающее из них новое, для чего сложим и левые части обоих уравнений между собою, и правые части между собою – результаты этих сложений, очевидно, должны быть равны между собою, т. е. получим:

(члены +5y и –5y взаимно уничтожились). Отсюда получим x = 4. Умножим затем обе части второго уравнения на –1; получим:

7x + 5y = 47
–7x + 5y = –9

и теперь опять сложим левые части между собою и правые между собою (говорят: сложим эти 2 уравнения по частям). Получим, так как члены +7x и –7x взаимно уничтожаются:

10y = 38, откуда y = 3,8

Мы могли бы взамен этого сделать и так: вернемся к уравнениям (1) и вычтем по частям (т. е. из левой части левую часть и из правой части правую часть) из первого уравнения второе. Тогда надо у всех членов 2-го уравнения переменить знаки — результат получится тот же самый.

В разобранном примере абсолютные величины коэффициентов при каждом неизвестном в каждом уравнении были равны; рассмотрим теперь пример, когда абсолютные величины этих коэффициентов неравны.

3x + 4y = 23 и 9x + 10y = 65.

Рассматривая эти уравнения, мы видим, что коэффициенты при x не равны, но что их легко сделать равными, если обе части первого уравнения умножим на 3. Сделав это, получим:

9x + 12y = 69
9x + 10y = 65

Теперь вычтем по частям из первого уравнения второе (надо у всех членов 2-го уравнения переменить знаки). Получим:

2y = 4, откуда y = 2.

Рассматривая данные уравнения, мы теперь приходим к возможности уравнять коэффициенты при y, для чего можно поступить по разному: 1) обе части 1-го уравнения умножить на 2 ½ — тогда получим:

7 ½ x + 10y = 57 ½
9x + 10y = 65

Вычтем теперь из 2-го уравнения по частям 1-е, для чего переменим знаки у всех членов 1-го уравнения (мы вычитаем из 2-го первое, а не наоборот, только для того, чтобы в левой части коэффициент при x получился положительный), получим:

1 ½ x = 7 ½, откуда x = 7 ½ : 1 ½ = 5.

2) Обе части 2-го уравнения умножим на 2/5, — получим:
3x + 4y = 23 (первое оставляем без изменения).

Вычитая по частям из 2-го уравнения первое, получим:

3/5 x = 3, откуда x = 3 : 3/5 = 5.

3) Если не желаем иметь дело с дробными коэффициентами, то найдем общее наименьшее кратное для коэффициентов при y, т. е. для чисел 4 и 10 – оно есть 20 и, умножением обеих частей 1-го уравнения и обеих частей 2-го, сведем дело к тому, чтобы в каждом уравнении коэффициентом при y служило это общее наименьшее кратное. В нашем примере для этого умножим обе части 1-го уравнения на 5 и обе части 2-го уравнения на 2. Получим:

15x + 20y = 115
18x + 20y = 130.

Опять вычтем по частям из 2-го уравнения первое, — получим:

3x = 15, откуда x = 5.

Заметим еще, что когда одно неизвестное определено, можно подстановкою получить другое. Так, мы сначала нашли y = 2. Подставим это значение в 1-ое уравнение:

3x = 23 – 8 = 15, откуда x = 5.

Коротко выполним еще один пример:

6x – 15y = 32 | · 3 | · 2
4x + 9y = 34 | · 5 | · 3

Сбоку мы отметили, что надо обе части 1-го уравнения умножить на 3 и обе части 2-го на 5 — мы имеем в виду уравнять абсолютные величины коэффициентов при y. Получим:

18x – 45y = 96.
20x + 45y = 170.

Сложим эти уравнения по частям, получим:

38x = 266 и x = 7.

Теперь умножим обе части 1-го уравнения на 2 и обе части второго на 3 (отмечено сбоку). Получим:

12x – 30y = 64
12x + 27y = 102.

Вычтем по частям из 2-го уравнения первое; получим:

57y = 38 и y = 38/57 = 2/3.

Примем этот способ к решению двух уравнений с двумя неизвестными в общем виде:

ax + by = m | · d | · c
cx + dy = n | · b | · a

Сначала умножим, как отмечено, обе части 1-го уравнения на d и обе части 2-го на b. Получим:

adx + bdy = md
cbx + =bdy = nb.

Вычтем по частям из 1-го уравнения второе, получим:

adx – cbx = md – nb.

Вынесем в левой части x за скобки, получим:

(ad – cb)x = md – nb,

x = (md – nb) / (ad – cb).

Уравняем теперь коэффициенты при x, для чего обе части 1-го уравнения умножим на c и обе части второго на a. Получим:

Вычтем по частям из 2-го уравнения первое, получим:

ady – bcy = na – mc,

(ad – bc) y = na – mc

y = (na – mc) / (ad – bc).

Мы вычитали здесь из 2-го уравнения первое, а не наоборот, с целью получить тот же знаменатель ad – bc, какой получился при определении x – a.

Источник

Метод коэффициентов при решении квадратных уравнений

Дата публикации: 19.03.2018 2018-03-19

Статья просмотрена: 8531 раз

Библиографическое описание:

Прямостанов, С. М. Метод коэффициентов при решении квадратных уравнений / С. М. Прямостанов, Л. В. Лысогорова. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2018. — № 1.1 (15.1). — С. 66-67. — URL: https://moluch.ru/young/archive/15/1165/ (дата обращения: 20.11.2021).

В статье описываются нестандартные способы решения квадратных уравнений.

Ключевые слова: уравнения, квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений.

В школьном курсе математики изучается решение полных квадратных уравнений с помощью дискриминанта, теоремы обратной теореме Виета, выделения полного квадрата. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения:

1. Прием переброски старшего коэффициента

Коэффициент а умножается на с, таким образом «перебрасывается» к свободному члену. Получается следующее уравнение у 2 +ру+к=0, тогда

х₁=, х₂=.

Пример:2х 2 -9х-5=0

У 2 -9у-10=0. у₁=10, у₂=-1, тогда х₁==5, х₂=-0,5.

Данный метод удобен в том случае, когда после переброски корни находятся по т. Виета, или (а+в+с=0; а-в+с=0).

Пример: . При переброске старшего коэффициента получим уравнение . По теореме, обратной т.Виета, получим корни у₁=-3, у₂=-, тогда х₁==, х₂=.

2. Сумма коэффициентов квадратного уравнения: ах 2 +вх+с=0.

 Если выполняется условие а+в+с=0, то х₁=1, х₂=.

Пример: 21х 2 -3940х+3919=0. Так как 21-3940+3919=0 то, х₁=1, х₂=.

 Если а-в+с=0, то х₁=-1, х₂=.

Пример: х 2 +1357х+1356=0. Так как 1-1357+1356=0, то х₁=-1, х₂=-1356.

3. Метод решения квадратных уравнений вида: ах 2 ± (а 2 +1)х ± а=0.

 В уравнениях вида ах 2 +(а 2 +1)х+а=0 корни х₁=- а, х₂=-.

Пример: 25х 2 +626х+25=0, х₁=- 25, х₂= – .

 В уравнениях вида ах 2 — (а 2 +1)х+а=0 корни х₁= а, х₂=.

Пример: 13х 2 — 170х+13=0, х₁=13, х₂= .

 В уравнениях вида ах 2 +(а 2 +1)х- а=0 корни х₁=- а, х₂=.

Пример: 25х 2 +626х – 25=0, х₁=- 25, х₂= .

 В уравнениях вида ах 2 — (а 2 +1)х- а=0 корни х₁= а, х₂=.

Пример: 13х 2 — 170х-13=0, х₁=13, х₂= .

В уравнениях вида ах 2 -(а 2 +1)х+а=0 можно перебросить старший коэффициент, получим уравнение вида у 2 -(а 2 +1)у+а 2 =0. Сумма коэффициентов 1-(а 2 +1)+а 2 =0, следовательно у₁=1, у₂=а 2 , тогда х₁=, х₂=а.

Предлагаем решить следующие уравнения, используя рассмотренные приемы:

1. Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами

1978х 2 – 1984х + 6=0

4х 2 + 11х + 7 = 0

319х 2 + 1988х +1669=0

1999х 2 + 2000х+1=0

839х 2 – 448х -391=0

345х 2 – 137х – 208=0

1. Решите уравнение

а) 20092008х 2 -20092009х+1 (Олимпиада 2009 г. для поступающих в СМАЛ)

б) x(x+ 1) = 2014·2015 (турнир Ломоносова)

1. Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:

37х 2 +1370х – 37=0

38х 2 +3365 – 38=0

69х 2 — 4762х+69=0

69х 2 +4762х – 69=0

69х 2 +4762х – 69=0

Каждое из этих уравнений может быть решено без использования формулы корней квадратного уравнения; без громоздких вычислений; каждое решение уравнения почти устное.

Умение быстро и рационально решать квадратные уравнения необходимо для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в старшей школе тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений.

1. Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение, 2001.
3. Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.
4. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.
5. Лысогорова Л.В. Педагогические условия развития математических способностей младших школьников //Сибирский педагогический журнал. 2007. № 9. С. 228-233.
6. Зубова С.П., Лысогорова Л.В. Математические олимпиады в современных условиях. Самарский научный вестник. 2013. № 3 (4). С. 61-63.
7. Лысогорова Л.В., Кочетова Н.Г., Зубова С.П. Реализация принципа обучения математике на повышенном уровне трудности. В сборнике: Научные проблемы образования третьего тысячелетия VII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием. 2013. С. 109-114.

Ключевые слова

Похожие статьи

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

. Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и .

Старший коэффициент функции равен 2, а>0, ветви параболы направлены вверх, следовательно, y>0 при хϵ (-∞; 0,5)ᵁ(1; +∞)

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Квадратное уравнение — уравнение вида ax2+ bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x2+2x-15=0. Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно — 15, а сумма равна.

Оптимальные способы решения квадратных уравнений

Квадратным называется уравнение вида: ax2 +bx + c = 0, a 0, в котором х – переменная, а,b,с – любые числа. Числа а и b называются первым и вторым коэффициентами, а число с – свободным членом квадратного уравнения. В школьном курсе математики изучаются.

О корнях кубического уравнения | Статья в журнале.

Известно, что решение некоторых теоретических и практических задач, а также моделирование некоторых физических процессов требует определение границ отрезков (интервалов) в которых находятся корни кубического уравнения с действительными коэффициентами.

Линейные уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Корнем уравнения называется, то значение неизвестного, при котором это уравнение

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений. уравнение, часть

решение уравнения, коэффициент уравнения, общее решение уравнения, решение, вид.

Использование тестов на уроках математики | Статья в журнале.

Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите сумму всех его корней.

Основные термины (генерируются автоматически): корень уравнения, промежуток, больший корень уравнения, сумма корней уравнения, содержащий корень уравнения, произведение.

Некоторые способы активизации мыслительной деятельности.

Способы решения квадратных уравнений. Графическое решение квадратного уравнения. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

квадратное уравнение, уравнение, обратная теорема, решение, исходное уравнение, ответ, помощь теоремы.

Методика преподавания темы «Линейное уравнение» в 7-м классе

Для такого уравнения не будет корней, если же а будет равняться 2, то уравнение приобретет другой вид — 0х = 0. При этом любое число, которое можно подставить вместо Х из множества действительных числен, будет рассматриваться как его корень.

Введение адаптивных методов обучения при решении уравнений.

решение простейших уравнений данного вида; анализ действий, необходимых для их

Способы решения квадратных уравнений различных видов школьные учебники по алгебре

Что же такое «квадратные уравнения»? Квадратное уравнение — уравнение вида ax2+ bx.

Источник